Wykład 9

1. Wykład 9 Moce zbiorów Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

2. Równoliczność Dwa zbiory nazywamy równolicznymi wttw istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca jeden zbiór na drugi. P ~ N 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 ... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

3. Dowod (2) Dowód (1) d c f(x)= tg x a b -P/2 P/2 f(x) = (d - c)(x - a)/(b - a) + c Przykłady (1) Dowolne dwa przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych są równoliczne. (2) (- P/2, P/2) ~ R Lemat Jeśli A ~ B i B ~ C, to A ~ C. Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

4. Zbiory przeliczalne Każdy zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy przeliczalnym. f(n) = 2n Zbiory skończone lub przeliczalne nazywa się co najwyżej przeliczalnymi. Zbiór liczb parzystych f(n) = 2n+1 Zbiór liczb nieparzystych f(x) = 2x+1, gdy x >0 f(x) = - 2x , gdy x <0 Zbiór liczb całkowitych Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

5. Własności Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Podzbiór zbioru co najwyżej przeliczalnego jest co najwyżej przeliczalny. Wniosek: zbiór słów nad alfabetem skończonym jest zbiorem przeliczalnym. Przecięcie zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Suma zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Produkt zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. dalej Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

6. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

7. Podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny Niech X będzie zbiorem przeliczalnym, f - bijekcją taką, że f: N X oraz niech A będzie nieskończonym podzbiorem X. Definiujemy funkcję g : N  A tak, że g(0) = f(k0), gdzie k0 = min{i : f(i) A} g(1) = f(k1), gdzie k1 = min{i : f(i) A- {f(k0)}} g(2) = f(k2) ), gdzie k2 = min{i : f(i) A- {f(k0), f(k1)}} g jest funkcją różnowartoś-ciową i na A Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

8. Suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna {Ai}iN - rodzina zbiorów co najwyżej przeliczalnych. Skoro Ai jest co najwyżej przeliczalny, to możemy przedstawić ten zbiór w postaci ciągu nieskończonego {ai1 ,ai2, ai3, ...} ewentualnie powtarzając nieskończenie wiele razy element ostatni, gdy zbiór był skończony. Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

9. Zbiory nieprzeliczalne Zbiory, które nie są co najwyżej przeliczalne nazywają się nieprzeliczalnymi. Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) jest nieprzeliczalny. Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Zbiór wszystkich funkcji f : N  {0,1} jest nieprzeliczalny. Każdy nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest nieprzeliczalny. Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

10. 0 a0 b0 1 a1 b1 c0 [a0,b0] a0b0 b0 -a0 = 1/3c1 [a1,b1] a1b1 b1 -a1 = 1/9 c2 [a2,b2] a2b2 b2 -a2 = 1/27 itd. Przykład (1) Przedział [0,1] jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ad (1) Gdyby zbiór [0,1] był przeliczalny, to jego elementy możnaby było ustawić w ciąg np. (ci) iN .Tworzymy ciąg przedziałów [a0,b0], [a1,b1], [a2,b2], [a3,b3],... 1. Ciągi (ai) iN i (bi) iN są monotoniczne i ograniczone. 2. lim | ai - bi | = 0 Wniosek: istnieje liczba c= lim ai =lim bi . Ale c ci dla wszystkich iN ! Sprzeczność. Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

11. Konstruujemy ciąg d = d1d2d3... 0 gdy cii  01 gdy cii = 0 di = { Przykład (3) Zbiór 2 N wszystkich funkcji f : N {0,1} jest nieprzeliczalny. Dowód Zamiast mówić o funkcjach możemy mówić o ciągach zero-jedynkowych.Gdyby zbiór 2 N był przeliczalny, wtedy moglibyśmy ustawić te ciągi w ciąg (ci) iN . c11 , c12 , c13 , c14 , c15 , ... c21 , c22 , c23 , c24 , c25 , ... c31 , c32 , c33 , c34 , c35 , ... c41 , c42 , c43 , c44 , c45 , ... ... Oznaczmy kolejne elementy ciągu ci przez ci1 , ci2 ci3 , ... Ciąg d2N i jest różny od wszystkich ciągów (ci) iN . Sprzeczność! Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

12. Konstruujemy liczbę c = 0,c1c2c3c4... 5 gdy dii  57 gdy dii = 5 ci = { Przykład (2) Przedział otwarty (0,1) jest zbiorem nieprzeliczalnym. 0, d11 d12 d13 d14 d15 , ... 0, d21 d22 d23 d24 d25 , ... 0, d31 d32 d33 d34 d35 , ... 0, d41 d42 d43 d44 d45 , ... Ciąg wszystkich liczb z przedziału (0,1). Dowód Gdyby zbiór liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) był przeliczalny, wtedy moglibyśmy ustawić te liczby w ciąg (di) iN . Oznaczmy kolejne cyfry po przecinku liczby di przez di1 , di2 di3 , ... Oczywiście c jest różne od wszystkich liczb z ciągu (di) iN . Sprzeczność! Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

13. Liczby kardynalne Liczba kardynalna zbioru jest cechą przypisaną zbiorowi w taki sposób, że (1) liczba kardynalna zbioru pustego to 0, (2) liczba kardynalna dowolnego zbioru skończonego, to liczba jego elementów, (3) zbiory równoliczne mają przypisaną tę samą cechę . card(N) = alef 0. card( R) = c. Definicja card(X) = card(Y) wttw X ~Y card(X)  card(Y) wttw istnieje podzbiór zbioru Y równoliczny z X. card(X) < card(Y) wttw istnieje podzbiór właściwy zbioru Y równoliczny z X oraz X nie jest równoliczne z Y. Oznaczenie : liczba kardynalna X = moc zbioru X = card(X) = |X| Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

14. Twierdzenie Cantora Dla każdego zbioru X , card(X) < card(2 X). Dowód: Jeśli X jest zbiorem pustym, to twierdzenie jest prawdziwe. Oczywiście card(X)  card(2 X), bo funkcja g(x)= {x} odwzorowuje X na podzbiór zbioru potęgowego P(X), a mianowicie na {{x}: xX}. Wystarczy pokazać, że żaden podzbiór zbioru X nie jest równoliczny z 2 X . Przypuścmy przeciwnie, że dla pewnego A, istnieje bijekcja f : A  2 X . Mamy dla każdego a  A, f(a)  X. Niech Z= { a  A : a f(a)}. Oczywiście Z  X, czyli dla pewnego a0 f(a0) = Z.Iprzypadek a0 Z II przypadek a0 Z Ale wtedy a0 Z Ale wtedy a0 Z Sprzeczność! Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK