ПРЕЗЕНТАЦИЯ НА ТЕМУ « РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

1. ПРЕЗЕНТАЦИЯ НА ТЕМУ« РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ» ЛЕНЬШИНА АЛИНА 9 «А»

2. ЧТО ТАКОЕ ТРЕУГОЛЬНИК? ТЕСТЫ (повторение) ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ диктанты КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

3. 1) ABC BCA CBA 2) ТРЕУГОЛЬНИК - геометрическая фигура, состоит из 3х точек не лежащих на 1ой прямой, и 3х отрезков, попарно соединяющих эти точки. НАЗВАНИЯ МОЖНО ЛИ СЧИТАТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОМ: вершина А сторона С В

4. ABC КМО = ,ТО = = = = = = СА АВ ВС ОК МО КМ ОКМ ВСА МОК КМО АВС САВ ТРЕУГОЛЬНИКИ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ, ЕСЛИ У НИХ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СТОРОНЫ РАВНЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УГЛЫ РАВНЫ. ПРИ ЭТОМ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УГЛЫДОЛЖНЫ ЛЕЖАТЬ ПРОТИВ СООТВЕТСТВУЮЩИХ СТОРОН В С О М А К

5. ЧТО ТАКОЕ ТРЕУГОЛЬНИК? ТЕСТЫ (повторение) ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ диктанты КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

6. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ВТОРОЙ ПРИЗНАК ТРЕТИЙ ПРИЗНАК

7. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ПРИЗНАК ПО СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ) ЕСЛИ ДВЕ СТОРОНЫ И УГОЛ МЕЖДУ НИМИ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ

8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: • ДАНО: • АВС и • А1В1С1 • АВ=А1В1 • АС=А1С1 • LА=LА1 ПУСТЬ у треугольниковАВС и А1В1С1 АВ=А1В1 АС=А1С1 LА= LА1 С2 1. С С1 ДОКАЖЕМ,ЧТО ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ А А1 В2 В • ДОКАЗАТЬ: • АВС= • А1В1С1 В1 2. ПУСТЬА1В2С2 = АВС, с вершиной В2 на луче А1В1 и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1 А) АВ=А1В1(ПО УСЛОВИЮ) АВ = А1В2(2) => А1В1=А1В2 Вершина В2 СОВПАДЕТ С В1 LВАС=LВ1А1С1(ПО УСЛОВИЮ) ВАС=LВ2А1С2(2) => LВА1С1= LВ2А1С2 Б) Луч А1С2 совпадет с лучем А1С1 АС=А1С1(ПО УСЛОВИЮ) АС=А1С2(2) В) => LВ1А1С1= LВ2А1С2 Вершина С2 совпадет с С1 ИТАК, А1В1С1 СОВПАДАЕТ С А1В2С2 ЗНАЧИТА1В1С1 = АВС. (ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА)

9. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ВТОРОЙ ПРИЗНАК ТРЕТИЙ ПРИЗНАК

10. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ПРИЗНАК ПО СТОРОНЕ И ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ) ЕСЛИ СТОРОНА И ПРИЛЕЖАЩИЕ К НЕЙ УГЛЫОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО СТОРОНЕ И ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ.

11. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: • ДАНО: • АВС и • А1В1С1 • АB=А1B1 • LА=LА1 • LB=LB1 С2 ПУСТЬ у треугольниковАВС и А1В1С1 АB=А1B1 LА=LА1 LB=LB1 С1 С 1. В2 А В А1 В1 ДОКАЖЕМ,ЧТО ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ 2. • ДОКАЗАТЬ: • АВС= • А1В1С1 ПУСТЬА1В2С2 = АВС, с вершиной В2 на луче А1В1 и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1 А) т.к.А1В2=А1В1 Вершина В2 СОВПАДЕТ С В1 Б) т.к.LВ1А1С2 =LВ1А1С1 LА1В1С 2 =LА1В1С1 Вершина С2 совпадет с С1 => Луч А1С2 совпадет с лучем А1С1 Луч В1С 2 = совпадет с лучем В1С1 ИТАК, А1В1С1 СОВПАДАЕТ С А1В2С2 ЗНАЧИТА1В1С1 = АВС. (ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА)

12. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ВТОРОЙ ПРИЗНАК ТРЕТИЙ ПРИЗНАК

13. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ПРИЗНАК ПО ТРЕМ СТОРОНАМ ) ЕСЛИ ТРИ СТОРОНЫ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО ТРЕМ СТОРОНАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ.

14. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: ДОПУСТИМ,ЧТО ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ.ТОГДА LС LС1 LА LА1 LBLB1 • ДАНО: • АВС и • А1В1С1 • АB=А1B1 • BC=B1C1 • CА=C1А1 D С1 С С2 1. А В1 В А1 ИНАЧЕ ОНИ БЫЛИ БЫ РАВНЫ ПО ПЕРВОМУ ПРИЗНАКУ ПУСТЬА1В1С2 = АВС, у которого вершина С2 лежитв той же полуплоскости где и вершина С1 относительно прямой А1В1 2. • ДОКАЗАТЬ: • АВС= • А1В1С1 ПУСТЬD – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2и В1С1С2 равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы А1D и В1D являются высотами. Значит прямые А1D и В1D перпендикулярны прямой С1С2. Прямые А1D и В1D не совпадают, так как точки А1, В1,D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. (ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА)

15. ЧТО ТАКОЕ ТРЕУГОЛЬНИК? ТЕСТЫ (повторение) ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ диктанты КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

16. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ВТОРОЙ ПРИЗНАК ТРЕТИЙ ПРИЗНАК

17. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1*. В треугольниках ABC и DEF [ABD и MPQ] сторона AB [AD] равна DE [MQ], сторона BC [BD]равна EF [PQ], угол C [D] равен углу F [Q]. Можно ли на основании первого признака равенства утверждать, что эти треугольники равны? 2*. В треугольниках KLM и FPQ [ABC и KLM] сторона KL [AB] равна FP [KL], сторона KM [BC] равна FQ [LM], угол K [A] равен углу F [K]. Можно ли на основании первого признака равенства утверждать, что эти треугольники равны?

18. 3 . В треугольниках KNO и PQT [ABC и DEF] равные стороны KN [AB] и PQ [DE] и углы K[A] и P [D]. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по первому признаку? 4. В треугольниках МРК и АОВ сторона МР равна АО, сторона МК равна АВ. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по первому признаку? [Закончите предложение: «Первый признак равенства треугольников – это признак равенства по…» ]

19. 5. В треугольниках АВС и DEF стороны АВ и ВС [MPQ и KLT стороны MP и PQ] равны соответственно сторонам DE и EF [KL и LT]. Треугольники эти не равны. Что можно сказать об углах В и Е[ P и L]? 6. Закончите предложение: «Первый признак равенства треугольников – это признак равенства по…» [ В треугольниках PQR и CST сторона PR равна CT, сторона QR равна ST. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по первому признаку? ]

20. 7. У треугольников АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1 и углы А и А1. Равенство каких сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании первого признака равенства? [У треугольников АВС и А1В1С1 равны стороны ВС и В1С1 и углы С и С1. Равенство каких сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании первого признака равенства треугольников? ]

21. 8. Докажите равенство треугольников АВС и СМК [ ВМК ].

22. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ВТОРОЙ ПРИЗНАК ТРЕТИЙ ПРИЗНАК

23. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1*. В треугольниках АВС и DEF [ABC и MNQ] сторона AB равна DE [MP], углы A и B равны соответственно углам D и F [M и P]. Равны ли эти треугольники по второму признаку треугольников? 2. В треугольниках KMN и PQT [ABC и KLM] сторона NM [AB] и N [A] и M [B] равны соответственно стороне PQ [KL] и углам P [K] и Q[M]. Равны ли эти треугольники по второму признаку?

24. 3. В треугольниках KNM и PQT [ABC и DEF] сторона [углы] KN [A и C] равна [равны] стороне PQ [соответственно углам D и F ]. Угол N = углу Q. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по второму признаку? 4. В треугольниках MQP и LKT [BCD и MPK] углы [сторона] M и Q [CD] равны [равна] соответственно углам [стороне] L и T [PK,угол D= углу K]. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по второму признаку?

