POLIEDR I

1. POLIEDRI REGULARNI POLIEDRI KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI NEKONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI KONVEKSNI NEREGULARNI POLIEDRI POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

2. POLUPROSTOR Ravan deli prostor na dva disjunktna dela-skupa tačaka. Svake dve tačke istog skupa se nalaze sa iste strane ravni, a svake dve tačke iz različitih skupova se nalaze sa raznih strana ravni. Unija svakog od tih skupova i ravni je poluprostor. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

3. a s b DIEDAR Unija dve poluravni sa zajedničnom graničnom pravom jediedarska površ. Diedarska površ deli prostor na dva disjunktna dela, pri čemu ona sama ne pripada ni jednom od njih. Unija jedne od tih oblasti i diedarske površi je diedar . Jedna diedarska površ određuje dva diedra. Prava predstavlja ivicu diedra, a poluravni su strane diedra. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

4. DIEDAR Ugao izmedju ravni kojima pripadaju strane dijedra je ugao diedraili diedralni ugao. Ravan normalna na ivicu, seče diedar . Njihov presek jediedralni ugao . Diedre definisemo i upoređujemo na osnovu uglova. a s b POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

5. a s b DIEDAR Diedar jekonveksan ukoliko svaka duž koja spaja njegove dve proizvoljne tačke pripada tom diedru. U suprotnom slučaju diedar jenekonveksan odnosno konkavan. Konveksan diedar lezi sa jedne strane ravni svake svoje strane. Diedar sa diedralnim uglom manjim od 1800 je konveksan. Diedar sa diedralnim uglom većim od 1800 je konkavan. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

6. S A3 An-1 An A2 A1 ROGALJ Ako je mnogougao i S tačka koja ne pripada ravni mnogougla, unija polupravih i uglova A1SA2, A2SA3,…,AnSA1 jepovrš roglja. Površ roglja deli prostor na dva disjunktna dela. Jednom od njih pripada površ mnogougla . Unija površi roglja i tog dela prostora jerogalj. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

7. S A3 An-1 An A2 A1 ROGALJ Tacka S je vrh iliteme roglja, poluprave suivice, a uglovi A1SA2, A2SA3,…,AnSA1 su strane ili ivični uglovi roglja. Rogalj sa n strana odnosno n ivica, nazivamo n-tostrani rogalj. Posebno, trostrani rogalj ima specifican naziv - triedar. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

8. S S A4 A3 An-1 A3 An-1 An A2 An A2 A1 A1 ROGALJ Konveksan rogalj Konkavan rogalj Rogalj jekonveksan ukoliko svaka duž koja spaja njegove dve proizvoljne tačke pripada tom roglju. U suprotnom slučaju rogalj jenekonveksan odnosno konkavan. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

9. S S A3 A3 An-1 An-1 An An A2 A2 A1 A1 KONVEKSAN ROGALJ Konveksan rogalj lezi sa jedne strane ravni svake svoje strane odnosno konveksan rogalj lezi u jednom od dva poluprostora odredjena sa ravni svake njegove strane. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

10. S A3 An-1 An A2 A1 KONVEKSAN ROGALJ Konveksan rogalj se moze predstaviti kao presek konacnog broja poluprostora odredjenih ravnima strana roglja. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

11. KONVEKSAN ROGALJ Konveksan rogalj se moze predstaviti kao presek konacnog broja poluprostora odredjenih ravnima strana roglja. Sve te ravni imaju jednu zajedničku tačku – teme roglja. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

12. S A3 An-1 An A2 A1 KONVEKSNI ROGLJEVI Konveksan rogalj Zbir ivičnih uglova - strana konveksnog roglja je manji od 3600. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

13. S S A4 An-1 A3 A3 A7 An A2 A1 A8 A2 A1 NEKONVEKSNI ROGLJEVI Nekonveksni rogljevi. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

