線形方程式

線形方程式 １２月２２日発表

今回のテーマ • 正定値対称行列について • コレスキー法 • 反復法について • ヤコビ法 • ガウス・ザイデル法 • SOR法

１．正値対称行列 Aが実対称行列で，任意の　　　　に対して　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　をみたすとき正定値という．　　　　も正値対称行列である．なぜなら，

したがって，いま行列　　　　　　　　　　が正定値でないと仮定するとしたがって，いま行列　　　　　　　　　　が正定値でないと仮定するとを満たす　　　　をとれば　　　　　　　もまた正定値でないことになる．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この論法を続ければ結局　　　　　　が正定値でないことになって矛盾する．したがって，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　は正定値である．

コレスキー法 Aが対称行列のならば　　　　　　　と分解できた．　　　　　　　　Aが正定値ならば　　　　　　に　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を代入して　　　　　　がわかる．　　　　　　とおき　　　　　　　　　とおくとこれをコレスキー分解という．

Sは右上三角行列で とすると，　　　　は成分表示でとなり，これから次の関係式が得られる．この式によって　　　　　　　を出発値として　　　　　　　　　　　　の順にSの成分を求めることができる．Sが求められれば　　も求まり　　　　　　　　　　　によって　　　　　の解が得られる．これをコレスキー法という．

２．反復法 方程式　　　　をそれと同値な　　　　　　　　　　なる形に変形し，初期値　　から出発して逐次代入　　　　　　　　を行って解を求める方法が反復法である．与えられた行列Aを，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　対角成分のみから成る対角行列D，左下三角行列 E，および右上三角行列 F，の和に分解しておく． A=D + E + F

・ヤコビ法 非対角成分に相当する項をすべて右辺に移項した次の形において反復を行う方法をヤコビ法という．行列で表すとすなわち

・ガウス・ザイデル法 ヤコビ法においてすべての量　　　　　　　　に各段階で得られている最新のデータを代入するようにしたものが　　ガウス・ザイデル法である．第１行目は　　　　は同じ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第２行目は　　　　においてヤコビ法の計算の　　　　　を　　　　　　で計算済みなので　　　　　　　に変える．　　行列で表すとすなわち

・SOR法（加速緩和法） ガウス・ザイデル法において各段階で計算された値　　　　を　次の段でそのまま採用せずに，ガウス・ザイデル法で本来修正される量　　　　　　　　　に加速パラメータ　　　　　を乗じてこの修正量を拡大し，これを前段で得られている近似値に加えるのがSOR法である．　　

行列で表すと この２式から　　　　を消去すれば次の式を得る

これらの三種類の反復法はいずれも • 反復行列の形に表現されている．行列Mを反復行列という．　　　各反復法における反復行列は次のようになっているヤコビ法ガウス・ザイデル法 SOR法

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