工程力学 ( Engineering Mechanics ) 江西蓝天学院机械工程系

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第十五章 动力学基础

本章主要内容 一、质点动力学基本方程二、刚体绕定轴转动动力学基本方程三、动量定理四、动量矩定理五、动能定理六、达朗贝尔原理

质点： • 具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体质点系： • 由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。

15.1 质点动力学的基本方程 一、动力学基本方程：惯性定律第一定律：不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动。第二定律：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。第三定律：作用力与反作用力定律两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。

二、质点运动微分方程： 1、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影 2、质点运动微分方程在自然轴上的投影

3、动力学两类基本问题： 已知运动求力,正问题,求导; 已知力求运动,逆问题,积分: 直接积分换元积分变形

曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度ω转动，OA=r，AB=l，当λ=r/l比较小时，以O为坐标原点，滑块B的运动方程可近似写为 y A y ω x β O A ω B B x φ β O 动力学的解体思路与静力学的类似，只是把列静力平衡方程换为列运动微分方程。如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当和时，连杆AB所受的力。 N FAB 滑块沿x轴的运动微分方程 mg 属于已知运动求力之情形.

v0 mg α y o x 炮弹以初速v0发射，不计阻力，求炮弹在重力作用下的运动. 解: 研究(任意位置时而不能是特殊位置时的)炮弹，作受力图， = 0 = -mg 属第二类问题，力是常量.直接积分: = v0cosα = - gt + v0sinα 轨迹方程炮弹的运动方程进而可以讨论最高射程，最远距离等.

21m 图示消防人员为了扑灭高21米仓库屋顶平台上的火灾，把水龙头置于离仓库墙基15米，距地面高1米处，水柱的初速度为25m/s,若预使水柱正好能越过屋顶边缘到达屋顶平台。且不计空气阻力，试问水龙头的仰角α应为多少？水柱射到屋顶平台上的水平距离是多少？到屋顶平台上

图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重球组成，杆长为OA=L，球的质量为m。试求：1 .单摆的运动微分方程：2. 在小摆动的假设下分析摆的运动；3. 在运动已知的情况下求杆对球的约束力。单摆的运动微分方程

图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重球组成，杆长为OA=L，球的质量为m。试求：1 .单摆的运动微分方程：2. 在小摆动的假设下分析摆的运动；3. 在运动已知的情况下求杆对球的约束力。在小摆动的假设下分析摆的运动

图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重球组成，杆长为OA=L，球的质量为m。试求：1 .单摆的运动微分方程：2. 在小摆动的假设下分析摆的运动；3. 在运动已知的情况下求杆对球的约束力。在运动已知的情况下求杆对球的约束力

θ0 粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。质点的运动微分方程在主法线上的投影式 Ft 质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度 FN mg θ=θ0FN=0

质量为m的小球以水平速度v0射入静水之中，如图所示。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反，而大小成正比，即F=-cv 。c为阻力系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。

v0 O x F M v mg xmax y 解： F=–cvx i –cvy j t=0 vx=v0 vy=0

v0 O x F M v mg xmax y t=0 x=y=0 介质阻力等于零

滑块质量为m，因绳子牵引使之沿水平轨道滑动。绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮上，鼓轮的等角速w转动。不计导轨摩擦，求绳子的拉力T和距离x之间的关系。滑块质量为m，因绳子牵引使之沿水平轨道滑动。绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮上，鼓轮的等角速w转动。不计导轨摩擦，求绳子的拉力T和距离x之间的关系。

15.2 刚体绕定轴转动动力学基本方程 一、刚体绕定轴转动的运动微分方程：

15.2 刚体绕定轴转动动力学基本方程 二、转动惯量： 1. 转动惯量的概念 2. 简单形体转动惯量的计算（1）、均质等截面细直杆

15.2 刚体绕定轴转动动力学基本方程 （2）、均质细圆环

15.2 刚体绕定轴转动动力学基本方程 三、平面薄板形物体的转动惯量： = +

15.2 刚体绕定轴转动动力学基本方程 四、平行移轴面定理：五、回转半径（惯性半径）：

15.3 动量定理 一、质点的动量定理：动量质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。冲量作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量在dt时间间隔内力F的冲量元冲量 F是变量变力F（t）在作用时间t内的冲量。注意：冲量是矢量

质点的动量定理 质点动量定理的微分形式。质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量对上式积分，积分的上下限是：时间取0到t，速度则由v0到v，可得：质点动量定理的积分形式。在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在相同时间内的冲量。

二、质点系的动量定理： 作用于质点系中各质点的力包括外力和内力。外力：质点系以外的其他物体作用于质点的力。内力：质点系内各质点之间相互作用的力。设质点系有n个质点，第i个质点的质量为mi，速度为vi，质点系以外的物体对该质点的作用力为Fi(e)，即外力；质点系内部其他质点对该质点的作用力为Fi(i)，即内力。对于该质点系，类似的方程有n个。n个方程相加得：质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和质点系动量定理的微分形式：