14. POLIEDAR Skup površi mnogouglova takvih da je svaka stranica svakog mnogougla ujedno i stranica jos samo jednog mnogougla, obrazuju zatvorenu površkoja se nazivapoliedarska površ.Deo geometrijskog prostora koji ograničava (zatvorena) poliedarska površ je unutrasnjost poliedarske površi.Unija poliedarske površi i njene unutrašnjosti jepoliedar. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

15. POLIEDAR Površi mnogouglova, od kojih se sastoji poliedarska površ, nazivaju sestrane (ili pljosni) poliedra, astranice tih mnogouglova nazivaju seivicepoliedarske površi i poliedra.Rogljevi koje obrazuju strane poliedra sa jednim zajedničkim temenom surogljevi poliedra, a vrhovi tih rogljeva sutemena poliedra. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

16. POLIEDAR Svaka duž koja spaja dva temena poliedra a ne pripada nijednoj stranipoliedra predstavljadijagonalu poliedra. Svaka ravan koju određuju tritemena poliedra i ne sadrži nijednu stranu poliedra predstavljadijagonalnu ravan poliedra. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

17. POLIEDAR Poliedar dobija naziv prema broju strana. tetraedar heksaedar oktaedar dodekaedar ikosaedar 4 strane 6 strana 8 strana 12 strana 20 strana POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

18. POLIEDAR Poliedri mogu biti konveksni i nekonveksni-konkavni. Poliedar jekonveksan ukoliko svaka duž koja spaja njegove dve proizvoljne tačke pripada tom poliedru, u suprotnom slučaju poliedar jenekonveksan odnosno konkavan. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

19. KONVEKSNI POLIEDRI Konveksan poliedar lezi samo sa jedne strane ravni svake svoje strane. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

20. KONVEKSNI POLIEDRI Konveksan poliedar lezi samo sa jedne strane ravni svake svoje strane. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

21. KONVEKSNI POLIEDRI Konveksan poliedar se može predstaviti kao presek konačnog broja poluprostora odredjenih ravnima njegovih strana. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

22. KONVEKSNI POLIEDRI Konveksan poliedar se može predstaviti kao presek konačnog broja poluprostora odredjenih ravnima njegovih strana. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

23. KONVEKSNI POLIEDRI Konveksan poliedar se može predstaviti kao presek konačnog broja poluprostora odredjenih ravnima njegovih strana. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

24. REGULARNI POLIEDRI Poliedar čije su sve strane regularnipodudarni mnogouglovi i čiji su svi rogljevi podudarni naziva se regularan poliedar. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

25. REGULARNI POLIEDRI REGULARNI POLIEDRI Konveksni regularni Nekonveksni regularni Platonova tela Kepler-Poinsot tela POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

26. KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI -PLATONOVA TELA Konveksni regularni poliedri su poznati pod nazivom Platonova tela. Njihove strane su podudarni pravilni mnogouglovi, a rogljevi su međusobno podudarni i konveksni. To znači da su sve strane jednog poliedra pravilni mnogouglovi sa istim brojem n medjusobno jednakih stranica i u temenu svakog roglja se sustiče isti broj k tih mnogouglova. Uvodi se oznaka n – broj stranica pravilnog mnogougla k – broj mnogouglova koji se sustiču u temenu poliedra, potreban broj poligona za formiranje roglja POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

27. KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI -PLATONOVA TELA n – broj stranica pravilnog mnogougla k – broj mnogouglova koji se sustiču u u temenu poliedra, potreban broj poligona za formiranje roglja POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

28. KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI Tetraedar POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

29. KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI Oktaedar POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

30. KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI Ikosaedar POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

31. KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI Heksaedar Kocka POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

32. KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI Dodekaedar POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

33. KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI Granični slučaj: ne može se formirati konveksan rogalj a samim tim ni poliedar. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

34. KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI -PLATONOVA TELA ikosaedar oktaedar tetraedar dodekaedar heksaedar POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

35. KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI -PLATONOVA TELA ikosaedar tetraedar oktaedar dodekaedar heksaedar POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

