曲面之柱面、旋转面、椭球面

曲面之柱面、旋转面、椭球面 欧阳顺湘北京师范大学

Recall

平面上的两点 的距离：空间两点间的距离：

1）曲面S 上任一点M(x,y,z)的坐标均满足 F(x,y,z)=0 ; 方程曲面方程（Equations for a Surface)：定义：在空间直角坐标系下，设有曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 , 若满足 2）不在曲面 S上的点的坐标均不满足方程F(x,y,z)=0 则称方程F(x,y,z)=0为曲面 S的方程。曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形。

球心、半径为 R 的球面方程平面方程球面方程：

更多曲面 • 柱面 • 旋转面 • 椭球面

柱面 平面内一直线L沿着一定曲线C移动而形成的曲面叫做柱面其中，直线L叫做母线，曲线C叫做准线。

柱面F(x,y)=0 z (x,y,z) M 母线 0 y F( x,y )=0 z= 0 x 准线 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面 (不含z) 曲面S上每一点都满足方程； S (x, y, 0) N 点N满足方程，故点M满足方程曲面S外的每一点都不满足方程

椭圆柱面 z 平行于 Z 轴的直线沿着XOY平面内的椭圆移动 o y x b a

圆柱面

双曲柱面 z y = 0 x o y

抛物柱面 z y o x

z o y x 柱面方程的特点如果方程中不含变量 Z（ X 或 Y )，则母线平行于Z ( X 或 Y )轴，柱面垂直于 XOY ( YOZ 或 XOZ )面。

缺失变量与母线 例：圆柱面方程：

旋转面 • 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。这条直线叫做旋转曲面的轴。

旋转抛物面 z y 教材中a=1 这时抛物线为抛物线绕 z轴一周 o

. z y x 旋转抛物面抛物线绕 z轴一周 o

. 旋转抛物面抛物线绕 z轴一周得旋转抛物面 z . o y x

. 例卫星接收装置

从曲线方程到曲面方程 旋转面由曲线确定

. 从曲线方程到曲面方程旋转抛物面抛物线绕 z轴一周得旋转抛物面 z . o y x

从曲线方程到曲面方程 • 绕z轴转，z不变，另一个变量 y 改为

旋转面的方程 z o y 绕 z轴曲线 C C

. z o y x 旋转面的方程绕 z轴曲线 C C

. x 旋转面的方程 z 绕 z轴曲线 C P 旋转一周得旋转曲面S N . M M(x,y,z)  S z S C f (y1, z1)=0 o y

. z o y x 旋转面的方程绕 z轴曲线 C P 旋转一周得旋转曲面S N . M M(x,y,z)  S z S C f (y1, z1)=0 f (y1, z1)=0 f (y1, z1)=0 . .

. 从曲线方程到曲面方程旋转抛物面抛物线绕 z轴一周得旋转抛物面 z . o y x

求旋转面方程的方法

1）设在 坐标平面上有一已知曲线C，把该曲线绕z 轴旋转一周，得一个以z轴为轴的旋转曲面。在曲线C 的方程中，只要将y改成 z不变，同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为：

2）xoy 面上的曲线C ： 绕X轴绕Y轴 3）zox 面上的曲线C ：绕X轴绕Y轴

双叶旋转双曲面 y x 绕 x轴一周 0

. z y 双叶旋转双曲面 x 绕 x轴一周 0

. z y 11.双叶旋转双曲面 x 绕 x轴一周 . 0 2）xoy 面上的曲线C ：绕X轴

单叶旋转双曲面 y o x 上题双曲线绕 y轴一周 a

. y o x z 单叶旋转双曲面上题双曲线绕 y轴一周 a

. y o x z 单叶旋转双曲面上题双曲线绕 y轴一周 . . a xoy 面上的曲线 C ：绕Y轴

旋转锥面 x o y 两条相交直线绕 x轴一周

. x z o y 旋转锥面两条相交直线绕 x轴一周

. x z o y 旋转锥面两条相交直线绕 x轴一周得旋转锥面 .

环面 y o x 绕 y轴旋转所成曲面 r R

. y o x z 环面绕 y轴旋转所成曲面

. y o x z 环面绕 y轴旋转所成曲面生活中见过这个曲面吗？环面方程 . .

. 环面救生圈

截痕法 • 抛物面 • 椭球面

. 旋转抛物面抛物线绕 z轴一周得旋转抛物面 z . o y x

抛物面 z y 0 x 截痕法用z = a截曲面用y = b截曲面用x = c截曲面

. z y 0 x 抛物面截痕法用z = a截曲面用y = b截曲面用x = c截曲面

椭球面 z o y x c 截痕法用z = h截曲面 b 用y = m截曲面用x = n截曲面 a

练习 • Page 210 3 • 答案在最后

曲面之 柱面、旋转面、椭球面