第四章

1. 第四章 轴心受力构件

2. §4-3轴心受压构件的稳定 一、轴心受压构件的整体稳定 （一）轴压构件整体稳定的基本理论 1、轴心受压构件的失稳形式 理想的轴心受压构件(杆件挺直、荷载无偏心、无初始应力、无初弯曲、无初偏心、截面均匀等）的失稳形式分为：

3. （1）弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只绕一个主轴旋转，杆纵轴由直线变为曲线，是双轴对称截面常见的失稳形式；（1）弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只绕一个主轴旋转，杆纵轴由直线变为曲线，是双轴对称截面常见的失稳形式；

4. （2）扭转失稳--失稳时除杆件的支撑端外，各截面均绕纵轴扭转，是某些双轴对称截面可能发生的失稳形式；（2）扭转失稳--失稳时除杆件的支撑端外，各截面均绕纵轴扭转，是某些双轴对称截面可能发生的失稳形式；

5. （3）弯扭失稳—单轴对称截面绕对称轴屈曲时，杆件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转。（3）弯扭失稳—单轴对称截面绕对称轴屈曲时，杆件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转。

6. Ncr Ncr N N N N Ncr F F F l Ncr Ncr N N N N Ncr 2.轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲 A 稳定平衡状态 B 随遇平衡状态 C 临界状态

7. Ncr y y1 y2 Ncr l M=Ncr·y x Ncr Ncr 下面推导临界力Ncr 设M作用下引起的变形为y1，剪力作用下引起的变形为y2，总变形y=y1+y2。 由材料力学知： 剪力V产生的轴线转角为：

9. 其通解为： Ncr y y1 y2 Ncr l M=Ncr·y x Ncr Ncr 对于常系数线形二阶齐次方程：

11. 通常剪切变形的影响较小，可忽略不计，即得欧拉临界力和临界应力：通常剪切变形的影响较小，可忽略不计，即得欧拉临界力和临界应力： 上述推导过程中，假定E为常量（材料满足虎克定律），所以σcr不应大于材料的比例极限fp，即：

12. 形心轴 中和轴 σ dσ dε σcr dσ1 fp Ncr,r dσ2 σcr E 1 ε 0 l x y Ncr,r 4.轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲 当σcr大于fp后σ-ε曲线为非线性,σcr难以确定。 历史上有两种 理论来解决该问题， 即： (1)双模量理论 该理论认为，轴压构件在微弯的中性平衡时，截面平均应力(σcr)要叠加上弯曲应力，弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量Et规律（分布图形为曲线），由于是微弯，故其数值较σcr小的多，可近似取直线。而弯曲受拉一侧应力发生退降,且应力退降遵循弹性规律。又因为E>Et，且弯曲拉、压应力平衡，所以中和轴向受拉一侧移动。

13. 形心轴 中和轴 dσ1 Ncr,r dσ2 σcr l x y Ncr,r 令： I1为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩； I2为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩； 且忽略剪切变形的影响，由内、外弯矩平衡得： 解此微分方程，即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力：

14. 中和轴 △σ Ncr,r △σ σcr,t l x y Ncr,r (2)切线模量理论 假定: A、达到临界力Ncr,t时杆件 挺直; B、杆微弯时,轴心力增加 △N，其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等。 所以应力、应变全截面增加，无退降区，切线模量Et通用于全截面。由于△N较Ncr,t小的多，近似取Ncr,t作为临界力。因此以Et替代弹性屈曲理论临界力公式中的E，即得该理论的临界力和临界应力：

15. σ fy=fp fy 1.0 欧拉临界曲线 ε λ 0 0 （二）初始缺陷对压杆稳定的影响 如前所述，如果将钢材视为理想的弹塑性材料， 则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为： 但试验结果却常位于蓝色虚线位置，即试验值小于理论值。这主要由于压杆初始缺陷的存在。

16. 力学缺陷：残余应力、材料不均匀等。 几何缺陷：初弯曲、初偏心等； 初始缺陷 1、残余应力的影响 （1）残余应力产生的原因及其分布 A、产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却，如前所述； ②型钢热扎后的不均匀冷却； ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩； ④构件冷校正后产生的塑性变形。 实测的残余应力分布较复杂而离散，分析时常采用其简化分布图（计算简图）：

