L ： x + y =2

1. 一、二元一次不等式 y 1. 二元一次不等式的圖解： 設直線 L：x + y = 2將坐標平面上 L之外 P(x0, y0) 的部分，分成 A、B兩個半平面(如圖)， (0,2) A 設 P(x0, y0)為半平面 A內的任一點， Q(x0, 2x0) B 過 P點做鉛垂線交直線 L於 Q點， 則點 Q(x0 , 2x0)， x O (2,0) ∵ P在 Q上方 ∴ y0> 2 x0， 即 x0 + y0 > 2， L：x+y=2 因此，半平面 A內任一點 (x, y)皆滿足 x + y > 2， 反之，若點 P(x0, y0)滿足 x + y > 2， 則 y0 > 2 x0， 即 x0 + y0 > 2， 且 y0 > 2 x0， ∵ 點 Q(x0 , 2x0)在直線 L上， ∴ P在 Q上方，即 P在半平面 A內。 由上可知，滿足 x + y > 2的所有解所成的圖形，即為半平面 A， 同理，滿足 x + y < 2的所有解所成的圖形，即為半平面 B。 本段結束

2. 2. 範例：圖解二元一次 馬上練習. 圖解示二元一次 不等式 3x + 2y < 6 不等式 x  2y  4 y y (0, 3) x2y=4 x (2, 0) O O (4, 0) x (0, 2) 3x+2y=6 Let’s do an exercise ! ＃ 注意：不等式 ax + by c的圖解， 包含 ax + by > c(半平面) 與 ax + by = c (直線)。

3. 馬上練習. 圖解聯立不等式 3. 範例：圖解聯立不等式 y y (0, 4) (0, 2) (4, 0) O x (1, 0) (2, 0) (4, 0) x+2y=4 x O y=2 2x+y=2 2xy=4 x+y=4 Let’s do an exercise ! ＃

4. 4. 格子點：坐標平面上，若點 (x , y) 的 x 坐標與 y 坐標都是整數， 我們稱其為格子點。 y 例： (0, 6) 並求在此解區域內有多少個格子點。 共有 13 個格子點。 解：圖解如右所示， (0, 2) y = 2，3，4，5，6 x = 0 (3, 0) x y = 1，2，3，4 O x = 1 (2, 0) y = 0，1，2 x = 2 x+y=2 2x+y=6 y = 0 Let’s do an exercise ! x = 3

5. 馬上練習. 並求在此解區域內有多少個格子點。 y 解：圖解如右所示， x=2，3 y=1 (0, 4) x=1，2 (0, 3) y=2 y=3 x=1 (5, 0) x O (2, 0) 共有 5 個格子點。 4x+5y=20 ＃ 3x+2y=6

6. 5. 同側與反則： (1) 若 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)在直線 L：ax + by + c = 0的同側， 則 (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) > 0。 (2) 若 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)在直線 L：ax + by + c = 0的兩側， 則 (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) < 0。 (3) 若 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)， 則 (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) 0。 範例：若平面上二點 A(3 , 3)，B(1 , 5) 在直線 L：3x  2y + k = 0 的同側，求 k 的範圍。 解： (點 A 代入 L)(點 B 代入 L) ( 9  6 + k ) ( 3 10 + k ) 正  正 正 負 負 正 Let’s do an exercise ! 故 ( 9  6 + k ) ( 310 + k )> 0 k > 13 或 k < 3。  ( k + 3 )( k  13 ) < 0

7. 馬上練習.坐標平面上兩點 (4, 1) 和 (5, 9) 在直線 3x  y  k = 0 的兩側，其中 k 為整數，請選出正確的選項。 (1) 滿足上式的 k 最少有 5 個 (2) 所有滿足上式的 k 的總和是 35 (3) 所有滿足上式的 k 中，最小的是 7 (4) 所有滿足上式的 k 的平均是 9 (5) 所有滿足上式的 k 中，奇數與偶數的個數相同 <102數乙> 解： ( 點 A(4 , 1) 代入直線 L ) ( 點 B(5 , 9) 代入直線 L ) ( 12  1  k )  ( 15  9  k ) 負  負 正 負 正 負 故 ( 12  1  k )  ( 15  9  k )< 0 6 < k < 11 k = 7 , 8 , 9 , 10。 ( k  11 )( k  6 ) < 0 (1) 整數 k共有 4個。 (2) 總和 34。 (3) 最小的 k = 7。 (5) 奇數：7 , 9； 偶數：8 , 10。 ＃ 故選 (3) (5)。

