学案 3 平面的基本性质与推论

1. 学案3 平面的基本性质与推论

2. 考 向 预 测 课内考点突破 考 纲 解 读 规 律 探 究 填填知学情 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5

3. 考 纲 解 读 返回目录

4. 考 向 预 测 空间点、线、面的位置关系的判断与证明几乎每年高考都要考查，题型以选择题和解答题为主，验证度不大，同时还要注意异面直线的判定与证明. 返回目录

5. 1.平面的基本性质与推论 基本性质1 如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内. 基本性质2，有且只有一个平面，这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面. 两点 所有点 经过不在同一条直线上的三点 返回目录

6. 有一个公共点 基本性质3 如果不重合的两个平面，那么它们有且只有. 推论1，有且只有一个平面. 推论2，有且只有一个平面. 推论3，有且只有一个平面. 一条过这个点的公共直线 经过一条直线和直线外的一点 经过两条相交直线 经过两条平行直线 返回目录

7. Aa Aa 2.符号语言与数学语言的关系 A∈a A∈a aα a∩b=A α∩β=a 返回目录

8. 3.空间两条直线的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面 ①相交直线: ; ②平行直线: ; ③异面直线: . (2)判定异面直线的方法 ①利用定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平 面内不经过该点的直线是异面直线. 在同一平面内，有且只有一个公共点 在同一平面内，没有公共点 不同在任何一个平面内（或者说，异面直线既 不相交又不平行的两条直线），没有公共点 返回目录

9. ②利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾.②利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾. (3)基本性质4 ——空间平行线的传递性. (4)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 . 平行于同一条直线的两条直线互相平行 相等或互补 返回目录

10. (5)异面直线所成的角 设a,b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a,b′∥b，把直线a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 锐角(或直角) 返回目录

11. 考点1 点共线问题 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线. 返回目录

12. 【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线,再证明其余点也在该直线上. 【证明】如图,∵A1A∥C1C, ∴A1A,C1C确定平面A1C. ∵A1C平面A1C,O∈A1C, ∴O∈平面A1C,而O=平面BDC1∩线A1C, ∴O∈平面BDC1, ∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上. ∵AC∩BD=M,∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C,∴平面BDC1∩平面A1C=C1M, ∴O∈CM,即M,O,C1三点共线. 返回目录

13. 证明若干点共线也可用基本性质3为依据,找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点.证明若干点共线也可用基本性质3为依据,找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点. 返回目录

14. 如图所示,已知△ABC在平面α外,AB,BC,AC的延长线分别交平面α于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点共线.如图所示,已知△ABC在平面α外,AB,BC,AC的延长线分别交平面α于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点共线. 证明:设△ABC所在平面为β,因为AP∩α=P,APβ,所以β与α相交于过点P的直线l,即P∈l.因为BQ∩α=Q,BQβ,所以Q∈β,Q∈α.所以Q∈l.同理可证R∈l.所以P,Q,R三点共线. 返回目录

15. 考点2 共面问题 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°,BCAD,BEFA,G,H分别为FA，FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么? 【分析】(1)只需证BCGH. (2)先证四边形BEFG为平行四边形,再证明EF∥CH即得. 返回目录

16. 【解析】如图，(1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得 GH AD.又BC AD,∴EH BC, ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)C,D,F,E四点共面,证明如下: 由BE AF,G为FA中点知, BE FG,∴四边形BEFG为平行四边形, ∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面. 返回目录

17. 证明点线共面的常用方法： (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α,β重合.

18. 如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点.且CG= BC，CH= DC.求证： （1）E，F，G，H 四点共面； （2）三直线FH，EG， AC共点. 返回目录

19. ∥ ∥ ＝ ＝ （1）连接EF，GH. 由E,F分别为AB,AD中点， ∴EF BD,由CG= BC CH= DC， ∴HG BD， ∴EF∥HG且EF≠HG. ∵EF,HG可确定平面α, ∴E,F,G,H四点共面. 返回目录

20. （2）由（1）知,EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG.（2）由（1）知,EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG. ∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O， ∵点O∈直线FH，直线FH 面ACD， ∴点O∈平面ACD.同理点O∈平面ABC. 又面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC（公理2）. ∴三直线FH，EG，AC共点. 返回目录

21. 考点3 异面直线的判定和证明 如图所示，正方体ABCD —A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问： （1）AM和CN是否是异面直线？ （2）D1B和CC1是否是异面直 线？请说明理由. 【分析】（1）由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线.（2）由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法. 返回目录

22. ∥ ∥ ∥ ＝ ＝ ＝ 【解析】（1）不是异面直线.理由如下： ∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点, ∴MN∥A1C1， 又∵A1A D1D,而D1D C1C， ∴A1A C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形. ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A,M,N,C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线. 返回目录