质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和质点系动量定理的积分形式：在某一时间间隔内，质点系动量的增量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和

y Q H FN * 锤重Q=300N，从高度H=1.5m处自由落到锻件上，锻件发生变形，历时τ=0.01s，求锤对锻件的平均压力. 研究锤，分析受力: 锤由高 H 处自由落下所需时间: 建投影轴，列动量定理:

动量定理在跳高中的应用: 跨越式：一腿向前伸出先过杆，另一腿再过。翻滚式：身体绕纵轴翻滚，水平过杆。背越式：身体弯曲，背部过杆。

横杆高度 横杆高度横杆高度跨越式：1.8m－0.3m=1.5m 翻滚式：1.8m－0.1m=1.7m 背越式：1.8m＋0.1m=1.9m

y O2 b O1 ω ωt x W2 W1 Fy Fx 电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子的质量是m1，转子的质量是m2，转子的轴线通过定子的质心O1。制造和安装的误差，使转子的质心O2对它的轴线有一个很小的偏心距b（图中有意夸张）。试求电动机转子以匀角速度转动时，电动机所受的总水平力和铅直力。

y O2 b O1 ω ωt x W2 W1 Fy Fx 解: 质心C 的运动微分方程为 Fx = m2bω2cos ωt Fy = (m1 + m2)g m2bω2sinωt

v1 m1 m2 设一质量m1=10 kg的邮包从传递带上以速度v1=3 m·s－1沿斜面落入一小车内，如图所示。已知车的质量m2=50 kg，原处于静止，不计车与地面的摩擦，求（1）邮包落入车后，车的速度；（2）设邮包与车相撞时间Δt=0.3 s，求地面所受的平均压力。

y y t瞬时 t+Δt瞬时 3 m﹒s－1 m1g+m2g m1 m1 v2 m2 m2 O O x x F1 F2 解：研究邮包和小车组成的质点系，t 瞬时质点系的动量为 t+Δt 瞬时质点系的动量为动量p1和p2在坐标轴Oxy上的投影为

15.4 动量矩定理 一、动量矩： 1. 质点对轴的动量矩 2. 质点系对轴的动量矩

二、动量定理： 质点的动量矩定理： • 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。

质点系的动量矩定理 • 质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。

O φ A 试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。 L v mg

r1 r2 O B A (a) 两个鼓轮固连在一起，其总质量是m，对水平转轴O的转动惯量是JO；鼓轮的半径是r1和r2。绳端悬挂的重物A和B质量分别是m1和m2(图a)，且m1>m2。试求鼓轮的角加速度。  α mBg mAg

F α M1 S M2 z M1 M ds o r dr y F M2 x 15.5 动能定理一、力的功： 1、常力的功 α是力F与位移之间的夹角功的单位为焦耳（J）， 1J=1Nm 2、变力的元功将F与dr投影到直角坐标轴上：因此，变力F在曲线路程上功的总和为：

M1（x1，y1，z1） z M （x，y，z） mg M2 （x2，y2，z2） o y x 几种常力的功重力的功重力的功与路径无关，而只与物体的始末位置有关.

M1（x1，y1，z1） r1 M （x，y，z） F M2 （x2，y2，z2） O r2 r 弹性力的功弹簧系数 k ,原长 l0 ,一端系在固定点O处, 另一端沿任意曲线运动.

z ds ω Fτ dφ Fτ M r 定轴转动刚体上作用力的功当力偶矩与转角同向时作正功，异向时作负功。

2r C r F O x 半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F，求轮心C运动x距离时，力F所作的功。 MC=Fr

二、动能： 1、质点的动能动能是标量，恒取正值。单位为焦耳 J。 2、质点系的动能 3、平动刚体的动能

v0 r C2 C1 πｒ坦克的履带质量为m ,两个车轮的质量均为m1.车轮可视为均质圆盘,半径为r,两车轮轴间的距离为πr．设坦克前进的速度为V。计算此质点系的总动能。

三、动能定理： 1、质点的动能定理两边同时点乘dr

2、质点系的动能定理 第 i个质点：对整个质点系：动能定理主要用来求解 v、ω、a、α，不能求反力！

S A O C α 均质圆柱体重为FP，其中心O绞接一重为Q的均质直杆OA，放在倾角为α的斜面上，轮子只滚不滑，OA杆的A端与斜面间无摩擦，系统初始静止，求轮心沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速度。由于轮心O作直线运动，将上式两端对时间求一阶导数得到：

均质圆柱体重为FP，放在倾角为α的斜面上，只滚不滑，轮心O处系一绳子，跨过重为W的均质滑轮与重物Q相连，两轮半径相等，系统初始静止，求轮心O沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速度。均质圆柱体重为FP，放在倾角为α的斜面上，只滚不滑，轮心O处系一绳子，跨过重为W的均质滑轮与重物Q相连，两轮半径相等，系统初始静止，求轮心O沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速度。 A S O C Q α 两端对时间t求导，即得加速度：

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