人教版八年级数学上

1. 人教版八年级数学上 13.3.1角平分线的性质

2. A D B 活 动 1 C E 探究与实验 • 1、如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?

3. A D B C E • 2、证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB DC=BC AC=AC ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB ∴AC是∠A的角平分线

4. 活 动 2 探索作已知角的平分线 已知: ∠AOB 求作: ∠AOB的平分线 A O B

5. A M C o B N • 作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于 点N． • ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于点Ｃ． • ３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．

6. 活 动 3 实践与应用 C 1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。 B A O D

7. 活 动 4 探究角平分线的性质 实验: 将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? A O B

8. A D C P O E B A 第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD，PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等． O B 你能用三角形全等证明PD=PE吗？

9. A 证明： PD D OA , PE OB ∠ODP=∠OEP=90 C P 1 OC平分∠AOB 2 S △ ODP △OEP AAS ∠1= ∠2 O E B PD=PE 在△ ODP和△OEP中 ∠ODP=∠OEP ∠1 = ∠2 OP=OP 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。 求证: PD=PE。

10. 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线的性质： 想一想： 角平分线上的点到角两边距离相等，将题设和结论互换：到角的两边距离相等的点也在角平分线上.成立吗？

11. A D C P O E B 已知： PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为Ｄ，Ｅ，PD=PE 求证:　点P在∠AOB的平分线上． 证明：经过点Ｐ作射线OC. ∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 OP=OP, PD=PE, ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO(HL) ∴∠AOC=∠BOC ∴OC 是∠AOB的平分线。

12. 实践与应用2 活 动６ Ａ Ｄ Ｆ 证明：过点Ｐ作ＰＤ，ＰＦ，ＰＥ分别垂直于ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ，垂足为Ｄ，Ｅ，Ｆ。 ∵ＢＭ是△ＡＢＣ的角平分线，点Ｐ在ＢＭ上． ∴ＰＤ＝ＰE 同理ＰＥ＝ＰＦ ∴ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ 即点Ｐ到三边的距离相等。 Ｎ Ｐ Ｍ 如图：△ABC的角平分线ＢＭ，ＣＮ相交于点Ｐ． 求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ距离相等． Ｃ Ｂ Ｅ

13. 如图：在△ABC的 ∠ B的外角的平分线BD与 ∠ C的外角的平分线CE相交于点P． 求证：点Ｐ到三边AB，BC，AC的距离相等． 练习１： H D 证明：过点P作PM，PK，PH分别垂直于AB，BC，AC，垂足为M，K，H。 ∵BD平分∠CBM，点P在BD上． ∴PK＝PM 同理PK＝PH ∴PK＝PM＝PH 即点P到三边AB,BC,AC的距离相等 C E P K A B M

14. 练习２： 根据上题．请思考 在这个图形中，有几个点到 △ABC的三边的距离分别相等． b A a B C c

15. A E F D B C 练习３： 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB

16. 本节课学习了那些知识？有哪些运用？ 作业：P108页思考， P110页１，２，３题