Свойства функций в неравенствах

1. Свойства функций в неравенствах Карташян Марсел Вардгесович МБОУ лицей №6, г. Шахты Ростовской области

2. Аннотация • Применение свойств функций может оказаться достаточно эффективным при доказательстве и решении неравенств. С нахождением области определения, области значений, промежутков знакопостоянства, промежутков монотонности, точек экстремума, наибольшего или наименьшего значения функции в работе доказываются и решаются неравенства. Важно отметить, что как любой математический метод, так и этот не может быть абсолютно предпочтительным. Также приведены задачи для самостоятельного решения.

3. Цели и задачи • Ознакомление учащихся с методом применения свойств функций для доказательств и решения неравенств; • Создать условие для владения и развития данного метода учащимися; • Создать такую среду, чтобы учащиеся почувствовали силу этого метода, одновременно убедительно зная, что любой математический метод не может быть абсолютно предпочтительным.

4. 1. Дано неравенство f(x)>g(x). Если D(f) D(g)=0, то неравенство не имеет решений. U • Пример. Решить неравенство • Решение. Пусть Тогда D(f)=(2; 3)U(6; +∞), a D(g)=[4; 5]. Так как D(f) D(g)=0, то данное неравенство не имеет решений. U

5. U 2. Дано неравенство f(x)>g(x). Если D(f) D(g)=Х и для любых х Х неравенство верно, то множество Х является ответом. • Пример. Решить неравенство • Решение. Для функции D(f)=[1;+∞), а для функции D(g)=(-∞;4]. X=D(f) D(g)=[1;+∞) (-∞;4]=[1;4]. На Х f(x)≥3 и g(x)≤ следовательно, неравенство верно на [1;4]. U U

6. U 3. Дано неравенство f(x)>g(x). Если D(f) D(g)=Х и на Х неравенство неверно, то оно не имеет решений. • Пример. Решить неравенство • Решение. Для функции D(f)=[-1;5], a для функции D(g)=[2;6]. X=D(f) D(g)=[-1;5] [2;6]=[2;5]. gнаим=5 при х=2, когда , а fнаиб=3 при х=-4/(2∙(-1))=2, когда квадратный трехчлен 4х-х2+5 принимает наибольшее значение. Значит, данное неравенство не имеет решений. U U

7. 4. Оценивание. • Пример. Решить неравенство х+1/х<1+sinx. • Решение. ОДЗ х: х≠0. Пусть x>0, тогда f(x)=х+1/х≥2 и g(x)=1+sinx≤2, следовательно, в этом случае решений нет (число х=1 не является решением). Пусть x<0, тогда f(x)=х+1/х≤-2, а gнаим=0, когда sinx=-1. Значит, любое отрицательное число является решением данного неравенства. Ответ. x<0.

8. 5. Область значений функции • Пример. Решить неравенство х2+6х+10<|2+x|/(2+x). • Решение.f(x)=х2+6х+10=х2+6х+9+1=(x+3)2+1, значит, fнаим=f(-3)=1. Областью значений функции g(x)=|2+x|/(2+x) является множество {-1; 1}, причем g(x)=1 при x>-2. Ответ. Решений нет.

9. 6. Промежутки знакопостоянства функции • Пример. Решить неравенство • Решение. Пусть а g(x)=x-3. D(f) определяется системой х-4>0, x>4, 8x-x2-15≥0; x2-8x+15≤0; x (4; 5]. На этом промежутке 0<x-4≤1, значит, lg(x-4)≤0, f(x)≤0. Функция g(x) на этом же промежутке положительна. Ответ. (4; 5].

10. 7. Наибольшее или наименьшее значение функции • Пример. Решить неравенство • Решение. ОДЗ х: 2≤х≤4. Данное неравенство представим в виде: На отрезке [2;4] 1≤log2x≤2, следовательно, для функции Одновременно, наименьшее значение функции больше 8. Ответ. [2; 4].

11. 8. Точка экстремума функции • Пример. Доказать, что при x>2 2(x3+6x)-4>9x2. • Доказательство. Рассмотрим функцию f(x)=2(x3+6x)-9x2-4. f’(x)=6(x-1)(x-2). x=2 – точка минимума функции, и на промежутке [2; +∞) f(x) возрастает. Т. к. f(2)=0, то f(x)>0 при x>2.

12. 9. Возрастание или убывание функции • Пример. Решить неравенство (13-2х)log32(13-2x)<33x-2. • Решение. ОДЗ х: 13-2x>0, x<6,5. Обе части логарифмируем по основанию 3:log33(13-2x)<3x+2. На промежутке x<6,5 функция f(x)=log33(13-2x) убывает, а функция g(x)=3x+2 возрастает. Нетрудно угадать единственный корень уравнения f(x)=g(x): x=2. Значит, g(x)>f(x) при 2<x<6,5. Ответ. (2; 6,5).

13. Задачи для самостоятельного решения • Решить неравенства: • 1+lgsinx< Ответ. [1; 3]. • lgx- Ответ. (0; 1]. • lg(lg(4x2-4x+11)+ )<x2-4x+7. Ответ. • sin2 +3x+3-x≤2. Ответ. 0. • 3х≤13-2х. Ответ. (-∞; 2]. • log6(x+ )≥log4x. Ответ. (0; 4]. • Доказать неравенства: • ex>ex при x>1. • x2-1>2lnx при x>1. • ex≥1+x. • ex>1+x+x2/2 при x>0.