Förelasning 4

1. Förelasning 4 Sannolikhet Stickprov Fördelningar

2. Översikt • Sannolikhet • Slumpvariabel • Sannolikhetsfördelning • Slumpmässiga urval • Centrala gränsvärdessatsen Statistiska metoder 2012

3. Sannolikhet • Företeelser som kan resultera i olika utfall Klassisk definition: • P(A)=x innebär • Om man upprepar företeelsen n gånger  Frekvensen av A närmar sig x% om n ökar Exempel: Kastar tärning 6000 gånger • Hur många gånger vi har sett ”2”? • P(2)=? • P(1,3,4,5,6)=? Statistiska metoder 2012

4. Sannolikhet Exempel: Kastar mynt; frekvensen av ”krona”? Statistiska metoder 2012

5. Sannolikheter Exempel Tärningar Kastar mynt 3 gånger, X=antalet klavar P(X=0)=? P(X=1)=? P(X=2)?P(X=3)? • Betrakta alla möjliga (krona, krona,krona), (krona,krona,klave) … osv • Sannolikhet för varje kombination? • Hitta vilka kombinationer motsvarar vilka sannolikheter • Kontrollera summan av alla P(x=i) X kallas för slumpvariablel . Möjliga utfall: 0,1,2,3. Statistiska metoder 2012

6. Sannolikheter- andra exempel • P(Väntetid i en kö är mindre än 5 minuter) • P(en på måfå vald glödlampa håller mer än 10 timmar) • P(En valfri svensk röstar på fp nästa val) • P(En person vinner spelet om han/hon har en viss strategi) Statistiska metoder 2012

7. Slumpvariabel (diskret) • Beteckning X eller Y eller Z, anta X • Utfall x1,…xn (diskreta, ändligt antal alternati) • Sannolikhet P(X=xi)= stapelns höjd Statistiska metoder 2012

8. Slumpvariabel (kontinuerlig) • Beteckning X eller Y eller Z, anta X • Utfall x hör till [xa,xb ] – intervall (oändligt antal alternativ) • Kontinuerliga: sannolikhetstäthet (täthetsfunktion): P(X mellan x1 och x2)= Arean under kurvan mellan x1 och x2 Statistiska metoder 2012

9. Binomialfördelningen Exempel Kasta tärning n gånger X=antal gånger vi observerade ”1”, p= sannolikhet att få ”1” vid 1 kast. Generellt: • Upprepar försök n gånger • Varje gång händelse A inträffar (med sannolikhet p) eller inte, X= antal gånger A inträffar under experimentet • Intresserade P(X=x) Statistiska metoder 2012

10. Normalfördelningen • En kontinuerlig fördelning, mest typisk för många processer Exempel. Kastar mynt, 30 försök, X=antalet klavar, P(X=x) Statistiska metoder 2012

11. Normalfördelning • N(μ,σ), μ- medelvärde, σ-standardavvikelse Statistiska metoder 2012

12. Population och stickprov • Slumpvariabel X • Observationer= oberoende mätningar av X • X= tid att åka mellan Linköping och Linköping på Söndag • Population= Alla möjliga söndagar • X=tid (sannolikt att normalfördelad) • μ – populationens medelvärde • σ – populationens standardavvikelse • Omöjligt att veta μ,σ • Vid tillräckligt stort stickprov, Statistiska metoder 2012

13. Normalfördelningen • Area=1, eller 100% • N(0,1) –standard normalfördelning • Finns normalfördelningstabeller för N(0,1) Om x är normalfördelad, x~N(μ,σ) , använd för att använda tabeller Statistiska metoder 2012

14. Teoretiska resultat för stickprov • Stickprov x1…xn • Stickprovets medelvärde • Ett speciellt fall: • Varje observation x=1 eller x=0 (rökare icke-röckare). Vet att P(x=1)=π • Intresserade att veta fördelningen av andelen p ”0” eller ”1” (t.ex ”1”,rökare) i stickprovet Statistiska metoder 2012

15. Mjukvaran Om vi hinner: • Visa hur man kan skatta fördelningskvantiteter i MINITAB • T ex P(X=3) i Bin(p=0.5, n=8) • Normalfördelning: Z-värde motsvarande 15% Statistiska metoder 2012

16. Centrala gränsvärdenssatsen • Om vi tar ett stort stickprov med valfritt fördelade värdena, då är deras summa eller medelvärde approximativt normalt fördelat • Exempel X=0 eller 1, andelen p. Statistiska metoder 2012

17. Läsa hemma • Kompendiet • Boken, kap 5 Statistiska metoder 2012