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温度的微观解释

温度的微观解释. M. p. V. R. T. =. M. mol. M. R. T. N. m. R. T. N. R. p. =. (. ). T. =. =. M. V. N. m. V. V. N. mol. 0. 0. R. 23. 1. 1.38. 10. J.K. k. =. =. ×. N. 0. N. R. 2. p. =. n. kT. p. n e t. =. (. ). T. =. V. N. 3. 0. 温度的微观解释. § 3.

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  1. 温度的微观解释

  2. M p V R T = M mol M R T N m R T N R p = ( ) T = = M V N m V V N mol 0 0 R 23 1 1.38 10 J.K k = = × N 0 N R 2 p = n kT p n et = ( ) T = V N 3 0 温度的微观解释 §3 玻尔兹曼恒量k

  3. N R 2 p = n kT p n et = ( ) T = V N 3 0 3 et = kT 2 比较这两式得： 温度的统计意义： 温度是分子热运动 平均平动动能的量度。 热运动: 分子的无规则运动， 非定向运动。

  4. 3 et = kT 2 1 3 mv kT 2 = 2 2 3 kT 3 3 RT RT v 2 = = = v 2 m M M mol mol 方均根速率:

  5. p 1.03×105 n = 2.45×1025 (m-3) = = kT 1.38×10-23×300 已知：t= 270C，p= 1.013×105 Pa， 求：n 解： p= nkT [例1]

  6. 3 3 et kT 1.38×10-23×300 = = × 2 2 6.21×10-21 (J) = 3×8.31×300 = 28×10-3 3 RT = M v 2 mol 517 (m.s-1 ) = 求氮气分子的平均平动动能和方均 根速率，设 t =27 0C 解：T = 27+273 = 3000C [例2]

  7. 两瓶不同的气体，其平均 ek 相等，但 n 不同。问：T 是否相同？p 是否相同？ [例3] 解：

  8. §4 分子模型 能均分定理 理想气体的内能 一、微观分子模型的改进 分子由原子组成，原子可以看成质点, 原子间由刚性轻杆连接。

  9. M 2 M 1 l , , M ( x y z ) 1 1 1 1 , , M ( x y z ) 2 2 2 2 ( x y l x y z z = ) ( ) ( ) 2 2 2 + + 2 1 2 1 2 1 二、自由度 p-111 确定一物体在空间位置所需之独立坐标数。 M ( x,y,z ) １、质点： 自由度数=3 2、刚性杆： 约束条件： 6 个坐标中只有 5 个是独立的。 自由度数=5

  10. 3、刚体 自由度数=6 自由度 平动 转动 单原子分子 3 3 0 5 3 2 双原子分子 6 3 3 三原子(多原子)分子 多原子分子 单原子分子 双原子分子 4、 刚性分子的自由度 i

  11. 1 3 kT et = mv = 2 2 2 i ek kT = v , v v v 2 2 2 2 v v v 2 = + + 2 2 2 = = x y z x y z 1 1 1 1 mv mv mv kT 2 2 2 = = = x z y 2 2 2 2 1 kT 所具有的平均动能都为 2 分子热运动的平均动能: 三、能均分定理 ∵ 能量按自由度平均分配原理： 处于平衡态的气体分子每一自由度

  12. i ek kT = 2 i i E N kT RT = = mol 2 2 0 M i E RT = 2 M mol 分子热运动的平均动能: 四、理想气体的内能 内能：分子热运动动能和分子间势能之和。 理想气体内能： 系统中所有分子热运动动能之总和。 1mol 理想气体的内能： Mkg理想气 体的内能： 理想气体的内能是温度的函数

  13. 理想气体： E = E ( T ) , E 0 ！ ¹ 2. 在实际上当 T = 0 单原子分子： 双原子分子： 多原子分子： • 讨论： • 1. 内能 是气体状态的单值函数

  14. 麦克斯韦分子速率分布定律 j v ω ω L j L L ω t = t = 得： v 令 t = t , = ω v j 1 2 1 2 ω 通过改变 可获得不同速率区间的分子。 一、分子速率分布的测定——斯特恩实验 §5 金属 蒸汽 屏 方向选择 速率选择器 只有满足此条件的分子才能同时通过两缝。

  15. 3 RT = M v 2 mol 二、统计规律 ∵ 碰撞，分子速率在不断变化， 又 ∵ T 一定时， 一定 ， ∴ 分子速率分布也一定 。

  16. 三、麦克斯韦分子速率分布函数 f (v) v v v N ： d d 的分子数 + 2 mv m 3 π = 4 v e 2kT 2 2 π 2 kT f f (v) (v) : N d ： v v v 的分子数 d + N dN 1 v o = N dv N ：总分子数 占总分子数的百分比 速率在 v 附近的单位速率区间内的分子数 占总分子数的百分比

  17. f (v) dN . f (v)dv d v = dN N dv f (v)= N dv dN = N o v v dv 表示 在 v v 的速率区间内的分子数 dv + 图中小矩形面积 占总分子数的百分比。

  18. f (v) ∞ ò f (v) dv 1 = 0 o v 归一化条件： 其几何意义是：曲线下的总面积等于1 其物理意义是所有速率区间内分子数百分 比之和应等于1。

  19. 1.平均速率 v ò ò v dN dN v v ( ) dv = = N Ndv 8RT ∞ ò v f (v) dv = = π M 0 mol 四、三种速率

