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邻域. 去心邻域. 函数的增量. 函数连续的定义. 观察下述图形 : 函数. 所表示的曲线在点. 时,. 处连续,当. 观察下述图形 : 函数. 所表示的曲线在点. 处不连续,当. 时,. 函数在一点连续的定义 1 设函数 y = f ( x ) 在点. 的. 左右近旁有定义,如果当自变量 x 在点. 处的增量. 趋. 于 0 时,函数. 相应的增量. 也趋于 0 ,即. 那么称函数. 在点. 连续. 例 1 证明函数. 在点. 处. 连续. 证 ( 1 )函数在点. 及其左右近旁有定义. ( 2 ). 在点. 处连续.
E N D
邻域 去心邻域
函数连续的定义 观察下述图形:函数 所表示的曲线在点 时, 处连续,当
观察下述图形:函数 所表示的曲线在点 处不连续,当 时,
函数在一点连续的定义1设函数y = f(x)在点 的 左右近旁有定义,如果当自变量x在点 处的增量 趋 于0时,函数 相应的增量 也趋于0,即 那么称函数 在点 连续.
例1证明函数 在点 处 连续. 证(1)函数在点 及其左右近旁有定义. (2) 在点 处连续. 所以,函数
若令 则 于是 函数在一点连续的定义2:设函数y = f(x)在点 有 其左右近旁有定义,如果函数 当 时的 极 限 存 在, 且 等 于 它 在 点 处 的 函 数 值 , 即 那么称函数 在点 连续.
函数 在点 处连续必须满足以下三个条 件: (1)函数y = f(x)在 点有定义,即 是一个 确定的数; (2)函数y = f(x)在 点有极限,即 存在; (3)极限值等于函数值,即
如果以上三个条件中有一个条件不满足,那么函数 在点 不连续. 这时,我们把 点叫做函数 的不连续点或间断点. 问:函数 在x=1连续吗? 为什么?
在点x=0点连续吗?为 问:函数 什么?
问:函数 在x=1点连续吗?为 什么?
例2讨论函数 在点 处 的连续性. 解因为 所以 有定义;又因 函数 在点 为 有极限,且 所以函数 在点 故函数在点 处连续.
区间上连续:如果函数 在区间(a,b)内每一 点都连续,那么称函数 内 在开区间 连续, 区间 叫做函 数 的连续区间. 如果函数 在 开区间(a,b)内连续,且在点a右连续,在点b左连 续,那么称 在闭区间 上连续. (几何意义如 图)
所有初等函数在其定义域内的区间上都是连续的.所有初等函数在其定义域内的区间上都是连续的.
例3求函数 的连续区间. 解 因为函数 是初等函数,所以根据定理2, 函数的连续区间就是它的定义区间. 故所求函数的连续 区间为
是初等函数, 是其定义区间内的点, 如果 那么 在 连续. 于是,根据连续性的定义,有 这就是说,初等函数对定义域内点求极限,就是求它的 函数值.
例4求 解 因为 是初等函数,它的一个定 在该区间内,所以 义区间为(0,π),
例5 解
闭区间上连续函数的性质 最大值与最小值定理如果 在闭区间[a,b]上 连续,那么 在 [a,b]上必有最大值 和最小值.
在闭区间[0,π]上有最大值和最 问:函数 小值吗? 问:函数 在开区间 内有最大值和最小 值吗?
介值定理如果函数 在闭区间[a,b]上连续, 且 在 这 区 间 的 端 点 取 不 同 的 函 数 值 那么对于A与B之间的任意一个 内 至 少 有 一 点 使 得 数 C, 在 开 区 间
在闭区间[a,b]上连 零点存在定理如果函数 续,且f(a)与f(b)异号,那么在(a,b)内至少存在一点 使得
小结: 1.函数的增量。 2.函数连续的定义。 3.函数的间断点。 4.初等函数的连续性。 5.闭区间上连续函数的性质。
作业 P36: 20(1)(3)
1. 需求函数与供给函数 商品的需求量Q与价格P的函数,称为需求函数,记作 商品的供给量Q与价格P的函数,称为供给函数,记作 市场平衡点 这时的商品价格 叫作市场平衡价格.
例1 已知某商品的需求函数是 ,供给函数是 ,求该商品市场处于平衡状态下的价格(元) 和需求量(万件). 解 所以,所求市场平衡价格为27元,需求量14万件.
2. 成本函数、收入函数与利润函数 总成本是生产一种产品所需的全部费用。通常总成本可分为两个部分:一部分是在短期内不发生变化的或变化很小的,如厂房、设备、保险费、管理人员的工资、广告费等,称为固定成本,通常用C1表示;另一部分是随产品数量的变化而直接变化的,如原料费、能源消耗费、生产工人工资、包装费等,称为可变成本,常用C2表示,它是产品数量Q的函数,即 因此,成产Q个单位时某商品的总成本C等于固定成本 与可变成本 之和,即
总成本函数是一个单调增加函数.总成本函数的图像叫作总成本曲线.总成本函数是一个单调增加函数.总成本函数的图像叫作总成本曲线. 总收入是销售者售出一定数量商品所得的全部收入。若商品的数量为Q,价格为P,则总收入R为 称为总收入函数.
设某商品的需求关系是 例2 其中Q是商品量,P是该商品的价格,求销售10件时的总收入. 解 生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是它的总利润,记作L,即 其中Q是产品的数量.总利润是产品数量的函数,称为利润函数.
例3 设某工厂生产某产品每 t售价2万元,每天生产Q t的总成本为C(万元),且 求每天生产2、5、7件时的总利润. 解 利润为零,生产处于无盈亏状态. 我们把无盈亏生产时的产量称为无盈亏点(或保本点).
例4 (1)求例3中该厂生产的无盈亏点. (2)若该厂每天至少生产7 吨产品,为了不亏本,单价应定多少钱? 解 即该厂无盈亏点有两个,分别为生产1 吨和生产5 吨. (2)设单价定为P(万元),则销售7 吨的收入应为 为使生产经营不亏本,就必须使