8. 6. 範例：設平面上二點 A(2 , 9)，B(6 , 5)， 求 m 的範圍。 解： 或 (點B代入L) = 0 (點A代入L)(點B代入L) < 0 或 (點A代入L) = 0 (點 A 代入 L) (點 B 代入 L)  0 A B (2, 1) ＃ y 1 = m(x +2)， 注意： L：mx  y + 2m + 1= 0 由點斜式知 L表過 (2 , 1)斜率為 m 的直線。

9. 馬上練習. 設平面上二點 A(2 , 1)，B(3 , 2)， 求 m 的範圍。 解： (點 A 代入L) (點 B 代入 L) > 0， ＃

10. 二、極值 1. 範例：設 x，y 滿足聯立不等式 求 2x + y 的最小值。 y 解：如圖， (0, 6) 當 (x , y) =(1 , 3)， (0, 4) 2x + y有最小值 (1, 3) = 21 + 3 (4, 0) x O = 5。 (2,0) x+y=4 3x+y=6 Let’s do an exercise ! 2x+y=5 2x+y=0

11. 馬上練習. 設 x , y 滿足聯立不等式 求 x + 2y 的最大值。 y 解：如圖， 當 (x , y) =(3 , 1)， (0,4) x + 2y有最大值 (3,1) (0,2) (6,0) = 3 + 21 x O (4,0) x+3y=6 = 5。 x+2y=5 ＃ x+y=4 x+2y=0

12. 2. 範例：設 x , y 滿足聯立不等式 y 求 x + 2y 的最大值與最小值。 (0,9) 當 (x , y) = (0 , 0)， 解：如圖， (2,6) x + 2y有最小值 = 0 + 20 = 0。 x+2y=14 (0,2) 當 (x , y) = (2 , 6)， (6,0) x (1,0) x + 2y有最大值 O x+2y=0 = 2 + 26 = 14。 2xy=2 3x+2y=18 Let’s do an exercise !

13. 馬上練習. 設 x, y 滿足聯立不等式 求 x2y 的的最大值與最小值。 y 當(x, y) = (1 , 3)， 解：如圖， (0,6) x  2y有最小值 x2y=5 =1 23 = 5。 (0,4) (1,3) 當 (x, y) =(4 , 0)， x2y=0 x2y=4 x  2y有最大值 (4,0) O x (2,0) =4 20 =4。 ＃ x+y=4 3x+y=6

14. 3. 範例：在 x  0，y  0，3x+2y12  0，x+y2  0 的條件下， (1) 求 5x  3y 的最大值與最小值。 (2) 求 x2 + y2的最大值與最小值。 y 5x3y=  18 (0, 6) 解：如圖， 5x3y=0 (1) 當 (x , y) =(4 , 0)， 5x3y=20 5x  3y有最大值 = 54 30 =20。 (0,2) 當 (x , y) =(0 , 6)， (4, 0) O x 5x  3y有最小值 (2,0) 3x+2y=18 = 50  36 =18。 x+y=2 To be continued  (2) (3)

15. y (2) 求 x2 + y2的最大值與最小值。 (0,6) 解：(2) x2 + y2表點 (x, y)與點 (0, 0)的 (x,y) 距離平方。 令 L：x + y  2 = 0 (0,2) (x,y) (4,0) x O (2,0) = 2。 3x+2y=18 x+y=2 (2,1) = 62 = 36。 ＃