25. 5. В треугольниках BCD и MPQ [MPQ и KLT] углы B [M] и D [Q] равны соответственно углам M [K] и Q [T] . Треугольники эти не равны. Что от сюда следует в соответствии со вторым признаком треугольников? 6. Закончите предложение: «Второй признак равенства треугольников – это признак равенства по…» [сколько условий должно выполняться, чтобы треугольники CDE и XYZ оказались равными по определению равных треугольников; сколько – для равенства по первому признаку; сколько - для равенства по второму признаку?]

26. 7. У треугольников АВС и А1В1С1 равны стороны ВС и В1С1и углы С и С1. Равенство каких еще сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании второго признака равенства? [У треугольников АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1и углы А и А1. равенство каких сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании второго признака равенства треугольников?] 8. Сколько условий должно выполниться, чтобытреугольники АВС и MPQ оказались равными по определению равных треугольников; сколько – для равенства по первому признаку; сколько - для равенства по второму признаку? [Закончите предложение: «Второй признак равенства треугольников – это признак равенства по…»]

27. 9. Докажите равенство треугольников АВС и СМК [ ВМК ].

28. 10. Можно ли воспользоваться для установления равенства треугольников одним из известных вам признаков?

29. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ВТОРОЙ ПРИЗНАК ТРЕТИЙ ПРИЗНАК

30. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1. Стороны одного треугольника равны 30см, 40см и 0,5м, а другого – 30см, 40см и 5дм. Равны ли эти треугольники? [ В треугольнике АВС стороны 20см, 30см и 0,4дм, а в треугольнике ЕМК стороны равны 20см, 30см и 0,4м. Равны ли эти треугольники?] 2. В треугольниках ВОС и МАЕ равны стороны ВО и МА, ОС и АЕ.[В треугольниках АСМ и ВЕК стороны АС и СМ равны соответственно сторонам ВЕ и ЕК.] Обязательно ли эти треугольники равны?

31. 3. Сколько равных пар сторон надо найти, доказывая равенство двух треугольников: А) по определению Б) по первому признаку В) по второму признаку Г) по третьему признаку [ Закончите предложение: «третий признак равенства треугольников – это признак равенства по …».] 4. В треугольниках АВС и PОT [МКE] стороны АВ и ВC равны соответственно сторонам РО и ОТ [MK и KE]. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по третьему признаку?

32. 5. Закончите предложение: «Третий признак равенства треугольников – это признак равенства по…» [сколько пар равных углов надо найти, доказывая равенство двух треугольников: А) по первому признаку Б) по второму признаку В) по третьему признаку? 6. В неравных треугольниках АВС и МЕК стороны АВ и ВС равны соответственно сторонам МЕ и ЕК. Может ли сторона АС быть равной стороне МК? [Стороны треугольника ВСМ равны 6см, 8см и 10см, а две стороны треугольника КОА равны 10см и 6см. Что можно сказать о третей стороне этого треугольника, если известно, что треугольники не равны? ]

33. 7. Докажите равенство треугольников АВС и АСМ [ АМК и АВК ].

34. 8. Докажите равенство треугольников АВС и АМК [ ЕСМ и КСМ ].

35. 9. Докажите равенство треугольников СОВ и СМО [ОМА и ОРС].

36. ЧТО ТАКОЕ ТРЕУГОЛЬНИК? ТЕСТЫ (повторение) ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ диктанты КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

37. Равенство треугольников. Медиана, высота и биссектриса треугольника. Вариант 1 Вариант 2

38. Равенство треугольников. Медиана, высота и биссектриса треугольника. Вариант 1 1. Известно ,что BD – медиана ABC, DE = DBи что AB = 5,8 см, BC = 7,4 см, AC = 9 см. Найдите CE. а) 3,7 см; б) 5,8 см; в) 7,4 см; г) 4,5 см; 2.OMи ON – высоты AOBи COD, причем OM = ON. Найдите CD, если AO = 6,5 см, AM = 4,2 см и DN = 5,6 см. а) 2,3 см; б) 12,1 см; в) 10 см; г) 9,8 см.

39. 3. Дано: MPC = DAB,MP= 12 см, CP = 8 см, LA = 730 Какое из высказываний верное? а) DB = 8см, АВ = 12 см; б) LM = 730АВ = 8 см; в) AD = 12см, LP = 730 г) AB = 12 см, LP = 730 • АВС= А1В1С1. Периметр АВС=39 см. Сторона А1В1А1В1С1 в 1,5 раза меньше стороны В1С1, а А1С1 на 3 см меньше стороны А1В1. Найдите большую сторону АВС. • а) 15 см; б) 16 см; в) 18 см; г) 19 см.

40. 5. В треугольник МРК и BDE проведены две биссектрисы РС и DN; треугольник МРС равен треугольнику BDN. Найдите отрезок NE, если МК =8см, а BN < NEна 2,4 см. а) 2,8 см; б) 5,2 см; в) 5,6 см; г) 2,6см. 6. прямая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек А и В в разные полуплоскости проведены равные отрезки ADи BC, причем угол BAD равен углу ABC. Какие из высказываний верные: 1) CAD = BDA; 3) BAD = BAC; 2) LDBA = LCAB; 4) ADB = BCA? а) 2;4; б) 2;3;4; в) 1;4; г) 1;2;3;4.

41. 7. Сколько пар равных треугольников на рисунке? а) 1; б) 2; в) 3; г) 4. 8. На какое наибольшее число равных треугольников может разделить прямоугольник ломаная, состоящая из трех звеньев? а) 2; б) 3; в) 4; г) 6.

42. Равенство треугольников. Медиана, высота и биссектриса треугольника. Вариант 1 Вариант 2

43. Вариант 2 1. Известно ,что AO – медиана ABC, AO =OK и что AB =6,3см, BC=6,5см,AC=6,7см.НайдитеCK. а) 6,4см; б) 6,7см; в) 6,5см; г) 6,3см;

44. 2. OHи ON – высоты углов треугольников MOKи EOF, причем OH = ON. Найдите длину отрезка MK, если EN = 7,8 см, OE = 8,6 см и HM = 6,3 см. а) 13,9 см; б) 14,1 см; в) 14,9 см; г) 16,4 см.

45. 3. Дано: ABC= DEF,LB=730, BC = 6,9 см, DF = 7,6 см, Какое из высказываний верное? а) DE = 6,9 см, АC = 7,6 см; б) E = 730 АC = 7,6 см; в) DF = 6,9см, E = 730; г) AC = 7,6 см, D = 730 4. Треугольник СDE равен треугольнику C1D1E1. Периметр треугольника СDE равен 76 см. Сторона C1D1в 2,5 раза меньше стороны D1E1, а C1E1 на 8 см меньше стороны D1E1. Найдите большую сторону треугольника СDE. а) 30 см; б) 28 см; в) 35 см; г) 28 см.

46. 5. В треугольникABC и KPM проведены две биссектрисы BO и PE; треугольник ABO равен треугольнику KPE. Найдите отрезок EM, если AC = 9 см, а EM < KEна 3,8 см. а) 6,4 см; б) 5,4 см; в) 2,6 см; г) 4,8 см. 6. прямая MK разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек M и K в разные полуплоскости проведены равные отрезки MAи KB, причем угол AMK равен углу BKM. Какие из высказываний верные: 1) AMB = AKB; 3) MKA = KMB; 2) LAKM = LBMK; 4) LAMB =LKBM? а) 1; 3; 4; б) 1;2;4; в) 1;3; г) 2;3;

47. 7. Сколько пар равных треугольников на рисунке? а) 2; б) 6; в) 8; г) 4. 8. На какое наибольшее число равных треугольников может разделить прямоугольник ломаная, состоящая из трех звеньев? а) 2; б) 4; в) 3; г) 6.

48. ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

49. ЧТО ТАКОЕ ТРЕУГОЛЬНИК? ТЕСТЫ (повторение) ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ диктанты КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

50. ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 3 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ 4 И И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