Гетероскедастичность и автокоррелированность случайного члена

1. Гетероскедастичность и автокоррелированность случайного члена (патология МНК)

2. Гетероскедастичность и ее последствия • Гомоскедастичность – дисперсия Var(ui) одинакова для всех наблюдений (т.е. одинаковый разброс). • Важность гомоскедастичности: • коэффициенты регрессии имеют наименьшую дисперсию среди несмещенных оценок • при нарушении гомоскедастичности оценки стандартных ошибок коэффициентов регрессии неверны

3. Обнаружение гетероскедастичности • Тест ранговой корреляции Спирмена • абсолютные величины остатков и значения x коррелированы • Коэффициент ранговой корреляции где Di– разность между рангом x и рангом остатка e ТеоремаЕсли коэффициент корреляции для генеральной совокупности равен нулю, то тестовая статистика имеет нормальное распределение N(0,1). ЗамечаниеВ множественной регрессии проверка гипотезы выполняется с использованием любой переменной.

4. Пример. Государственные расходы на образование (EE), валовый внутренний продукт (ВВП), и численность населения (P)

6. Обнаружение гетероскедастичности (продолжение) • Тест Голфелда-Квандта Предположения: 1) стандартное отклонение распределения uiпропорционально значению x в этом наблюдении 2) случайный член распределен нормально 3) в случайном члене отсутствует автокорреляция Алгоритм: наблюдения упорядочиваются по величине средние (n-2n/) отбрасываются для первых n/ и для последних n/ оценивается регрессия RSS2/RSS1имеет F-распределение с (n-n/ -2p):2и (n-n/ -2p):2степенямисвободы Условия применимости: (n- n/ ):2>k, если n=30, то n/ порядка 11 если n=60, то n/ порядка 22

7. Обобщенный МНК • Пусть • Модель примет вид • Перейдем к модели

8. Или • (*) • где новая переменная • Теорема Уравнение (*) дает более эффективные оценки, чем исходное уравнение. • Замечание В ОМНК минимизируется взвешенная сумма квадратов • Проблема: нам неизвестны Ki • Возможные пути решения: • приблизительно пропорционально x в парной регрессии или одной из переменных в множественной регрессии

9. Пример Пусть y-издержки производства, x1- объем продукции, x2 – основные производственные фонды, x3– численность работников • Модель издержек производства с объемными факторами y=a+b1x1+b2x2+... b3x3+U 1) Если предположим, что пропорциональна квадрату численности работников x3, то получим в качестве результативного признака затраты на одного работника, а в качестве факторов показатели: производительность труда, фондовооруженность труда. Модель:

10. 2) Если предположим, что пропорциональна квадрату объема производства x1, то получим в качестве результативного признака затраты на единицу (или на 1 рубль) продукциии, а в качестве факторов показатели: фондоемкость продукции, трудоемкость продукции. Модель: