Streszczenie

1. Andrzej Gecow Instytut Paleobiologii PAN gecow@twarda.pan.pl Streszczenie Dlaczego 2 równoprawdopodobne warianty sygnału bywają złym wyborem Założenie o dwóch i to równoprawdopodobnych wariantach sygnału (s=2) jest wygodne i bardzo często stosowane np.: w sieciach Boolowskich, modelach Isinga lub szkieł spinowych, do opisu szerokiej gamy rzeczywistych systemów. Jednocześnie w sieciach Boolowskich często używa się dwóch wejść do wierzchołka (K=2), co razem daje wyjątkową stabilność nie spotykaną w pozostałych sytuacjach. W tym aspekcie omówię podstawowe wyniki ‘szkoły Kauffmana’ dotyczące rozprzestrzeniania się zaburzenia (damage spreading) w sieciach Boolowskich. Ponadto przedstawię moje argumenty (także symulacyjne) za stosowaniem s>2 i uproszczony algorytm do takich statystycznych badań. Rozważane będą sieci autonomiczne obliczane synchronicznie, różnych typów, w tym także scale-free. Seminarium DUZ Instytut Fizyki Politechniki Warszawskiej 22.10.2007

2. Dlaczego dwa równoprawdopodobne warianty sygnału bywają złym wyborem Andrzej Gecow Instytut Paleobiologii PAN gecow@twarda.pan.pl Seminarium DUZ Instytut Fizyki Politechniki Warszawskiej 22.10.2007

3. Sieć Boolowska = logiczna = Kauffmana Wierzchołek realizuje funkcję logiczną c:=f(a,b,...)K zmiennych. Jedna logiczna wartość c wyprowadzana jest w k różnych kierunkach. c - stan wierzchołka a, b,c = 0 lub 1 c c k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c a b opisana w JTB w 1969 k zmienne - jako stopień wierzchołka, Kauffman stosuje sieć ‘Random’ Erdos-Renyi Będziemy rozważać sieć autonomiczną, obliczaną synchronicznie. Dla sieci autonomicznych <k> = K Zakładamy jednakowe prawdopodobieństwo 0 i 1 czyli s=2.

4. K K dt+1= 1-((1-dt) +(1-(1-dt) )/s) Damage w sieci Boolowskiej Mamy 2 identyczne systemy. Jeden z nich zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan). d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N s=2 quenched model- normalny annealed model - Derrida & Pomeau 1986. Po każdym wyliczeniu nowego stanu pozostawiane są stany ale generowane nowe połączenia i funkcje. S. A. Kauffman,The Origins of Order: Self-Organization and Selection in Evolution. Oxford University Press, New York, 1993.

5. Sieci dla różnych K 30 K=N Dla N=200 atraktor ma 10 stanów...; Każda zniana daje stan losowy. ‘Chaotic behavior in these Boolean networks shows up in 2 major ways: The lengths of state cycles and sensitivity to initial conditions.’ K K>5P - internal homogenity in Boolean functions = <#1 lub #0 / 2 > K=2Phase transition from chaos to order. Percolation of frozen clusters. 5 do 15% zm.st.1.el. system zmienia atraktor, 70% zamrożone. Dla N=10000 atraktor ma 100 stanów a przestrzeń stanów 10 3000 Tabela 5.1 state cycle # state cycle HomeostaticReachability among cycles length attractors stability after perturbation K=N 0.5*2N/2 N/e low high K>5 0.5*2BN ~Nf(PK) low high K=1 (π/2*N)1/2 expotential in N low high K=2 N1/2 N1/2 high low 1-median # of states on state cycle 2-# of state cycle attractors in one net, 3-refers to tendency to return to same state cycle after change of 1 node state. 4-# of other state cycles to which net flows from each state cycle after all possible change of 1 node state. Tabela 5.2: dla K od 1 do 7 kolejno: 0.5, 0.6875, 0.6367, 0.5982, 0.5699, 0.5497, 0.5352

6. Modyfikacje Sieci Kauffmana Wierzchołek realizuje funkcję logiczną c:=f(a,b,...)K zmiennych. Jedna logiczna wartość c wyprowadzana jest w k różnych kierunków. a, b,c = 0 lub 1 Ja stosuję też: (c,d):=f(a,b)(od 1975r) ‘agregat automatów’ k = K = 2, 3, ... (const.) c c k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c a b c d (c,d):=f(a,b) a b =>sygnały: a,b,c = 0..(s-1)s=2,4,8,16, ... proponuję: ‘Kauffmana’ ale już nie Boolowska’ k jako stopień wierzchołka - różne typy sieci, nie tylko ‘Random’ Erdos-Renyi ale i scale-free, single-scale i inne. Nowość: Iguchi at al. JTB 247, pp 138-151, (2007) użyli zmiennegoK dla sieci scale-free

