Download
1 / 3
30 likes | 347 Views
Modul 9 Stattistik & Probabilitas 1.1 Analisis terkombinasi Permutasi Suatu permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan ialah banyaknya cara penempatan r unsur itu dalam satu urutan ( array ). Dirumuskan sebagai. n ! ( n − r )!. P.
E N D
Modul 9 Stattistik & Probabilitas 1.1 Analisis terkombinasi Permutasi Suatu permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan ialah banyaknya cara penempatan r unsur itu dalam satu urutan (array). Dirumuskan sebagai n! (n − r )! P = n(n – 1)(n – 2)...(n – r + 1) = n r P n = n(n – 1)(n – 2)...3.2.1 = n!, permutasi n unsur diambil semua. n Apabila dari n unsur itu ada k jenis, dan tiap jenis terdiri dari n1, n2,...nk unsur dengan n1 + n2+...+ nk = n maka permutasinya dapat ditulis sebagai n! n1!.n2 !...nk ! nPn1, n2,...,nk = Kombinasi Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan, ialah banyak cara pemilihan r unsur itu tanpa memperhatikan urutannya. Dirumuskan sebagai: ( ) = 1 n! n r C r = n P r n n! r!(n − r )! P r = n CONTOH 1. Hitunglah (a) 4P2 ; (b) 5P3 ; (c) 10P6 ; (d) 5C2 ; (e) 7C3 ; (f) 12C5 ; Penyelesaian http://www.mercubuana.ac.id
Penyelesaian Karena pemilihan di sini tidak memandang urutan, maka cara memilih ada 9! 3!.6! = 84 cara 9 C 3 = 7. Dengan berapa carakah 4 huruf yang berbeda dapat disusun, apabila digunakan huruf yang ada dalam kata ‘PERMUTASI’? Penyelesaian Untuk membentuk susunan huruf yang terdiri dari 4 huruf disediakan 4 spasi. Karena huruf yang digunakan ada 9 macam, maka spasi pertama dapat diisi dengan 9 cara, kedua dengan 8 cara, ketiga dengan 7 cara dan keempat dengan 6 cara. Maka jumlah cara yang bisa dilakukan untuk menyusun 4 huruf dari 9 huruf yang berasal dari kata ‘PERMUTASI’ ada 9 . 8 . 7 . 6 = 3 024 (atau 9P4). 8. Tentukanlah jumlah susunan huruf yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf dalam kata ‘PERMUTASI’, apabila (a) semua huruf dipakai tanpa syarat; (b) semua huruf dipakai tetapi semua huruf hidup berdampingan; (c) semua huruf dipakai tetapi 3 huruf tertentu selalu berdampingan. Penyelesaian (a) 9P9 = 9! = 362 880 cara. (b) Huruf hidup selalu tampak berdampingan, sehingga 4 huruf hidup itu bisa dipandang sebagai 1 huruf, dan kita tinggal mencari permutasi dari 6 huruf saja yang jumlahnya 6!. Akan tetapi keempat huruf hidup itu bisa diatur dalam 4! Cara, maka untuk membuat susunan huruf dari kata ‘PERMUTASI’ dengan huruf hidup selalu berdampingan ada 4! . 6! = 17280 cara. (c) Cara Penyelesaian sama seperti pada (b), sehingga jumlah ragam susunan huruf yang bisa di bentuk ada 3! . 7! = 30240 cara. 9. Suatu panitia terdiri dari 10 orang. Mereka mengadakan rapat dan duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa carakah mereka menempati 10 kursi yang tersedia mengelilingi meja itu? Penyelesaian Ini merupakan masalah permutasi keliling, maka banyak cara mereka duduk ada (10 – 1)! = 9! = 362880 cara. Pada umumnya untuk n obyek yang diatur membentuk lingkaran dapat disusun dalam (n-1) cara. 10. Seorang mahasiswa akan menempuh ujian 4 matakuliah. Dosen memberikan 9 alternatif waktu kapan ia bisa menguji. Ada berapa carakah penentuan waktu ujian bagi mahasiswa tersebut, jika urutan matakuliah tidak diperhatikan? Penyelesaian 9! 5! = 3024 cara Ujian dapat diatur dalam 9P4 = 1. Seorangpegawaiperpustakaanakanmengatur 8 buku, 3 di antaranya berwarnamerahpadarakbuku. Ada berapacarakahpegawaitersebutdapat mengaturbukuitubila http://www.mercubuana.ac.id
Penyelesaian (a) ‘WACANA’ terdiri dari 6 huruf, yaitu W, C , N masing-masing 1 huruf dan 3 huruf A. Sehingga permutasi 6 huruf di atas ialah 6! 1!.1!.1!.3! = 120 6P1,1,1,3 = (b) ‘SATYA WACANA’ terdiri dari 11 huruf, 6 huruf yang berbeda yaitu S, T, Y, W, C, N dan huruf A. Maka banyak permutasi ada 11! 1!.1!.1!.1!.1!.1!.5! = 332640 . 11P1,1,1,1,1,1,5 = 4. Seorang mahasiswa pertanian memiliki 5 jenis tumbuh-tumbuhan. Masing- masing diberi kode A, B, C, D, dan E yang berturut-turut terdiri dari 3 batang, 2 batang, 4 batang, 2 batang, dan 5 batang. Ia akan menanamnya pada satu deretan. Ada berapakah cara pelaksanaannya penanaman dilakukan (a) tanpa ada syarat apa-apa; (b) dengan syarat batang jenis E tidak boleh diselingi oleh yang lain; (c) dengan syarat batang jenis E tidak boleh saling berdekatan. Penyelesaian (a) Bila penanaman dilakukan tanpa syarat apa-apa berarti 16 batang itu dapat 16! (3!)(2!)(4!)(2!)(5!) = 302 702 400 cara. diatur dalam 16P3,2,4,2,5 = (b) Bila jenis E yaitu 5 batang tidak boleh diselingi yang lain, sehingga jenis E bisa dianggap 1 batang. Maka mereka dapat ditanam dalam 12! (3!)(2!)(4!)(2!)(1!) = 831 600 cara. 12P3,2,4,2,1 = Tetapi 5 batang jenis E itu dapat diatur dalam 5! = 120 cara. Jadi agar kelima batang itu tidak diselingi oleh yang lain dapat ditanam dengan (120).(831 600) = 99 792 000 cara. (c) Dari 11 batang yang bukan jenis E dapat diatur dalam 11P11. Sedang kelima batang jenis E dapat ditanam di sela-sela mereka atau pada ujung- ujung. Berarti ada 13 tempat untuk bisa ditanami dengan 5 batang jenis E, maka kelima batang itu bisa ditanam dengan 13C5 cara. Jadi agar tak ada 2 batangpun jenis E yang berdekatan ada 13C5 . 11P11 cara untuk menanamnya. 5. Dalam suatu kelas ada 25 murid, 10 di antaranya wanita. Guru kelas akan meminjamkan 4 buah buku kepada mereka dan supaya adil diadakan undian. Berapa nilai kemungkinan bahwa yang mendapatkan buku itu (a) Murid wanita semua; http://www.mercubuana.ac.id