17. fy 0.3fy 0.361fy β1fy + 0.3fy 0.3fy 0.3fy - 0.805fy (b)热扎H型钢 (a)热扎工字钢 (c)扎制边焊接 + fy fy β2fy 0.75fy β2fy 0.53fy 0.2fy ( f )热扎等边角钢 (d)焰切边焊接 (e)焊接

18. fy 0.3fy σ=N/A σ=0.7fy （A） σrc=0.3fy 0.3fy fy 0.3fy C 0.3fy σrc B fy fp A 0.7fy<σ<fy （B） fy-σrc fy ε 0 σ=fy （C） (2)、残余应力影响下短柱的σ-ε曲线 以热扎H型钢短柱为例： 显然,由于残余应力的存在导致比例极限fp降为:

19. 根据前述压杆屈曲理论，当 或 时，可采用欧拉公式计算临界应力； 当 或 时，截面出现塑性区，由切线模量理论知，柱屈曲时,截面不出现卸载区，塑性区应力不变而变形增加,微弯时截面的弹性区抵抗弯矩，因此,用截面弹性区的惯性矩Ie代替全截面惯性矩I，即得柱的临界应力： (3)、仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

20. y t x x h kb t σrc b a c σ1 b c’ fy a’ σrt b’ 当σ>fp=fy-σrc时，截面出现塑性区，应力分布如图。 仍以忽略腹板的热扎H型钢柱为例，推求临界应力： 柱屈曲可能的弯曲形式有两种： 沿强轴（x轴）和沿弱轴（y轴） 因此，临界应力为：

21. y t x x h kb t σrc b a c σ1 b c’ fy a’ σrt b’ 为消掉参数k，有以下补充方程： 由△abc∽△a’b’c’得: 显然，残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（k<1）。 由力的平衡可得截面平均应力:

22. σcrx 1.0 欧拉临界曲线 σcry σE 0 1.0 λn 仅考虑残余应力 的柱子曲线 联合求解式4-9和4-11即得σcrx(λx); 联合求解式4-10和4-11即得σcry(λy)。 可将其画成无量纲曲线(柱子曲线)，如下； 纵坐标是临界应力与屈服强度的比值,横坐标是相对长细比(正则化长细比)。

23. N v y0 y l/2 N v0 v1 M=N·(y0+ y) y0 y l/2 x x y y N N 2、初弯曲的影响 假定：两端铰支压杆的初弯曲曲线为： 令: N作用下的挠度的增加值为y, 由力矩平衡得: 将式5-12代入上式, 得:

24. 另外,由前述推导可知，N作用下的挠度的增加值为y，也呈正弦曲线分布：另外,由前述推导可知，N作用下的挠度的增加值为y，也呈正弦曲线分布： 上式求二阶导数： 将式4-14和4-15代入式4-13，整理得：

25. v0=0 1.0 v0=1mm v0=3mm 0.5 0 v 求解上式，因 sin(πx/l) ≠0，所以: 杆长中点总挠度为： 根据上式，可得理想无限弹性体的压力—挠度曲线，具有以下特点：①v随N非线形增加,当N趋于NE时，v趋于无穷;②相同N作用下,v随v0的增大而增加;③初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力NE。

26. v0=0 1.0 v0=1mm B v0=3mm B’ A 0.5 A’ 0 v 最后在N未达到NE时失去承载能力，B或B’点为其极限承载力。 实际压杆并非无限弹性体，当N达到某值时，在N和N∙v的共同作用下，截面边缘开始屈服(A或A’点)，进入弹塑性阶段，其压力--挠度曲线如虚线所示。 对于仅考虑初弯曲的轴心压杆，截面边缘开始屈服的条件为：

27. 解式5-19，其有效根，即为以截面边缘屈服为准则的临界应力：解式5-19，其有效根，即为以截面边缘屈服为准则的临界应力： 上式称为柏利(Perry)公式。 如果取v0=l/1000（验收规范规定），则： 由于不同的截面及不同的对称轴，i/ρ不同，因此初弯曲对其临界力的影响也不相同。

