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数理逻辑 (4). 希尔伯特规划与公理集合论. 希尔伯特规划. （ 1 ）公理化数学。 （ 2 ）所有真的数学内容都能够在这个公理系统下证明。 （ 3 ）证明这个公理系统是协调的。 （ 4 ）对于任何“实在”的内容能通过“理想”的方法证明的都能够用“实在”的方法证明。 （ 5 ）存在一个算法来判定是否一个语句能够被证明。 “ Wir müssen wissen . Wir werden wissen . ”. 一个例子（ 1 ）. 偏序语言 L ＝｛≤｝ 。 稠密无端点全序公理系统 DLO: ∀ x∀y(x≤y ∨ y≤x ); ∀ x(x≤x );
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数理逻辑 (4) 希尔伯特规划与公理集合论
希尔伯特规划 （1）公理化数学。 （2）所有真的数学内容都能够在这个公理系统下证明。 （3）证明这个公理系统是协调的。 （4）对于任何“实在”的内容能通过“理想”的方法证明的都能够用“实在”的方法证明。 （5）存在一个算法来判定是否一个语句能够被证明。 “Wirmüssenwissen. Wirwerdenwissen.”
一个例子（1） 偏序语言L＝｛≤｝。 稠密无端点全序公理系统DLO: • ∀x∀y(x≤y∨ y≤x); • ∀x(x≤x); • ∀x∀y∀z(x≤y∧y≤z→x≤z); • ∀x∀yz(x<y→x<z<y); • ∀xyz(x<y∧z<x)。
一个例子（2） DLO的所有可数模型都同构，因此DLO是完备的。 （Q,≤）是DLO的一个模型，因此DLO是协调的。 存在一个算法来判定是否一个语句能够被DLO证明。
塔斯基1901-1983 波兰 初等几何的公理化与判定算法。 代数闭域的完备性与可判定性。
策梅洛弗兰克尔1871-1954，德国 1891-1965, 德国 ZF公理系统：
悖论的排除 • ｛x|x∉ x｝不是集合。 • 全体集合不构成集合。 • 全体序数不构成集合。
ZF的一个自然模型 • V0=Ø • Vα=∪β<αP (Vβ) • V=∪αP (Vα) • 对于所有序数α, Vα是一个传递集合。
ω • 由无穷公理以及comprehension,ω存在。 • 对于任何集合x,令trcl(x)=x∪(∪y∈xtrcl(y))为包含x的最小的传递集合。 传递闭包的存在性由替换公理保证。
良基公理 • 对于所有的集合x,存在一个序数α使得x∈Vα。 • 因此V是ZF的最大的模型。
递归定理 定理：给定一个函数F:V×V->V,存在一个函数G:V->V使得对于所有的集合x,G(x)=F(x,G|{y|y∈x}). 证明：应用良基公理。＃ 令F(x,h)=sup{α+1|y∈x(h(y)=α)},定义集合x的秩: rank(Ø)=0 rank(x)=sup{rank(y)+1|y∈x}。
AndrzejMostowski1913－1975，波兰 坍塌定理：如果一个集合模型(M, ∈)满足外延公理，则存在唯一一个传递集合N使得（M, ∈）同构于（N, ∈）。 证明：令G(x)={G(y)|y∈x∧y∈M}。＃
无穷公理 • Vω的元素都是有穷集合。（Vω, ∈）满足除了无穷公理外的所有ZFC公理。 • ZF可以构造PA的一个模型。实际上ZF-Infty的模型存在性等价于PA模型的存在性。
幂集公理 • 如果κ是不可达基数，则(Vκ, ∈）是ZFC的模型。 • 令H(κ)={x||trcl({x})|<κ}。 • (H(ω1), ∈)是除了幂集公理外的所有ZFC的模型。
一个分析定理 定理：存在一个不可测的实数集。 证明 1：构造维塔利集。x~y当切仅当x-y是有理数。 ［x］表示等价类。一个维塔利集就是一个集合从每一个等价类中选出一个元素。 证明 2: 构造伯恩斯坦集合。从每一个正测度闭集中选取两个元素，一个放在里面，一个放在外面。
选择公理 选择公理(AC):对于所有非空集合X，如果X有一个非空集合作为元素，则f:X→∪X∀x≠Ø（f(x) ∈x）。 选择函数的可定义性。 罗素："The Axiom of Choice is necessary to select a set from an infinite number of socks, but not an infinite number of shoes."
良序公理 良序公理：所有集合都可以良序化。 证明：显然良序公理蕴含选择公理。 对于任何集合X,存在幂集P (X)。则存在f(A)∈A对于多有的A∈P (X)。于是在序数上做归纳定义：g(0)=Ø,g(α)=f(X-∪β<α{g(β)})。由分离公理，g的值域是X的子集。由替换公理，g的定义域有上界。因此g的值域是X。于是定义x<y当且近当g-1(x) ∈g-1(y)。 QED
左恩引理1906－1993 德国 左恩引理：如果偏序集P的每一个全序子集都有一个上界，则P包含一个极大元。 定理：左恩引理与选择公理等价 证明：良序公理证明左恩引理。 左恩引理证明良序公理：给定任何一个集合A,定义一个偏序集合(F,≤)使得f ∈F当且仅当f是从序数到A的单射。f≤g当且仅当g是f的扩张。则任何一个极大元都是从序数到A的满射。QED
选择公理的弱形式 可数选择公理(ACω)：对于所有非空可数集合X，如果X有一个非空集合作为元素，则f:X→∪X∀x≠Ø（f(x) ∈x）。 依赖选择原理(DC)：对于所有非空集合X以及X上的二元关系R，如果∀x∈Xy∈XR(x,y)，那么存在一个{xn}n使得∀nR(xn,xn+1) 。
选择公理的应用 每一个偏序集都可以扩张成一个全序集。 勒贝格测度的可数可加性。 哈恩-巴拿赫定理。 逻辑的紧致性定理。 思科伦定理。 自然数集合是最小的无穷集合。
塔斯基悖论 任何一个闭球B都可以分解成两个跟B同样大小的球。即B＝X∪Y但是存在X,Y和B的分解使得它们的各个对应部分全等。
无穷公理(2) 一个集合A是无穷的，如果： （1）A与它的一个真子集等势;或者 （2）存在ω到A的单射；或者 （3）不存在A到自然数的单射。 选择公理下这些定义都是等价的。
习题 • 用ZFC证明存在一个不连续函数f使得f(x+y)=f(x)+f(y)。 • 用ZFC证明（Vω＋ω, ∈）满足除替换公理(Replacement)外的所有ZFC公理。 • 用ZFC证明ZFC-幂集公理＋“每一个集合都是可数的”是协调的。 • 证明替换公理中!y可换成y。
阅读材料 • 《Axiom of Choice 》, Thomas Jech