16. 三、線性規劃 1. 範例：某汽車公司有 A，B 兩家裝配廠，生產大小兩型的汽車。 若 A 廠每小時可完成 1 輛大型車與 2 輛小型車； B 廠每小時可完成3 輛大型車與 1 輛小型車。 今公司接到客戶訂單，欲訂購 40 輛大型車與 20 輛小型車。 問這兩家裝配廠各工作幾小時，才能使所費總工作時數最少? 解：設 A 廠 x 小時，B 廠 y 小時， B(y) A(x) 40輛 1輛 3輛 大車 可行解區域： 小車 2輛 1輛 20輛 To be continued  目標函數最佳解

17. 解：設 A 廠 x小時，B 廠 y小時， y B(y) A(x)  40輛 1輛 3輛 大車 小車 2輛 1輛  20輛 (0,20) (4,12) 可行解區域： x O (10,0) (40,0) 目標函數 P = x + y， x+3y=40 x+y=0 2x+y=20 當 (x, y) = (4 ,12)， x+y = 16 P有最小值 4+12 = 16。 Let’s do an exercise ! 故所求 A廠 4小時，B廠 12 小時。

18. 馬上練習. 某公司生產兩種商品，均以同型的箱子裝運， 其中甲商品每箱重 20 公斤，乙商品每箱重 10 公斤。 公司出貨時，每趟貨車最多能運送100箱，最大載重為1600公斤。 設甲商品每箱的利潤為1200 元，乙商品每箱的利潤為1000 元。 (1) 設公司調配運送時，每趟貨車裏的甲商品為 x 箱， 乙商品為 y箱。試列出 x, y必須滿足的聯立不等式。 (2) 當 x, y 的值各為多少時，可使每趟貨車出貨所能獲得 的利潤為最大？此時利潤為多少元？ <101數乙> 解： (1) 設甲商品 x箱，乙商品 y箱， 乙(y) 甲(x) y x 100 箱 運量 可行解區域： 載量 1600 公斤 20 10 To be continued  目標函數最佳解

19. 其中甲商品每箱重 20 公斤，乙商品每箱重 10 公斤。 公司出貨時，每趟貨車最多能運送100箱，最大載重為1600公斤。 設甲商品每箱的利潤為1200 元，乙商品每箱的利潤為1000 元。 (2) 當 x, y 的值各為多少時，可使每趟貨車出貨所能獲得 <101數乙> 的利潤為最大？此時利潤為多少元？ y 解：(1) 設甲商品 x箱，乙商品 y箱， (0, 160) 則 其圖形如右， (0, 100) (2) 目標函數 P= 1200x + 1000y = 200(6x+5y) (60, 40) 當 (x , y) = (60 , 40)， (100, 0) P有最大值 200(660+540) x =112000元。 O (80, 0) x+y=100 故每趟運送甲商品 60箱，乙商品 40箱， 2x+y=80 有最大利潤 112000元。 ＃ 6x+5y=0

20. 2. 範例： 利用 A、B 兩種不同規格的卡紙，製作大、中、小三種卡片， 每張規格 A 的卡紙，可以製作大卡片7 張，中卡片3 張，小卡片3 張； 每張規格 B 的卡紙，可以製作大卡片2 張，中卡片2 張，小卡片5 張。 已知規格 A 的卡紙每張 120 元，規格 B 的卡紙每張 100 元， 若想製成大卡片至少 28 張，中卡片至少 21 張，小卡片至少 30 張， 應使用 A、B 兩種規格的卡紙各幾張，可使花費最少? 解：設 A 規格 x張，B 規格 y張， A(x) B(y)  28張 大 7 2 可行解區域： 3 中  21張 2 小 3 5  30張 To be continued  目標函數最佳解

21. 解：設 A 規格 x張，B 規格 y張， y A(x) B(y)  28張 大 7 2 (0,14) 3 中  21張 2 小 3 5  30張 (0,6) (5, 3) 可行解區域： (10,0) x O (4,0) (7,0) 3x+2y=21 120x+100y=0 目標函數 P = 120x + 100y， 7x+2y=28 3x+5y=30 當 (x, y) = (5, 3)， P有最小值 = 1205 + 1003 = 900。 120x+100y=900 故所求 A規格5 張，B規格 3張，花費900 元為最少。 ＃

