500 likes | 793 Views
Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики. Мотив введения обыкновенных дробей. Не хватает чисел для выполнения простейших вычислений. Натуральные числа и число 0. Определение обыкновенной дроби. Основное свойство дроби. Равные обыкновенные дроби. Сравнение дробей.
E N D
Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики Мотив введения обыкновенных дробей Не хватает чисел для выполнения простейших вычислений Натуральные числа и число 0
Определение обыкновенной дроби Основное свойство дроби Равные обыкновенные дроби Сравнение дробей Сократимые дроби Несократимые дроби Способы доказательства равенства дробей Изображение на координатной прямой Действия с обыкновенными дробями Действия со смешанными числами Перевод в де-сятичную дробь Умножение Деление Сложение Вычитание Рациональные приемы вычитания Распредели-тельный закон Нахождение числа по его части Нахождение части от числа Разные способы умножения Законы сложения Законы Рациональные числа
Обыкновенныедроби Итоговый урок по теме
История вопроса • В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах... 1 2 3 ...!?
Но с развитием цивилизации • человеку потребовались всё большие и большие числа... 100 20 6 10100 10 358 1024
Процесс этот продолжался несколько столетий и потребовал большого умственного труда
? С зарождением обмена ? = < >
Развитие науки Возникновению и развитию науки арифметики способствовало её практическое применение строительство мореплавание торговля
Много веков в арифметике имели дело с относительно небольшими числами. Например, в системе счисления Древней Греции самыми боль-шим числом, которое имело название, была «мириада» - 10000.
Долгое время для записи чисел люди пользовались только целыми числами 267 104 538 8754 970
3 1 7 8 2 15 Но числа бывают и... дробными, то есть неполными
3 4 Обыкновенной дробью называется или несколько частей единицы часть единицы
1 8 Название долей зависит от того, на сколько равных частей разделена единица (предмет, фигура)
1 5 6 6 Одна шестая Пять шестых
р п Определение Если числитель меньше знаменателя (p < n), то дробь называется Число, показывающее количество взятых долей, называется р числителем дроби правильной п Число, показывающее, на сколько долей разделена единица (целое), называется Если числитель не меньше знаменателя (p ≥ n), то дробь называется знаменателем дроби неправильной Здесь p – целое число, n – натуральное число
где a – целая часть, - дробная часть Смешанное число Запись вида называется смешанным числом ,
Пусть дробь неправильная. Выделение целой части из неправильной дроби b : n = a (остатокp) n a p p a = n
Всякую дробь можно отобразить на числовом луче Х О 1 Луч с заданным единичным отрезком называют числовым
Координатный луч A P Х О 2 1 3 4 Единичный отрезок Р(3) Координата точки P равна 3 A(1) - второе название числового луча
2 5 1 1 A Х 6 6 3 2 О 1 Отображение обыкновенных дробей на числовом луче Чтобы отобразить на числовом луче дробное число, единичный отрезок делят на части
8 11 4 Х 6 6 3 О 1 2 1 1 3 Отображение обыкновенных дробей на числовом луче =
t p q n С помощью числового (координатного) луча можно • выполнять арифметические действия • сравнивать дробные числа ? < = > + сложение – вычитание × умножение : деление
Х 2 1 2 1 6 3 6 3 О 1 Сравнение дробей Сравнение дробей выполняется по правилу: • если числам соответствует одна и та же точка числового луча, то числа считаются равными =
p t п q Сравнение дробей Теорема Для того чтобы две дроби были равны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство натуральных чисел. pq = nt = , если
p t п q Эквивалентные дроби Две дроби и эквивалентными называются , когда они выражают длину одного и того же отрезка
p п Несократимые дроби Если числитель и знаменатель дроби числа взаимно простые*, то дробь называется несократимой * - взаимно простыми называются числа, не имеющие общего делителя
Несократимые дроби Теорема Для любого положительного рационального числа (т.е. для множества эквивалентных дробей) найдется одна и только одна представляющая его дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты.