  20. 3RT ò v dN 2 = v 2 = M N mol 8 ò = 2 v f (v) dv 3RT 0 = v 2 M mol v 2 2. 方均根速率

  21. f (v) 2RT 由 得： v = 0 = p ¶ v M mol f (v) o v v v p v 2 v v ＞ ＞ v 2 p 3. 最可几速率 vp 与 f (v )的极大值所对应的速率

  22. 2RT v = f (v) p M mol 73K O2 273K 1273K v 500 1000 1500 气体分子分布函数和温度的关系

  23. f (v) m大 T 高 f (v) 2RT v = T 低 p M mol 0 v 0 v m小 分布函数和 温度的关系 分布函数和 分子质量的关系

  24. f (v) o v v v 2 1 v ò 2 f (v)dv 表示 v v 的分子数占总分 v 2 1 1 v ò 2 f (v)dv 表示 v v 的分子总数。 N v 1 2 1 子数的百分比。

  25. v v ò ò 2 2 v f (v)dv v f (v)dv 表示 v v 1 1 v2 ò v dN v1 = N v = v ò 2 f (v)dv v v 的分子对 v 平均值的贡献。 v 2 1 1

  26. f(v) T1 2RT v = p M mol v p T2 2 v 图为同种气体，不同温度下的速率分布曲线，试问（1）哪条曲线对应的温度高？（2)如两条曲线分别是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条是氢气？ [例1] 解： (1) T1 <T2 (2)绿：氧 白： 氢

  27. C ( vo> v > 0) 0 ( v > vo ) C ∞ v ò ò = = = o f ( v ) dv Cdv Cv 1 o 0 0 1 = C v o vo v o 有N个粒子，其速率分布函数为: [例2] 1、作速率分布曲线。 2、由N和vo求常数C。 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。 解：

  28. v v = = ò ò o o v vf ( v ) dv Cvdv 0 0 2 v v = o C o = 2 2 ∞ 1 v ò ò = = = o 2 2 2 2 v v f ( v ) dv Cv dv v o 3 0 0 3 = 2 v v o 3

  29. §6 平均自由程 分子在连续两次碰撞之间 走过的平均路程。 l 一秒钟内一个分子 平均碰撞次数 z 分子碰撞及自由程 与其它分子碰撞的平均次数。 设分子的有效直径为 d 设分子A：速率 vr； 其它分子：不动

  30. D B 2d C A d A vr 以 A 运动路径为轴线，作一半径为d， 长度为 vr 的圆管。 凡分子中心位于管内的分子（如 B、 C 分子）都将与 A碰撞。

  31. D B 2d C A d vr A π 2 z n vr d = 一秒钟内 A 分子将与中心位于管内的 所有分子进行碰撞 平均碰撞次数为： （n：分子数密度）

  32. vr= 2 v 2 π z 2 n v d = v v 1 l = = = z π π 2 2 n d v n d 2 2 P n kT = 1 kT = = l π π 2 2 d n d P 2 2 考虑到其它分子都在运动， 得到分子平均碰撞次数为：

  33. 求氢在标准状态下一秒内分子的平均碰撞次数。（已知分子直径d = 210-10m) [例1] 8 RT = v p M 解： （约80亿次）

  34. 设有一群粒子速率分布如下： 粒子数Ni 2 4 16 18 2 速率 m/s 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 S viNi Svi Ni v 2 = N = v 2 N [例2] 试求：(1) 平均速率；(2) 方均根速率； (3) 最可几速率。 解： (1) = 3.33 m/s (2) = 3.45 m/s vp= 4.00 m/s (3)

  35. p187-5-5-6速率分布函数的物理意义是什么？试说明下列各量的意义：p187-5-5-6速率分布函数的物理意义是什么？试说明下列各量的意义： v ò 2 f (v)dv 表示 v v 内的分子数 v 2 1 1 表示 表示 在 在 v v v v 的速率区间内的分子数。 的速率区间内 dv dv + + [例3] 答：速率分布函数 f (v)表示: 速率在 v 附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比 (1) f (v)dv 的分子数占总分子数的百分比。 (2) Nf (v)dv (3) 占总分子数的百分比。

  36. v v N ò ò 2 2 v f (v)dv v f (v)dv v v 1 1 v2 ò v dN v1 = N v v v v 的分子 v 的总和。 内的分子对 v 平均值的贡献。 2 2 1 1 v ò 2 f (v)dv 表示 v v 内的分子总数。 N v 1 2 1 (4) (5) 表示 (6) 表示

  37. 设体积为V的容器内盛有质量为M1和质量为M2的两种不同单原子气体，此混合气体处于平衡状态时内能相等，均为E。试求两种分子的平均速率和的比率以及混合气体的压强。设体积为V的容器内盛有质量为M1和质量为M2的两种不同单原子气体，此混合气体处于平衡状态时内能相等，均为E。试求两种分子的平均速率和的比率以及混合气体的压强。 M2 M1 i i E RT RT = = 2 2 M1 M2 mol mol v1︰v2 = M2mol︰M1mol 8RT v = π M = M2︰M1 mol [例4] 解： M1︰M2 =M1mol︰M2mol

  38. 4E 2E 2E F p = = = = 3V V i 3V S F1+F2 M1 R T p1 = = S M1 V M1 i mol E RT = 2 M1 mol =p2 = p1+ p2

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