22. 馬上練習.某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金，其中每單位的甲合馬上練習.某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金，其中每單位的甲合 金是由 5 公克的 A 金屬、3公克的 B 金屬以及 3 公克的 C 金屬組成， 而每單位的乙合金是由 3 公克的 A 金屬、 6 公克的 B 金屬以及 3 公克 的 C 金屬組成。已知甲、乙合金每單位的獲利分別為 600、 700元。 若工廠此次進了 1000 公克的 A 金屬、1020 公克的 B 金屬與 660 公克 的 C 金屬投入生產這兩種合金，試問甲、乙兩種合金各應生產 多少單位，才能獲得最大利潤 ? 又此時利潤為多少 ? <102數乙> 解：設甲合金生產 x 單位，乙合金生產 y 單位， 乙(y) 甲(x)  1000克 5克 3克 A  1020克 3克 6克 可行解區域： B 3克 C  660克 3克 To be continued  目標函數最佳解

23. 解：設甲合金生產 x 單位，乙合金生產 y 單位， y 乙(y) 甲(x)  1000克 5克 3克 A  1020克 3克 6克 B (0,220) (100 , 120) 3克 C  660克 3克 (0,170) (170 , 50) (340,0) (220,0) 可行解區域： x (200,0) O x+2y=340 5x+3y=1000 目標函數 P = 600x + 700y， x+y=220 (0 , 170) 代入 P (170 , 50)、 將點 (200 , 0)、 (100 , 120)、 當 (x , y) = (100 , 120)， ＃ P有最大值 600100 + 700120 = 144000。 故甲合金生產 100單位，乙合金生產 120單位， 最高利潤144000元。

24. 3. 範例：某公司所生產的產品，存放在甲、乙兩倉庫分別有 40 單位與 50 單位，現在 A 市場的需求量是 30 單位， B 市場的需求量是 40 單位， 下表是各倉庫運輸到各市場的單位每 運輸成本：在滿足兩市場的需求下， 應如何分配才可最節省運輸成本? 解：設甲送到 A 市場 x噸，送到 B 市場y噸， A B y  40單位 x 甲 可行解區域 40y  50單位 30x 乙 可行解區域 To be continued  目標函數最佳解

25. 解：設甲送到 A 市場 x噸 送到 B 市場y噸， A B y  40單位 x 甲 y x=30 40y  50單位 30x 乙 (0,40) y=40 可行解區域 (0,20) (30,10) (40,0) 目標函數 P = 100x+120(30x)+140y+150(40y) x O (30,0) (20,0) = 9600 10(2x+y)， x+y=40 2x+y=0 2x+y=70 當 (x, y)=(30, 10)， P有最小值 = 9600  10(230+10) =8900。 x+y=20 故所求 甲  A，運 30單位， 甲  B，運 10單位， 乙  A，運 0 單位， 乙  B，運30單位。 Let’s do an exercise !

26. 馬上練習. 某公司所生產的產品，存放在甲、乙兩倉庫各有 40 單位， 現在 A 鎮的需求量是 20 單位， B 鎮的需求量是 30 單位， 下表是各倉庫運輸到兩鎮的 每單位運費：在滿足兩鎮的需求下，最節省的運費為多少元？ 解：設甲送到 A 市場 x噸，送到 B 市場 y噸， A B 甲 x  40單位 y 可行解區域 20x  40單位 乙 30y 可行解區域 To be continued  目標函數最佳解

27. 解：設甲送到 A 市場 x噸， 送到 B 市場 y噸， A B y y 甲  40單位 x x=20 (0,40) 20x  40單位 乙 30y (10,30) (0,30) y=30 (20, 20) x+2y=0 可行解區域 x+2y=70 (0,10) (40,0) x O (10,0) (20,0) 目標函數 P = 35x+40(20x)+20y+30(30y) x+y=40 = 1700  5(x+2y)， x+y=10 當 (x, y)=(10, 30)， P有最小值 = 17005(10+230) =1350。 故所求 甲  A，運 10單位， 甲  B，運 30 單位， ＃ 乙  A，運 10 單位，乙  B，運 0單位。 最節省的運費為1350元。

