关于数学教育

关于数学教育 4

第一部分 • 关于《标准》的认识以及数学本质的揭示 4

改革是硬道理 • 素质教育，创新教育，与时俱进。《课程标准》伴随时代进步而出现。 • 自主、探究、合作，是我国教育的软肋，因该提倡。 • 概率、算法、建模、文化，是我们数学课程的弱点。改革的方向完全正确。 4

一则寓言 • 非洲土著居民，居住在茅草屋内。每天烧柴照明，一直相安无事。 • 一天，某文明人士，说我给你们带来光明，用电灯。这当然是好事。 • 一年以后，茅草房轰然倒塌。 • 原因：烧柴有烟，驱赶昆虫。用了电灯，昆虫繁殖。房梁、茅草蛀坏。 • 我们在引进“先进”东西的时候，必须看它是否和原来的环境相匹配。应该采取预防措施。 4

李瑞环的“茶山”比喻见《学哲学、用哲学》 • 老妇将一把宜兴老茶壶到街上卖。茶壶内有茶山（垢），不放茶也有茶香。开价5钱，一买主愿出三两银子买下。但身边未带钱，嘱老妇等半个时辰取钱来买。 • 老妇好心，觉得买主肯出大价钱买，需要将茶壶用沙子擦洗干净才好。 • 那买主拿钱来一看，茶山已经没有了，连5钱银子也不愿买这把壶了。有的传统文化象茶垢，看上去其貌不扬，贸然改掉，损失很大。要好好认识自己。 4

问题： • 没有研究自己传统，发扬自己的长处。 •忽视双基教学； •考试文化影响； •转变观念，批判传统，彻底改革。 •“赢在起点，输在终点”，也输在起点。 • 对于引进的教育观念，缺乏科学的分析建构主义？贱购主义？间接经验？直接经验？教师主导作用？合作者，组织者引导者？ 4

数学教育：进步，还是共存？ • 1980年代：双基教学，教师中心教师示范，讲深讲透，感染学生 • 1990年代：边讲边问，师生互动情景思考，精心提问，启发学生 • 21世纪：合作探究，学生主体教师组织，分组活动，自主探究， 4

数学教育中的“去数学化”倾向 • 香港科技大学教授项武义认为，大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。 • “去数学化”，指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律，忽视数学实质的揭示。 4

教什么永远比怎么教更重要 • 吃什么永远比怎么吃更重要 • 数学教学研究：上通数学，下达课堂 • 教学的基本要求：吃透教学内容，讲清楚 4

揭示数学本质，才能提高效率 • 教育不等于认识论。 • 数学教学是要在很短的时间里，让学生把握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学本质，精中求简，保持核心价值 • 一万年以后怎么办？老是探究，自己发现，还有效率可谈吗？没有效率的教学理论是走不远的！ 4

第一部分 关于数学本质的把握与呈现 4

使我一整天不快乐的谈话 • 某教研组长说：“我反对预习。我要上公开课。希望学生自己“发现”仰角、俯角的名称。一旦预习，发现没有了，自主没有了，创新也没有了。 …… • 廉价的发现；无谓的探索；虚假的活跃；表演的创新。我感谢主人的介绍和招待，但是那一天我一直不快乐。 4

数学教学成功的标志 • 主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌握了数学（数学的科学性），包括：数学本质的理解；数学知识的掌握；数学能力的形成。教育方式是手段（现在的标准：学生活跃？合作？用计算机？探究？……游离于数学本身） • 奇谈怪论： • 结果不是最重要的，重要的在于参与； • 知识不是最重要的，重要的在于过程。 4

数学知识的储备：一个比喻 • 一缸水和一杯水 • 一桶水和一杯水 • 一杯水和一杯水 • 没有水可以打井取水 • 教师的作用：鱼，渔 • 数学本质的把握需要数学修养 4

“数学本质”的内涵： 1。数学知识的内在联系； 2。数学规律的形成过程； 3。数学思想方法的提炼； 4。数学理性精神的体验。形成数学的教育形态： “返朴归真”， “平易近人”， “言之有理”，“感悟真情” 4

数学本质被两种活动所掩盖： 1。过度的形式化。 “淡化形式，注重实质”。 2。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。 4

例1。乘法交换律： ab =ba • 某杂志刊登的特优教案这样设计： • 学生交换位置（没有说人数不变）； • 兔子和鸭子交换任务：兔子摸螺蛳，鸭子拔青草。（没有谈不变性） • 用柄很长的勺子喝水，自己喝不到，互相帮助，交换勺子喝水。（只有交换，没有不变的规律）。交换律的数学本质：交换后乘积不变。 4

例2。三角形内角和问题 • 姜伯驹院士在政协的提案指出 • “三角形内角和等于180度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？” • 不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。 • 李大潜院士：“老是量，就倒退到尼罗河时代去了” 4

三角形内角和定理的价值 • 没有实际价值，超越日常经验。 • 当初古希腊学者不是“量”出来的。 • 价值在于理性思维，从公理出发的演绎推理。 • 建议：要么作公理，要么进行推理。 • 例如：所有矩形的四个角都是直角 直角三角形内角和为180度  任意三角形内角和为180度 4

