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习题举例 Ex 1. 试求所有与下列矩阵 J 可交换的矩阵 :

习题举例 Ex 1. 试求所有与下列矩阵 J 可交换的矩阵 :. Ex .2 设 A,B 是 ｎ 阶矩阵 , A 2 ＝ A,B 2 ＝ B, ( A ＋ B ) 2 ＝ A ＋ B , 证明 AB ＝ O . Pro :∵ A ＋ B ＝ ( A ＋ B ) 2 ＝ A 2 ＋ AB ＋ BA ＋ B 2 ＝ A ＋ AB ＋ BA ＋ B ∴ AB ＋ BA ＝ 0, AB ＝－ BA . 又∵ AB － BA ＝ A 2 B － BA 2 ＝ A ( － BA ) － BA 2

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习题举例 Ex 1. 试求所有与下列矩阵 J 可交换的矩阵 :

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Presentation Transcript

  1. 习题举例Ex1.试求所有与下列矩阵 J 可交换的矩阵:

  2. Ex.2设 A,B是ｎ阶矩阵,A2＝A,B2＝B,(A＋B)2＝A＋B,证明 AB＝O . • Pro:∵ A＋B＝(A＋B)2＝A2＋AB＋BA＋B2 • ＝A＋AB＋BA＋B • ∴ AB＋BA＝0, AB＝－BA. • 又∵AB－BA＝A2B－BA2＝A(－BA)－BA2 • ＝－(AB＋BA)A＝O ∴ 2AB＝O.得证. • 注意: 矩阵的乘法不满足交换律,本题实际上是证明,在给定的条件下 AB＝BA

  3. Ex.3设Ａ为反对称矩阵,Ｂ为对称阵,试证ＡＢ－ＢＡ为对称阵. • Pro. ∵ Ａ＝－Ａ＇ Ｂ＝Ｂ＇ • ∴ （ＡＢ－ＢＡ） ＇ • ＝（ＡＢ） ＇ －（ＢＡ） ＇ • ＝Ｂ＇Ａ＇ －Ａ＇Ｂ＇ • ＝－ＢＡ＋ＡＢ • ＝ＡＢ－ＢＡ. • The end

  4. Ex.4:设 A为ｒ列矩阵,且秩A＝ｒ,B为ｒ阶矩阵.证明:若AB＝O，则B＝O. Pro. 此时Ｂ的每一列都是齐次线性方程组ＡＸ＝ O 的解, 但秩Ａ＝ｒ＝未知量的个数,所以 ＡX＝O 只有零解. 从而Ｂ的每一列均为０,即Ｂ＝ O. 注意: AB＝ O等价于 A与 B的每一列的乘积为O. 并把 AB＝O与 AX＝O联系起来.

  5. Ex5.设 A为ｎ阶实矩阵, 证明: tr(AA＇)＝0 等价于 A＝O. Pro. 充分性显然, 因为 AA＇＝O. The end.

  6. Ex6：对任意n阶矩阵A和B，都有AB－BA≠E 记住: AB的迹与BA的迹相同

  7. Ex7：设A与B都是n阶矩阵，若AB可逆，则A与B也可逆。Ex7：设A与B都是n阶矩阵，若AB可逆，则A与B也可逆。

  8. Ex8：设A与B都是n阶矩阵，若AB＝E，则A和B互为逆矩阵。Ex8：设A与B都是n阶矩阵，若AB＝E，则A和B互为逆矩阵。 • 由于 AB=E 可逆, A与B均可逆,设A的逆矩阵为A-1,则有 • 由逆矩阵的唯一性知,A和B互为逆矩阵. • 设P,Q,G为n阶方阵,若PQG=E,则一定有( ). • A. PGQ=E ; B. QGP=E ; • C. QPG=E ; D. GPQ=E.

  9. 分析

  10. 矩阵方程 解

  11. Ex.9解矩阵方程 ＡＸＢ＝Ｃ,其中Ａ,Ｂ可逆,且,                                                                                                                                                           

  12. 解：由题设, 知Ｘ＝Ａ-1ＣＢ-1. 以下用初等变换求Ｘ. 先求Ａ-1Ｃ. (Ａ,Ｃ)=＝                                                                                                                                                 →                                                                                                                                               →                                                                                                     

  13. 由此得 Ａ-1Ｃ＝                                       

  14. 再用列初等变换求(Ａ-1Ｃ)Ｂ-1 1

  15. ∴ Ｘ＝Ａ-1ＣＢ-1 ＝                                         注: 也可用公式法先求,Ａ和Ｂ的逆矩阵, 然后作乘法运算. 不过, 如果是用 初等变换的话, 就不必先求逆, 再相乘, 而是如上所述, 一气呵成好

  16. Ex10: 设A为3阶方阵,且

  17. Ex.11设Ａ是实对称矩阵, Ｂ是实反对称矩阵,且ＡB=BA, A-B可逆. 求证A+B 可逆, 且有

  18. Ex12:证明一个n阶方阵A的秩≤1,必要且只要A可以表为一个n×1矩阵和1×n矩阵的乘积.Ex12:证明一个n阶方阵A的秩≤1,必要且只要A可以表为一个n×1矩阵和1×n矩阵的乘积.

  19. Ex13:一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和.Ex13:一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和.

  20. 我们已知:对任意矩阵A,B,有R(A+B) ≤R(A)+R(B); R(AB)≤min{R(A),R(B)};对n阶方阵A,B;如果AB=0,有R(A)+R(B)≤n;若P,Q是可逆矩阵,在矩阵可乘的情况下,有R(PA)=R(A)=R(AQ)=R(PAQ) • 对n阶方阵A还有: • 若A2=E,则有 R(A+E)+R(A-E)=n • 若A2=A,则有 R(A)+R(A-E)=n • 设As×n,Bn×m, 恒有R(AB)≥R(A)+R(B)-n

  21. Ex.14设 Ａ,Ｂ为n阶矩阵. 证明:秩Ａ＝秩Ｂ 的充要条件是存在可逆矩阵 Ｐ,Ｑ, 使ＰＡＱ＝Ｂ. Pro. 充分性: 若存在ｎ阶可逆矩阵Ｐ,Ｑ, 使 ＰＡＱ＝Ｂ, 则 秩(ＰＡＱ)＝秩(ＡＱ)＝秩Ａ, 即 秩Ａ＝秩Ｂ.

  22. 必要性 设秩Ａ＝秩Ｂ＝r,则存在可逆矩阵， 存在可逆矩阵 Ｐ,Ｑ, 使 ＰＡＱ＝Ｂ.

  23. Ex17

  24. 解 （１）根据分块矩阵的乘法，得

  25. （２）由（１）可得

  26. 第四章　测试题 一、填空题(每小题4分，共32分)．

  27. 四、(8分)解下列矩阵方程． 五、(每小题5分，共20分)求下列矩阵．

  28. 七、(每小题3分,共6分)设 阶矩阵 的伴随矩阵为 ，证明： 六、(6分)设 求 ．

  29. 八、(每小题5分，共10分)求下列矩阵的逆矩阵．八、(每小题5分，共10分)求下列矩阵的逆矩阵． 九、(6分)

  30. 测试题答案

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