28. 4. 範例：假設某咖啡批發商每天固定進貨牙買加咖啡豆 10 公斤， 巴西咖啡豆 6 公斤，並將牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆研磨成粉， 以 2：1 的比例混合成藍天牌咖啡；將牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆 研磨成粉，以 2：3 的比例混合成2韋伯牌咖啡。已知藍天牌咖啡 每公斤可賺 80 元，韋伯牌咖啡每公斤可賺 90 元，而且所有混合而 成的藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡都可以批發出去，試回答下列問題： (1) 設每天需生產藍天牌咖啡 x 公斤，韋伯牌咖啡 y 公斤，則每天 要用牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆各多少公斤? (以 x，y 表之) (2) 每天需分別生產多少藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利 ? (3) 若希望生產出的量為整數公斤，則每天需分別生產多少 藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利 ? To be continued  詳 解

29. 牙買加豆與巴西豆以 2：1 的比例混合成藍天牌咖啡， 牙買加豆與巴西豆以 2：3 的比例混合成韋伯牌咖啡 (1) 設每天需生產藍天牌咖啡 x 公斤，韋伯牌咖啡 y 公斤，則每天 要用牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆各多少公斤? (以 x，y 表之) (2) 每天需分別生產多少藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利? (3) 若希望生產出的量為整數公斤，則每天需分別生產多少 藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利? 解：(1) 依題意列表如右所示， 每天要用  10  6 To be continued  (2) (3)

30. (2) 每天需分別生產多少藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利? (3) 若希望生產出的量為整數公斤，則每天需分別生產多少藍天牌 咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利? y (0,25) 80x+90y=1305 解：(2) 可行解區域 (0,10) 目標函數 P = 80x + 90y， (18,0) x 當 Q(x , y) = (13.5 , 2.5)， O (15,0) 即每天生產藍天牌 13.5公斤， 80x+90y=0 韋伯牌 2.5公斤，可得最大獲利 = 8013.5 + 902.5 = 1305元。 (12, 3)， (14, 1)， (3) Q點附近且在可行解區域內的格子點有 (13, 2)， 一一代入目標函數 P = 80x + 90y， ＃ 得 x=12，y=3時有最大獲利 8012+ 903 = 1230 元。

31. 5. 範例：在一個牽涉到兩個未知量 x，y的線性規劃作業中， 有三個限制條件。坐標平面上符合這三個限制條件的區域 是一個三角形區域。假設目標函數 ax+by (a , b 是常數) 在此三角形的一個頂點 (19, 12) 上取得最大值 31， 而在另一個頂點 (13, 10) 取得最小值 23。 現因業務需要，加入第四個限制條件， 結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域， 頂點少了(19, 12)，新增了(17, 13) 和 (16, 11)。 在這四個限制條件下，選出正確的選項。 <92數甲> (1) ax+by 的最大值發生在 (17, 13) (2) ax+by 的最小值發生在 (16, 11) (3) ax+by 的最大值是 30 (4) ax+by 的最小值是 27 To be continued  詳 解

32. 目標函數 ax + by 在三角形的一個頂點 (19, 12) 上取得最大值 31， 而在另一個頂點 (13, 10) 取得最小值 23。 加入第四個限制條件，限制條件的區域變成一個四邊形區域， 頂點少了(19, 12)，新增了(17, 13) 和 (16, 11)。 <92數甲> 解：設目標函數：f(x , y) = ax + by， 開始時： 目標函數：f(x , y) = x + y。 To be continued  調整後之圖解

33. 目標函數 f(x , y) = x + y。 少了(19, 12)，新增 (17, 13)、(16, 11)。 則(17,13)非頂點，故不合 另一新頂點 第三點必在 (17,13)與(19,12)之連線上 (17,13) (19,12) (16,11) 調整後，不為 四邊形，故不合 (13,10) 調整後： x+y=31 x+y=23 調整後在點 (17, 13)有最大值 30， x+y=30 故選 (1) (3)。 在點 (13, 10)有最小值23， ＃ 本 節 結 束