Download
1 / 18
210 likes | 574 Views
Метод Ньютона (метод касательных ) при решении нелинейных уравнений. Лекция №2. Условие применимости метода. Если известно начальное приближение к корню уравнения f ( x )=0, то эффективным методом уточнения корней является метод Ньютона (метод касательных).
E N D
Метод Ньютона (метод касательных) при решении нелинейных уравнений. Лекция №2
Условие применимости метода • Если известно начальное приближение к корню уравнения f(x)=0, то эффективным методом уточнения корней является метод Ньютона (метод касательных).
Достаточные условия сходимости метода • Пусть функция f(x) имеет первую и вторую производную на отрезке [a,b], причем выполнено условие знакопеременности функции f(a)f(b)<0, а производные f '(x), f'''(x) сохраняют знак на отрезке [a,b]. • Тогда, исходя из начального приближения x0[a,b], удовлетворяющего неравенству f(x)f''(x)>0, можно построить итерационную последовательность: (1) сходящуюся к единственному на [a,b] решению уравнения f(x)=0.
Метод Ньютона • В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню принимаются значения x0,x1,x2... точек пересечения касательной к кривой y=f(x) с осью абсцисс. • То есть, геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой y=f(x) касательной.
Метод Ньютона • При этом не обязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х=х0
Метод Ньютона • В качестве начального приближения выберем х0=a, для которого выполняется условие f(x0)f'”(x0)>0. • Проведем касательную в точке A0[x0,f(x0)]. • Первым приближением корня будет точка пересечения этой касательной с осью абсцисс х1. • Через точку A1[x1,f(x1)] снова проводим касательную, точка пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д.
Метод Ньютона • На рис. приведены возможные варианты выбора правого или левого конца отрезка в качестве начального приближения. • Условие выбора: f(x)f”(x)>0.
Пример • Для уравнения, приведенного в предыдущем примере найти действительные корни, используя метод Ньютона : x3 - x2 -x(m2 +m-d·m)=0, где m=0,4; d=3,4. • На этапе отделения корней был выделен интервал, на котором функция f(x) меняет знак: [0,1], следовательно, уравнение на данном интервале имеет действительный корень. • Вычислим по методу Ньютона значение корня на отрезке [0,1]. Выберем начальное приближение так, чтобы выполнялось условие f(x0)f ''(x0)>0.
Пример • Запишем первую и вторую производную функции f(x): f(x)=3x2-2x-(m2 +m- d·m) ; f(x)=6x-2. • Вычислим значения f(x0) и f (x0): x0=1 f(1)= 0,256; f(1)=4; f(1)f(1)>0. • За начальное приближение принимаем x0=1. • Найдем корень уравнения по формуле (1) с точностью =0.001. • 1) x1=x0 - f(x0)/f '(x0); f(1)=0.256; f(1)=1.80; x1=1 – 0.256/1.8=0.858; • 2) x2=x1 - f(x1)/f ' (x1); f(0.858)=0.0376; f ' (0.858)=1.29; x2=0.858 – 0.0376/1.129=0.829;
Пример • 3) x3=x2-f(x2)/f ' (x2); f(0.829)=0.0013; f(0.829)=1.203; x3=0.829 -0.0013/1.203=0.828; • 4) x4=x3-f(x3)/f ' (x3); f(0.828)=1.4e-6; f ' (0.828)=1,2; x4=0.828 – 1.4e-6/1.2=0.828 • Таким образом, корнем данного уравнения с точностью =0,001 (после третьей итерации) будет значение x=0,828. • Проверим по формуле (5) условие окончания вычислений |0.829-0.828|=0.001<=0.001.
Метод простых итераций • Одним из наиболее важных численных методов решения нелинейных уравнений является метод итераций (метод последовательных приближений).
Сущность метода • Заменим исходное нелинейное уравнение f(x)=0 эквивалентным ему уравнением вида: x = (x) (6) • Пусть известно начальное приближение корня х=х0. Подставляя это значение в правую часть уравнения (6), получаем новое приближение: x1= (x0) (7) • Затем аналогичным образом получим x2 = (x1) (8) • Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (7), получаем последовательность значений xn+1 = (xn) , n=1,2, ... . (8)
Сущность метода • Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не станут близки результаты двух последовательных итераций. xn+1-xn (9) • Достаточным условием сходимости метода простых итераций является условие: /(x) < 1 (10) выполненное для любого x, принадлежащего некоторому отрезку [a,b], содержащему корень уравнения.
Геометрическая интерпретация метода • Построим графики функций y=x и y=(x) (рис.1). Корнем уравнения x=(x) является абсцисса точки пересечения кривой y=(x) с прямой y=x. • Итерационные процессы могут быть односторонними, если '(x)>0 и двусторонними, если '(x)<0 (рисунок 1).
Геометрическая интерпретация метода • Из графиков видно, что при '(x)>0 (рис.1(а,б)) и при '(x)<0 (рис.1(в,г)) возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. • Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной '(x). • Чем меньше '(x) вблизи корня, тем быстрее сходится процесс. • Таким образом, при переходе от уравнения f ( x ) = 0.к уравнению (6) необходимо, чтобы выполнялось условие (10).
Блок-схема метода простых итераций