23. （2）是异面直线，证明如下： 假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内， 则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1. ∴BC平面CC1D1， 这与正方体ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾. ∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线. 返回目录

24. 对异面直线的定义的理解 (1)“既不相交也不平行”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线不同在任何一个平面内. (2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线. 返回目录

25. 如图所示，E,F在AD上，G,H在BC上，图中8条线段所在的直线，哪些直线互为异面直线？如图所示，E,F在AD上，G,H在BC上，图中8条线段所在的直线，哪些直线互为异面直线？ 【解析】先找规律性较强的直线，如AB与CD，AC与BD，AD与BC互为异面直线，然后再把EG添入，那么易得EG分别与AB,AC,BD,DC成异面直线.同理，FH也与它们分别成异面直线，EG与FH也互为异面直线.每两条异面直线称为“一对”，则共有12对异面直线. 返回目录

26. 考点4 空间中两直线位置关系的判定与证明 如图所示，在正方体AC1中,E是CD的中点,连结AE并延长与BC的延长线交于点F,连结BE并延长交AD的延长线于点G,连结FG. 求证:直线FG平面ABCD且直线FG∥直线A1B1. 【分析】 先由公理1判定FG平面ABCD,再由平行公理证明线线平行. 返回目录

27. 【证明】由已知得E是CD的中点,在正方体中,有A∈面ABCD,E∈面ABCD, 所以AE面ABCD.又AE∩BC=F, 所以F∈AE,从而F∈面ABCD. 同理,G∈面ABCD,所以FG面ABCD. 因为EC AB,故在Rt△FBA中,CF=BC, 同理,DG=AD.又在正方形ABCD中,BC AD,所以CF DG. 所以四边形CFGD是平行四边形. 所以FG∥CD.又CD∥AB,AB∥A1B1, 所以直线FG∥直线A1B1. 返回目录

28. 判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基本性质及几何体内线面之间的位置关系.将公理1,2,3与平面几何知识相结合,解答一些常规题目.判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基本性质及几何体内线面之间的位置关系.将公理1,2,3与平面几何知识相结合,解答一些常规题目. 返回目录

29. 已知E和F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点,且AE=C1F,求证:四边形EBFD1是平行四边形.已知E和F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点,且AE=C1F,求证:四边形EBFD1是平行四边形. 【证明】如图所示,在DD1上取一点G,使D1G=A1E,则易知 A1E D1G, ∴四边形A1EGD1为平行四边形, ∴EG A1D1, ∴四边形A1EGD1为平行四边形， ∴EG A1D1. 返回目录

30. 又∵A1D1 B1C1,B1C1 BC, ∴EG BC(公理4）， ∴四边形GEBC是平行四边形， ∴EB GC.又∵D1G FC, ∴四边形D1GCF是平行四边形， ∴GC D1F,∴EB D1F(公理4）， ∴四边形EBFD1是平行四边形. 返回目录

31. 考点5 异面直线所成角 ［2010年高考大纲全国卷Ⅰ］正三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【分析】根据异面直线所成角的定义，需通过平移，将异面直线BA1与AC1变成相交直线.由几何体的特点用补形法较恰当. 返回目录

32. 【解析】如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1.【解析】如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1. ∴BA1与AC1所成角的大小为 ∠A1BD1. 又易知△A1BD1为正三角形， ∴∠A1BD1=60°. ∴BA1与AC1成60°的角. 故应选C. 返回目录

33. 利用定义法(平移法)求异面直线所成角的一般步骤为:利用定义法(平移法)求异面直线所成角的一般步骤为: (1)平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点. (2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角. (3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之. (4)取舍:因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角. 返回目录

34. 如图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.如图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点. （1）求异面直线AE和PB所成角的余弦值； （2）求三棱锥A—EBC的体积. 返回目录

35. 【解析】（1）取BC的中点F，连接EF,AF，则EF∥PB,所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角.【解析】（1）取BC的中点F，连接EF,AF，则EF∥PB,所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角. ∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC, ∴AF= ,AE= ,EF= ; cos∠AEF= = , ∴异面直线AE和PB所成角 的余弦值为 . 返回目录

36. (2)∵E是PC中点， ∴E到平面ABC的距离为 PA=1, ∴VA—EBC=VE—ABC= ×( ×2×2× )×1= . 返回目录

37. （1）点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理2证明这些点都在这两个平面的交线上. （2）线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上. 返回目录

38. （3）证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内. ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后确定证明平面α,β重合. 返回目录

39. 祝同学们学习上天天有进步！