A Х О 1 1 5 5 1 3 6 6 3 Сравнение дробей Сравнение дробей выполняется по правилу: • на числовом луче большему из двух чисел соответствует точка, расположенная правее >
p p · a p p : a п n · a п n:a Основное свойство дроби Величина дроби не изменится, если её числитель и знаменатель одновременно умножить (разделить) на одно и то же число, не равное нулю. = = a ≠ 0
p t п п Арифметические действия с дробями • Вычитание • Сложение p ─ + t + ─ = n n ≠ 0
p t п q Арифметические действия с дробями • Деление • Умножение p q · t : · = · n q t n ≠ 0; q ≠ 0; t ≠ 0 n ≠ 0; q ≠ 0
3 1 1 4 8 8 2 8 Рассмотрим примеры на сложение дробей Дроби с одинаковыми знаменателями + 3 1 + = = = 8 Числители дробей складываются Знаменатели остаются без изменения!
1 4 3 1 3 1 1 2 8 8 8 8 2 8 3 3 Рассмотрим примеры на сложение дробей Смешанные числа с одинаковыми знаменателями + ( ) = + 2 1 + + = = =
1 5 5 5 5 1 2 4 8 8 8 8 10 3 4 8 Рассмотрим примеры на сложение дробей Смешанные числа с одинаковыми знаменателями + ( ) = + 2 1 + + = = = При получении в сумме неправильной дроби из неё всегда выделяется целая часть
1 3 4 8 Рассмотрим примеры на сложение дробей Дроби с разными знаменателями ? + =
1 3 5 Х Х Х 4 8 8 О О О 1 1 1 5 8 Рассмотрим примеры на сложение дробей Дроби с разными знаменателями ? + =
3 1 1 2 8 8 4 8 Рассмотрим примеры на вычитание дробей Дроби с одинаковыми знаменателями – 3 1 – = = = 8 Из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемого Знаменатели остаются без изменения!
5 2 5 2 3 5 2 8 8 8 8 8 3 Рассмотрим примеры на вычитание дробей Смешанные числа с одинаковыми знаменателями – ( ) = – 5 2 + ) + – = ( При невозможности выполнить вычитание дробных частей смешанных чисел одну единицу целой части уменьшаемого дробят и «присоединяют» к его дробной части
7 7 1 2 5 8 8 4 8 8 Рассмотрим примеры на вычитание дробей Дроби с разными знаменателями – 7 2 – – = = = 8 Перед началом выполнения действия с дробями, имеющими разные знаменатели, необходимо выполнить приведение дробей к одному знаменателю
5 1 3 Х Х Х 8 4 8 О О О 1 1 1 3 8 Рассмотрим примеры на вычитание дробей Дроби с разными знаменателями ? – =
5 10 5 2 12 24 8 3 Рассмотрим примеры на умножение дробей · 5 2 · = = = · 3 8 Числители дробей перемножаются Знаменатели дробей перемножаются Первое произведение делится на второе
5 р 8 n · 10 1 5 2 · 1 2 8 8 4 Рассмотрим примеры на умножение дробей Умножение дроби на натуральное число · p t · = t n = = = В этом случае достаточно умножить числитель на натуральное число и поделить произведение на знаменатель
р 5 8 n 5 : 2 16 Рассмотрим примеры на деление дробей Деление дроби на натуральное число p : = t · n t 5 = = · 2 8 В этом случае достаточно умножить знаменатель на натуральное число и поделить числитель на произведение
р n n p Взаимно обратные дроби • Дроби называются взаимно обратными, если их произведение равно единице · = 1
q t р q р : n t n q t Рассмотрим примеры на деление дробей Деление дроби на дробь · : = В этом случае достаточно заменить деление дробей умножением делимого на дробь, обратную делителю
1 3 4 3 4 1 : 4 3 15 5 5 4 Рассмотрим примеры на деление дробей Деление дроби на дробь · : = =
Желающие могут проверить свои знания арифметических действий с обыкновенными дробями