例3。正弦定理的教学（一个忽视数学实质的设计）例3。正弦定理的教学（一个忽视数学实质的设计） • 请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么结果？ • （学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习） 4

根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？ 4

正弦定理是量出来的吗？ • 分组测量，汇报结果，这是败笔。数学不能靠大家意见相同得到结论。必须证明。 • 正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介，比一下立刻推得。 • 正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关系”，平面几何“大边对大角”的数量化。 • 三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁。 4

例4。 Freudenthal经典情景：巨人的手（通过“量”掌握数学本质） • 比例只是“照片放大”、“地图比例尺”？ • 黑板上留下巨人的手印，请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。活动设计： 1。用自己的手和巨人的手相比。 2。定下“比值” 3。量自己的书、桌子、椅子尺寸 4。用比例放大（量得有价值，有意义） 4

例5.余弦定理与三点距离问题-- 表示能力的培养 • （荷兰）甲离学校10公里，乙离甲3公里，问乙离学校几公里？ • 训练学生的数学表示能力。 • 甲、乙、学校在一条直线上？没有说。校乙甲乙‘ 坐标。参数。复数。空间 4

例6。坐标活动（长宁） • 将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴； • 坐标对应学生，请学生自己看坐标； • 两坐标都是非负的站起来；两坐标相等的站起来； • 换一个同学做坐标原点。 • 这样活动，抓住了“坐标”的数学实质。 4

美国德州(Austin)的一个斜率概念教学设计 为了联系学生生活实际, 提出情景: “早上起床时, 你先要从床上起来(rise), 然后走到厨房去做早餐(run)”由此联系到斜率的概念: 纵距离与横距离之比 rise over run. 评论：教案设计者只利用了rise和run这两个词的表面意思, 并没有突出两者必须存在关联,必须研究二者的比例. 难道每个rise和run 都有斜率的问题 (起床和去厨房这个过程的斜率是什么?) 4

另一个美国数学教育故事 • 一组教师引入”二次函数”的方法是首先介绍”毕达哥拉斯定理”. Cindy请她们解释为何要用此定理来引入二次函数概念,回答是: • “因为那里有平方”.？！数学的本质完全被曲解了。 • Cindy继续提问, 希望他们能意识到问题所在, 结果惹得众人很不愉快. 事后, 那个学区的教师间接告诉Cindy: “请她以后不要再到我们学区来了. 我们不欢迎她!” 4

《数学教学》2005年第四期 一篇令人遗憾的文章专家是救世主？教师只能更新观念，改善行为？群众路线哪里去了？实践是检验真理的唯一标准！ 4

一个中国故事 请讨论 4

教育数学是数学的教育形态： • 数学的原始形态：繁复曲折的数学思考。 • 书面发表的数学是数学的学术形态：简洁冰冷的形式化美丽。 • 教师的责任：把数学的学术形态化为教育形态： 1 高效率地进行火热的思考， 2 揭示数学本质； 3 使学生容易接受。 4

教育形态之一方程概念 外在的逻辑形式：含有未知数的等式叫方程。 • 内在的数学本质：方程是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等价关系。 • （教育形态）“方程”思想的本质在于建立关系 • 为了认识“未知数”先生，必须请已知数“先生为媒介，找到一种关系，根据关系就能认识“未知数”先生了。 4

方程思想（三根电线的长度） • 上海51中学陈振宣提供: 他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到10楼的三根电线不一样长。如何测知他们的电阻？ • 袁枚（清）： “学如箭镞，才如弓弩；识以领之，方能中鹄”。这是中国的创造。 x y z 珍视，流传，进教科书 X+y =a Y+z =b Z+x =c 4

在“看不见数学的地方发现数学 • 1948：美国仙农发表《信息的数学理论》 • 1948：维纳发表《控制论》。信息、控制是数学吗？ • 1948： von Neuman 计算机方案形成 • 中国缺乏这样的数学偶像 4

仙农(Shannon)研究信息论 • 一.信息量烽火台. 传送一个信息量 log2 2 =1. 两个烽火台. 1. 敌人来? 2.要否补给? 四种情况. log2 4 =2. 信息是 0,1 符号串. • 二 . 概率和信息量: “狗咬人”“人咬狗”. “今天太阳升起”, “今天日食”. 事件的概率P(E)大, 传送此事件的信息量H(E)小. H(E) = 1/ P(E)?H(E) = - P(E) log2 P(E). 4

教育形态之二。正负数加减 • 赢多输少，进少出多…… 3 – 5 = ？， - 6 +3 = ？只要智力正常的人都会做，何必兴师动众？ • 学术形态：绝对值？ • 教育形态：抵消 • 我们怎样把教科书上的叙述，转化为容易接受的教育形态 4

