3.3.2简单的线性规划问题（1）

1. y x o 3.3.2简单的线性规划问题（1）

2. 一..学习目标 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

3. 【教学重点】 • 用图解法解决简单的线性规划问题 • 【教学难点】 • 准确求得线性规划问题的最优解

4. 一、实际问题 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组

5. 将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。 若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？ 设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y 把z＝2x＋3y变形为 它表示斜率为 的直线系，z与这条直线的截距有关。 y 4 3 M o 4 8 x 如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大。

6. 二、基本概念 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。 y 4 可行域 最优解 满足线性约束的解 （x，y）叫做可行解。 3 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 可行解 o 4 8 x 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。

7. 三、例题 例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？ 分析：将已知数据列成表格

8. 解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么 目标函数为：z＝28x＋21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域

9. 把目标函数z＝28x＋21y 变形为 它表示斜率为 随z变化的一组平行直线系 y 6/7 5/7 是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。 M 3/7 如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。 3/7 5/7 6/7 x o

10. M点是两条直线的交点，解方程组 得M点的坐标为： 所以zmin＝28x＋21y＝16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。

11. 四、练习题： 1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件： 2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：

12. y A 1.解：作出平面区域 o x C B z＝2x＋y 作出直线y=－2x＋z的图像，可知z要求最大值，即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1），则Zmax=2x＋y＝3

13. 2.解：作出平面区域 y A o x C z＝3x＋5y B 作出直线3x＋5y＝z 的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。 求得A（1.5，2.5），B（－2，－1），则Zmax=17，Zmin=－11。

14. 解线性规划问题的步骤： （1）画： 画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。

15. 几个结论： 1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。 2、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义--------与y轴上的截距相关的数。

16. 五、课后练习： 习题3.3 A组 3、4

17. y x o 3.3.2简单的线性规划问题（2）

18. 一、复习概念 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。 y 4 可行域 最优解 满足线性约束的解 （x，y）叫做可行解。 3 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 可行解 o 4 8 x 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。

19. 二、例题分析 例1、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位） 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？

20. 解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30 而由于资金限制，26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200 y 另外，开设的班级不能为负，则x≥0，y≥0。 把上面四个不等式合在一起， 得到 30 20 o 40 x 20 30

21. 设收取的学费总额为Z万元，则目标函数 Z＝0.16×45x＋0.27×40y＝7.2x＋10.8y。 Z＝7.2x＋10.8y变形为 它表示斜率为 的直线系，截距为 的直线 y 由图可以看出，当直线Z＝7.2x＋10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即Z最大。 30 20 M 易求得M（20，10），则Zmax＝ 7.2x＋10.8y＝252 o 40 x 20 30 故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元。

22. 例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件： y x o

23. 解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图： 把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为 －2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。 由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。 y 容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmin＝3 故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。 M x o

24. 三、练习题 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？ 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是

25. Z＝ 3x＋2y变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。 当直线经过点M时，截距最大，Z最大。 Y 解方程组 500 可得M（200，100） Z 的最大值Z ＝ 3x＋2y＝800 200 M 故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元。 400 O 250 X

26. 四、作业 P93习题3.3 B组：2、3