28. y x x 对x轴 对y轴 1.0 y 欧拉临界曲线 0 λ 仅考虑初弯曲的柱子曲线 对于焊接工字型截面轴心压杆，当 时： 对x轴（强轴）i/ρ≈1.16； 对y轴（弱轴） i/ρ≈2.10。

29. x e0 N x e0 l/2 y N v N·(e0+ y) y l/2 x x 0 y 0 y N N e0 3、初偏心的影响 微弯状态下建立微分方程： 解微分方程，即得：

30. e0=0 1.0 B e0=1mm e0=3mm A B’ A’ 0 v 仅考虑初偏心轴心压杆的压力—挠度曲线 所以，压杆长度中点（x=l/2）最大挠度v： 其压力—挠度曲线如图： 曲线的特点与初弯曲压杆相同，只不过曲线过圆点，可以认为初偏心与初弯曲的影响类似，但其影响程度不同，初偏心的影响随杆长的增大而减小，初弯曲对中等长细比杆件影响较大。

31. （三）、杆端约束对压杆整体稳定的影响 实际压杆并非全部铰支，对于任意支承情况的压杆，其临界力为： 对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值，详见有关章节。

33. （四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算 1、实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法，一般有： （1）屈服准则：以理想压杆为模型，弹性段以欧拉临界力为基础，弹塑性段以切线模量为基础，用安全系数考虑初始缺陷的不利影响； （2）边缘屈服准则：以有初弯曲和初偏心的压杆为模型，以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限； （3）最大强度准则：以有初始缺陷的压杆为模型，考虑截面的塑性发展，以最终破坏的最大荷载为其极限承载力； （4）经验公式：以试验数据为依据。

34. 2、实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力σcr，是按最大强度准则，并通过数值分析确定的。 由于各种缺陷对不同截面、不同对称轴的影响不同，所以σcr-λ曲线（柱子曲线），呈相当宽的带状分布，为减小误差以及简化计算，规范在试验的基础上，给出了四条曲线（四类截面），并引入了稳定系数 。

36. 3、实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为，截面应力不大于临界应力，并考虑抗力分项系数γR后，即为： 公式使用说明： （1）截面分类：见教材表5-3，第121页；

37. y x x y b y t x x y y x x y （2）构件长细比的确定 ①、截面为双轴对称或极对称构件： 对于双轴对称十字形截面，为了防止扭转屈曲，尚应满足： ②、截面为单轴对称构件： 绕对称轴y轴屈曲时，一般为弯扭屈曲，其临界力低于弯曲屈曲，所以计算时，以换算长细比λyz代替λy，计算公式如下：

39. y b t （a） y ③、单角钢截面和双角钢组合T形截面可采取以下简 化计算公式： A、等边单角钢截面，图（a）

40. y b b （b） y B、等边双角钢截面，图（b）

41. y b2 b2 （C） b1 y C、长肢相并的不等边角钢截面， 图（C）

42. y （D） b1 b1 b2 y D、短肢相并的不等边角钢截面， 图（D）

43. 当计算等边角钢构件绕平行轴（u轴)稳定时，可按下式计算换算长细比，并按b类截面确定 值： u u b ④、单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时，应按弯扭屈曲计算其稳定性。

44. 3、格构式截面中的槽形截面分肢，计算其绕对称轴（y轴）的稳定性时，不考虑扭转效应，直接用λy查稳定系数 。 y 实轴 x x 虚轴 y （3）其他注意事项： 1、无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件； 2、单面连接的单角钢轴心受压构件，考虑强度折减系数后，可不考虑弯扭效应的影响；

45. x0 y0 x x x0 y0 单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数： • 1、按轴心受力计算强度和连接乘以系数 0.85； • 2、按轴心受压计算稳定性： 等边角钢乘以系数0.6+0.0015λ，且不大于1.0； 短边相连的不等边角钢乘以系数 0.5+0.0025λ，且不大于1.0； 长边相连的不等边角钢乘以系数 0.70； • 3、对中间无联系的单角钢压杆， 按最小回转半径计算λ，当 λ< 20时，取λ=20。