36. DUALNI POLIEDRI U geometriji poliedri se posmatraju u parovima. Svakom poliedru odgovara dualni poliedar koji nastaje metamorfozom datog poliedra u kojoj: svakom temenu polaznog poliedra odgovara strana novog poliedra, svakoj strani polaznog poliedra odgovara teme novog poliedra, svakoj ivici polaznog poliedra odgovara ivica novog poliedra. Pri tome se zadržavaju njihovi medjusobni odnosi na sledeći način: POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

37. DUALNI POLIEDRI Strana prelazi u teme novog poliedra, a njeno teme u stranu koja sadrži to teme. Teme prelazi u stranu novog poliedra, a svaka strana čije je to teme u teme te strane. Ivica koja spaja dva temena prelazi u zajedničku ivicu dve odgovarajuće strane novog poliedra. Zajednička ivica dve susedne strane poliedra prelazi u ivicu koja spaja odgovarajuća temena novog poliedra. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

38. DUALNI POLIEDRI Svaka strana poliedra je poligon sa odredjenim brojem svojih temena. Metamorfozom poligon prelazi u teme, a njegova temena u strane novog poliedra čije je to teme, odnosno strani odgovara rogalj. Svako teme poliedra je teme jednog njegovog roglja. Teme prelazi u stranu, a strane poliedra koje se sustiču u tom temenu (strane roglja) u temena koja pripadaju toj strani novog poliedra. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

39. DUALNI POLIEDRI Ivica koja spaja dva temena prelazi u zajedničku ivicu odgovarajuće dve strane novog poliedra. Zajednička ivica dve susedne strane poliedra prelazi u ivicu koja spaja odgovarajuća temena novog poliedra. Dualni poliedar dualnog poliedra je polazni poliedar. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

40. DUALNI POLIEDRI – PLATONOVA TELA Strane konveksnog regularnog poliedra tipa su pravilni poligoni sa n temena. Strana se preslikava u teme novog poliedra, a njena temena u strane novog poliedra koje se sustiču u tom temenu. Dobija se rogalj sa n strana. Temena konveksnog regularnog poliedra tipa su temena podudarnih rogljeva sa k strana. Teme roglja prelazi u stranu, a njegove strane (odnosno strane poliedra koje se sustiču u tom temenu) u k temena te strane novog poliedra. Dualni poliedar konveksnog regularnog poliedra tipa je konveksni regularni poliedar tipa . POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

41. UZAJAMNI ODNOS PLATONOVIH TELA - DUALNI POLIEDRI Dualan sam sebi poliedar POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

42. UZAJAMNI ODNOS PLATONOVIH TELA - DUALNI POLIEDRI i Uzajamno dualni poliedri POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

43. UZAJAMNI ODNOS PLATONOVIH TELA - DUALNI POLIEDRI i Uzajamno dualni poliedri POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

44. UZAJAMNI ODNOS PLATONOVIH TELA Kocka i tetraedar POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

45. UZAJAMNI ODNOS PLATONOVIH TELA Kocka i dodekaedar POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

46. NUMERIČKE KARAKTERISTIKE PLATONOVIH TELA - Karakteristika poliedra n – broj temena (stranica) strane poliedra k – broj strana koje se sustiču u istom temenu T – broj temena poliedra S – broj strana poliedra I – broj ivica poliedra Diskusija broja strana, temena i ivica kod dualnih poliedara. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

47. NUMERIČKE KARAKTERISTIKE PLATONOVIH TELA - Karakteristika poliedra Strana Rogalj Diedar čine dve susedne strane sa zajedničkom ivicom koja predstavlja ivicu diedra. Svi diedralni uglovi jednog Platonovog tela su medjusobno jednaki. Diedralni ugao se očitava u ravni normalnoj na ivicu diedra. POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

48. PLATONOVA TELA- tetraedar 4 temena 6 ivica 4 strane Diedralni ugao: POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

49. PLATONOVA TELA- heksaedar 8 temena 12 ivica 6 strana Diedralni ugao: POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski

50. PLATONOVA TELA- oktaedar 6 temena 12 ivica 8 strana Diedralni ugao: POLIEDRI prof. dr Ljiljana Petruševski