第五节　独立性

（1）若事件A与事件B相互独立，则A与B、 Ā与B、Ā与B也相互独立。第五节　独立性若P(A)=P(A|B)，事件B的发生与否对A发生的可能性毫无影响，直观上，称A，B两事件独立，这时有P（AB）=P（A）P（B）。因此有如下定义。 1.定义设A，B为两事件，如果具有等式 P（AB）=P（A）P（B）则称A,B为相互独立的事件,又称A,B相互独立。 2.性质

证明：只证若事件A与事件B相互独立，则A与B相互独立。证明：只证若事件A与事件B相互独立，则A与B相互独立。由于BA=A-AB，ABA,而P(AB)=P(A)P(B)，从而 P(BA)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)P(B) （2）若P(A)>0，P(B)>0，则A，B相互独立，与A，B互不相容不能同时成立。因为若它们同时成立，则P(AB)=P()=P(A)P(B)=0，与P(A)>0，P(B)>0矛盾。定理设A，B是两事件，且P(A)>0(P(B)>0)，则A，B相互独立的充要条件是P(B|A)=P(B) (P(A|B)=P(A))。所以，A与B相互独立。

定义设A，B，C是三事件，如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C). 则称三事件A，B，C两两独立。一般，当事件A，B，C两两独立时，等式 P（ABC）=P（A）P（B）P（C）不一定成立，例如：例1: 假设我们掷两次骰子,并定义事件A,B,C如下 A=“第一次掷得偶数”，B=“第二次掷得奇数”， C=“两次都掷得奇数或偶数”。证明A,B,C两两独立,但不满足等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

证明: 容易算出 P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(BC)=1/4, P(ABC)=0. 从而具有等式 P(AB)=P(A)P(B); P(AC)=P(A)P(C); P(BC)=P(B)P(C) 所以A,B,C两两独立. 容易看出 P(ABC)=0≠P(A)P(B)P(C)

定义设A，B，C是三事件，如果具有等式 则称A，B，C，为相互独立的事件。一般地，设A1，A2，…An，是n个事件，如果对于任意k(1<k≤n),任意1≤i1<i2<…<ik≤n,具有等式P（Ai1Ai2…Aik）=P（Ai1）P（Ai2）…P（Aik）则称A1，A2，…，An为相互独立的事件。注意，在上式中包含的等式总数为

性质（1）若A1,A2,…,An相互独立,则其中任意m个事件Ai1,Ai2,…,Aim相互独立（2≤m≤n）。（2）若A1，A2，…，An相互独立，则把其中任意m个事件换成各自的对立事件后构成的n个事件也相互独立（1≤m≤n）。注：若事件是独立的，则许多概率的计算可以大为简化，例如若A1，…，An相互独立，则A1，A2，…，An同时发生的概率为 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)。

例2: 若A1，A2，…，An相互独立，且P（Ai）=Pi，i=1,2,…,n, 求A1,…,An这n个事件至少有一个发生的概率。解: 所求的概率

A1 A2 An A1 A2 An B1 B2 Bn B1 B2 Bn 系统Ⅱ 例3：电路系统的可靠性。如图，两个系统各有2n个元件，其中系统Ⅰ先串联后并联，系统Ⅱ先并联后串联。求两个系统的可靠性大小并加以比较。系统Ⅰ 解：Ⅰ.设Ai表示第i个元件正常工作。P(A)：Ⅰ中第一条支路的可靠性，P(B)：Ⅰ中第二条支路的可靠性。所以A∪B表示Ⅰ正常工作（并联）

同理P(B)=rn所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=RⅠ Ⅱ第一对元件可靠性P(A1∪B1)=P(A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2，第二对元件的可靠性P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2,……

第n对元件的可靠性P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2第n对元件的可靠性P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2 于是RⅡ=[r(2-r)]n=rn(2-r)n Ⅲ 比较大小.比较2-rn与(2-r)n的大小。显然: 2-rn<(2-r)n.

例4: 要验收一批（100件）乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰有4件是音乐不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？

解: 设以Hi（i=0,1,2,3）表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰有i件音色不纯”，H0,H1,H2,H3是的一个划分，以A表示事件“这批乐器被接收”。已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为0.99，而一件音色不纯的乐器，经测试被误认为音色纯的概率为0.05，并且3件乐器的测试是相互独立的，于是有

第六节　贝努利概型 考虑一个简单的试验，它只出现（或只考虑）两种结果，如某产品抽样检查得合格或不合格，射击命中或不命中，试验成功或失败，发报机发出信号0或1。掷一次骰子点数“6”是否出现。一般地，试验E只有两种结果A和A,而P(A)=p（0<p<1）,则称E为贝努利试验或贝努利概型。

设E为贝努利试验，将E独立地重复进行n次，（这里的“重复”是指试验E在相同条件下进行）而且每次试验中结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重复贝努利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重贝努利试验。总之，n重贝努利试验有下面四个约定：（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变, （3）各次试验相互独立, （4）共进行了n次.

由于恰好是展开式(p+q)n中的第k项，所以常称为二项概率公式。定理对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k次的概率为证明：由n重贝努利试验，事件A在某指定的k次试验中出现，而在其余n-k次试中不出现的概率为pk(1-p)n-k = pkqn-k 而在n次试验中事件A发生k次共有Cnk种不同情况，对应的事件为互不相容的，由概率的可加性

例1: 对某种药物的疗效进行研究，假定这药对某种疾病的治愈率0.8，现有10个人患此病的病人同时服用此药，求其中至少有6个病人治愈的概率。解: 假定“病人服用此药后治愈”为事件A，按题意 P(A)=0.8， 10人同时服用此药可视为10重贝努利试验，因而由公式所求的概率为

例2: 某厂生产的过程中出现次品的概率为0.003，求在该厂生产的1000件产品中恰好有10件次品的概率。解: 设A表示事件“该厂生产的一件产品为次品”，则 P（A）=0.002，依题意所求的概率为

小结： • 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 • 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。 • 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。 • 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。

第五节 独立性