第二章数列极限

第二章数列极限 §1 数列极限概念 §2 收敛数列的性质 §3 数列极限存在的条件

第二章数列极限 §1数列极限概念

概念的引入 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽播放

正六边形的面积 正十二边形的面积正形的面积

2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”

数列的概念 如果按照某一法则,对每一nN, 对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,,xn, , 这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项. 数列举例: 2, 4, 8,, 2n, ; 1,-1, 1,, (-1)n+1,.

数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取注意：

xn x1 x4 x3 x5 x2 • 数列如果按照某一法则,对每一nN, 对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,,xn, , 这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项. • 数列的几何意义数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,,xn,.

数列如果按照某一法则,对每一nN, 对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,,xn, , 这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项. • 数列与函数数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n),nN .

数列的极限 播放

当无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: 通过上面演示实验的观察:

问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. • 数列极限的通俗定义当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a, 记为例如

当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a. • 分析当n无限增大时,xn无限接近于a. 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数. 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.

0, NN当nN时 有|xna| . • 数列极限的精确定义设{xn}为一数列 如果存在常数a对于任意给定的正数e 总存在正整数N使得当n>N时 不等式 |xna |<e 总成立则称常数a是数列{xn}的极限 或者称数列{xn}收敛于a记为如果不存在这样的常数a就说数列{xn}没有极限 • 极限定义的简记形式

0, NN当nN时 有|xna| . ( ) a-e a a+e • 数列极限的几何意义 • 任意给定a的e邻域(a-e,a+e), • 存在 NN当n<N时 点xn一般落在邻域(a-e,a+e)外: • 当n>N时 点xn全都落在邻域(a-e,a+e)内:

0, NN当nN时 有|xna| . 例1 证明分析:

0, NN当nN时 有|xna| . 例2 证明分析:

0, NN当nN时 有|xna| . 例3设|q|<1,证明等比数列 1,q,q2,,qn-1, 的极限是0. 证明因为0, N=[ log|q|e +1]N 当nN时,有 |qn-1-0|=|q|n-1<e , 分析: 对于0,要使 |xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e, 只要n>log|q|e+1就可以了.

用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. 例4 证所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结:

例5 证

若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<, 例6.证明证: >0 (要证N, 当n>N时, 有要使则当n>N时, 有

例7. 证:  >0, 由于

要使 | xn  a | < , 则当 n > N 时, 有

例8. 证:(1) 设a = 1, 结论显然成立. (2) 设a > 1, 从而 > 1+ nn

 >0,

(3) 设 0 < a < 1, 即 >0, N, 当n>N时, 有 (因 0 < a < 1)   . 综合得

小结 (1), 数列极限的定义; (2), 数列极限的几何意义; (3), 应用数列极限的定义证明数列极限的方法. • 作业 P27: 1, 2, 3, 5.

第二章数列极限 §2收敛数列的性质

收敛数列的性质 • 定理1(极限的唯一性) • 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一 证明使当n>N时,同时有因此同时有这是不可能的.所以只能有a=b.

收敛数列的性质 • 定理1(极限的唯一性) • 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一 • 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 注: 如果M0, 使对nN有|xn|M,则称数列{xn}是有界的; 如果这样的正数M不存在, 就说数列{xn}是无界的

收敛数列的性质 • 定理1(极限的唯一性) • 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一 • 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 • 讨论 1如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? 2数列1,1, 1,1,, (1)N1, 的有界性与收敛如何？

收敛数列的性质 • 定理1(极限的唯一性) • 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一 • 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 • 定理3(收敛数列的保号性) • 如果数列{xn}收敛于a, 且a0(或a0)那么存在正整数N当nN时 有xn0(或xn0) • 推论 • 如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0)且数列{xn}收敛于a那么a0(或a0)

定理4设有数列{xn}和{yn}如果 那么 • 数列极限的四则运算法则 • 不等式 • 定理5如果j(x)y(x)而limj(x)=a limy(x)=b那么ab

定理5(收敛数列与其子数列间的关系) • 如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a >>> 注: 在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列. 例如 数列{xn} 11 11 (1)n1的一个子数列为{x2n}111 (1)2n1

定理5(收敛数列与其子数列间的关系) • 如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a • 讨论 1 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 2 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列的收敛性如何? 3 发散的数列的子数列都发散吗？ 4如何判断数列11 11 (1)N1是发散的？

小结 (1), 唯一性; (2), 有界性; (3), 保号性; (4), 四则运算法则; (5), 不等式性; (6), 收敛数列与其子列的关系. • 作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.

第二章数列极限 §3 数列极限存在的条件

数列极限存在的条件 • 定理1(单调有界定理) • 单调有界数列必有极限 提问: 收敛的数列是否一定有界？有界的数列是否一定收敛？注: 如果xnxn+1nN 就称数列{xn}是单调增加的 如果xnxn+1nN 就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列

xn x1 x4 x3 x5 x2 A M 数列极限存在的条件 • 定理1(单调有界定理) • 单调有界数列必有极限 • 定理1的几何解释以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生

数列极限存在的条件 • 定理1(单调有界定理) • 单调有界数列必有极限 证明

{ } " e > $ > > - < e a : 0 , N 0 , n , m N a a . 数列收敛的充要条件是当时有 n n m x1 x4 x3 x5 x2 数列极限存在的条件 • 定理2(柯西收敛准则) • 定理2的几何解释柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.

小结 (1), 单调有界定理; (2), 单调有界定理的几何意义; (3), 柯西收敛准则; (4), 柯西收敛准则的几何解释. • 作业 P39: 1, 3, 5, 7, 8.

第二章 数列极限