§7.2 整除性 带余除法

1. 第七章 多项式环 §7.2 整除性 带余除法

2. 设 ，若存在 ，使 整除 ，则说 称作 当 时， 的因式， 的倍式。 称作 若 一、多项式整除的概念 • 多项式的整除性 ，记为： • 整除的基本性质 性质1：

3. 则 使 若 ，则 。 。（传递性） 证： 性质2： 证：

4. ，对 。 若 若 则对 有 若 则 性质3： 证： 性质4： 性质5：

5. 为常数。 且 则 ，且 设 则存在 使得 这里 或 证： 性质6： 性质7： • 带余除法定理 定理1：

6. 满足条件的 唯一确定。 2、设 则取 1、若 对 的次数n，利用数学归纳法。 即知结论成立。 当n<m时，显然取 下面讨论 的情况。 假设当次数小于n时， 的存在性已证 证：先证存在性。 商式 余式 ，即知结论成立。 现考虑次数为n的情况。

7. 分别是 的首项，因而多项式 令 的次数小于n或为0。 若 ，取 若 由归纳法假设，对 使 有 存在， 或者 其中 于是 取 就有 ，结论成立；

8. 其中 或者 若有 则 若 则 这与 矛盾， 故 从而 再证唯一性。

9. 且 例1 设 若 所得的余式和商式。 除 求 则 的充要条件是： 的余式 除 若 且 则有 若 ，则 推论1： 证： 充分性。 必要性。

10. 证明 的充要条件是 设 于是 故 。 由于 ， 的整除性 数域F上的多项式 与 是否会因数域的扩大而改变？ 例2 证： 充分性显然。 下证必要性， 多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变，那么 问题： 多项式的整除性不因数域的扩大而改变

11. 设 ，若在F上 是否在 上也有 ？ ， ，而 设 在 中， （多项式的整除性不因数域的扩大而改变） 则在 若 中， 则在 中也有 因此在 中， 则在 中有 若 结论： 证：

12. 仍是 的多项式。 但 中的多项式 因而在 中， 由 的唯一性知， 在 中 这一等式仍然成立。

13. 证：设 现证 左边 中S次项的系数是： 左边 t次项的系数是： 右边 中r次项的系数是： 下面证明多项式乘法满足结合律。 这只要比较两边同次项（比如t次项系数）相等即可。

14. 右边 的t次项的系数是： 乘法满足结合律。 定理2.： 设 时，则 • 当 左、右两边同次项的系数相等， 三、多项式的次数定理

15. 当 令 证：设 多项式乘法没有零因子。

16. ，矛盾。 推论3：若 且 则 由于 故 推论2：若 证：若f=0或g=0，则必有fg=0。 反之，若 乘法消去律成立。 证：

17. 对多项式的加、减、乘法封闭，故称为数域F 定义1： 上的多项式环。 对多项式的加、减、乘法是否封闭？