教育形态之三：负负得正？？ 探究式教学。例：一列每小时80公里的火车向西开， 12时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负， 12点之后之前为时间的正负。问10点时火车在什么位置？答案：（-2） x （-80）= 160 • 于是概括得出数的运算的规律负负得正。数学不允许这样的概括。教育形态：有意义的接受。乘（-1）相反，再乘（-1）回归。（先做后说）。先有规则，后有解释。先执行，然后举例说明其合理性。反思也是创新的必要步骤。先举例是探究，后举例说明是有意义接受。 4

教育形态之四。函数的两个定义，初中， 高中 • 人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全局与局部；物理学上的宇宙与原子；艺术上的写意与工笔 … • 初中的函数从大局发展着眼，宏观地观察数量之间彼此依存的关系，看总体发展趋势。宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性。 • 高中函数定义讲究微观地、静态地观察，用两个数集之间的对应来描述。微观函数概念的本质在于精确化的对应。两种定义互有短长，并非高级与低级之分。 4

函数定义中 “唯一”重要吗？ • 唯一不是本质。 • 不唯一成多值函数而已。 • 多值函数单值化即可。 • 描写圆的函数，上半圆和下半圆。 • 反三角函数 4

教育形态之五：数学归纳法的比喻 • 1。通常借喻多米诺骨牌效应 • 2。火车头带火车。第一节重要（火车头），然后，各节车厢一节节地连接好。 • 3。排队。第一个是 X学校学生，然后保证后面一个和我同校，X学校学生的队伍排好。 • 数学归纳法的本质是从有限过渡到无限。以上的比喻都必须注意这个特征。 • 相比之下，多米诺骨牌好些。 4

教育形态之六。函数的单调性 • 单调性的本质是描述函数的变化趋势。但不是“基本向上，震荡向上。 • 数学的单调，是“绝对向上”， “天天向上”，一个都不能少。（教育形态） • 有限个数，可以排成“绝对向上”。 • 如何处理无限变化的趋势？学术形态：对“任意”两个自变量 x1 < x2 ,都有 f(x1)< f(x2) • 将直观的自然语言表述为严格的数学语言，才能获得数学本质的认识 4

一组初中数学的 本质探究 4

1 “圆的认识”这样说，对吗？ • 1．用甩动系在细绳上的小球形成圆，是传统的灌输方法。让小朋友排成圆形公平玩套花游戏，是好的结合学生实践的方法。 • 2．用圆形纸片折纸找圆心的活动，是传统的。甩动不同长度的细绳形成圆的中心是圆心，则是探究的好方法。 • 3．用圆规划圆在认识圆之后，是传统的灌输的。在认识圆之前使用圆规划圆，是“过程性“的好方法。 • 我的看法是，凡是能够揭示“圆的数学本质”教学方法都有价值的。有的是动态的，有的是静态的。有的适合找圆心，有的适合找半径，有的便于表达，有的着重理解。它们没有好坏之分。 4

2。勾股定理（毕达哥拉斯定理）的教学设计 • 用各种方法发现：方格纸上3，4，5 的计算等。 6张工作单：发现猜想 a2 + b2 = c2 • 换一种思维：将勾股定理直接告诉学生，用各种美丽的画面，讲述中外有关历史，包括和外星人联系使用的信息。把重点放在如何证明上。多种证明。最后联系到费马大定理 an + bn = cn (n>3)。哪一种更能体现数学本质？ 4

3。“代数式”一课的教学文字代表数的本质： 符号运算 • 实际问题引入，喧宾夺主，流行病 • 由数字、表示数字的字母及运算符号组成的式子称为代数式。这个定义重要吗？ • “由文字题列代数式，及说出代数式所代表示的意义”正反两方面的例子。两种语言互译：这是初中代数的关键、核心。双基要求：示范，纠错，练习。新式教学：自主，探究，合作。哪种有效？ 4

只代表，不运算，没有价值 • 项武义教授：“文字代表数的本质是不定元和数字进行相同的运算。 • 如 (2x + 3x2 ) = x (2+3x) （教材上没有讲为什么可以这样做）。解二次方程：因子分解、配方、同解变换  根数学家之所以有饭吃，在于能够运用符号获得结果（复旦张荫南） 4

数学符号是一种语言 • 语文靠想象，将符号（方块字）用语法表示出来。说话写下来就是文章。 • 数学靠理性，将数学符号通过运算、演绎得到结论。这是人为构造的语言。语文、数学、诗词、定理，都是符号运作 • 语文是“饭”，不吃要死，容易煮熟。便宜 • 数学是“菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较贵。烧菜很难。吃菜必须合理。 • 诗词是“酒”，酒可以不喝，酿酒更难。有人喜欢，闲时享受才喝。定理也是酒。 4

4。概念教学: 淡化形式, 注重实质. 下列是问题是否妥当? • 判断下列各例是否正确？1.（只）有一组对边平行的四边形是梯形2。含有未知数的（等）式子叫方程3. （平面上）不相交的两条直线叫平行线 • 平行四边形也是梯形，有何不可？x - x =0; 0x=0; 是方程吗？也许还要加上“在欧氏空间中”？ 4

关于数学教育

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