7. Ile średnio jest zmienionych sygnałów wyjściowych? współczynnikrozmnażania zmiany w = k (s-1)/s s - równoprawdopodobnych wariantów sygnału k - wyjść z wierzchołka Tylko dlak=2, s=2 (w=1) zmiana nie rośnie. Dlatego typowe sieci Boolowskie są skrajne i dają inne zjawiska (szczególny porządek) niż zwykle (chaos). zwykle inne niż stare sygnały wyjściowe wierzchołek przekształca: nowe sygnały wyj. := f(nowe sygnały wej.) jeżeli jeden sygnał wejściowy jest zmieniony

8. Damage spreading współczynnikrozmnażania zmiany w = k (s-1)/s Dla K=2: d := dw - d w/2 dla sieci Kauffmana d := dw - d dla agr.aut. k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. 2 2 2 (s-1) (s+1)s t d = w c c c a b Dla sieci autonomicznych <k> = K w = w = 1.5

9. k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. t d = w c c c a b s wpływa na dynamikę różnie dla różnych sieci < d > dla 600 000 inicjacji w = w = 1.5

10. s wpływa na dynamikę różnie dla różnych sieci k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c c c a b Dlaczego należy badać s>2 Tylko dlak=2, s=2 damage nie rośnie(w=1). Taka typowa sieć Boolowskajest skrajna, leży w obszarze przejścia fazowego chaos/porządek, może dawać nadmierną stabilność, dla wszystkich innychkisoczekujemy chaosu. 1. < d > dla 600 000 inicjacji Do badania obszaru chaotycznego stosuje sięK>2 ( lub podwyższoneP) ale zawsze tylko s=2. (internal homogenity) Pokazałem, że K>2 nie może zastąpić s>2 nawet gdy wsp.wjest ten sam, ponieważ daje to inne zachowanie różnych typów sieci: 2.

11. Dlaczego powinno być s > 2 ? Tylko dlak=2, s=2 damage nie rośnie(w=1). Ten przypadek jest wyjątkowy, może dawać porządek zamiast chaosu. 1. 2. K>2 nie może zastąpić s>2w badaniach zachowania sieci. 3.Teoria informacjiShannona: zip pliku jest zwykle mniejszy. (Komputer jako sieć Boolowska) 4. ‘Dobra’ alternatywajest zwykle znacznie mniej prawdopodobna. (w systemachpodlegających adaptacji) 3, 4 => Alternatywy zwykle nie są równoprawdopodobne. Ale my lubimy wygodne założenie o równym prawdopodobieństwie wariantów sygnału! => np. dla1/4 i 3/4 możemy użyć s=4,jeden jest ‘dobry’a reszta ‘zła’ => Bądźcie ostrożni modelując nie fizykęużywając s=2 i modeli Isingalubszkieł spinowychalbo sieci Boolowskich ...

12. Algorytm Mamy 2 identyczne systemy A i B. Jeden z nich np. B, zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan). d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N to wynik porównania A i B w kolejnych t po zaburzeniu Ja liczę tylko jeden system B i to tylko samą damage, ale statystycznie. Intuicja: W sieci bez sprzężeń zwrotnych można znaleźć taki stan sieci, że każdy wierzchołek ma stan (wyjście) odpowiadające jego wejściom. Podczas wzrostu sieć utrzymywana jest w zbliżonym stanie. Liczone są jedynie te wierzchołki, które mają zmieniony stan wejść, zakłada się, że brakujące (niezmienione) sygnały wejściowe są takie jak stare. To staranie jest zbędne, wystarczy, że: Wierzchołek do którego dotarła zmiana ma wynik losowy, który z określonym prawdopodobieństwem propaguje się dalej. Powtórne liczenie tych samych wierzchołków musi dać ten sam wynik statystyczny. Różnice: U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało jeszcze nie liczonych, normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie.

13. Wygasanie realne i ‘pseudo’ współczynnikrozmnażania zmiany w = k (s-1)/s Dla K=2: d := dw - d w/2 dla sieci Kauffmana d := dw - d dla agr.aut. k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. 2 2 2 (s-1) (s+1)s t d = w c c c a b Różnice: U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało ‘jeszcze nieliczonych’, normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie. Tu zakłada się 1 zmieniony sygn.wej. Średnia nie wygasa (wygasanie rzeczywiste) w = w = 1.5

14. Wygasanie ‘pseudo’ Różnice: U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało ‘jeszcze nieliczonych’, normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie. Tempo wzrostu damage w początkowym odcinku o małej statystyce w środowisku o silnie zróżnicowanym k (i przez to w) jest silnie zróżnicowane.

15. Rozkłady wygasania < d > dla 600 000 inicjacji

17. Rozkłady wygasania 67

18. Algorytm i przyczyny różnic w zachowaniu się sieci Mamy 2 identyczne systemy A i B. Jeden z nich np. B, zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan). d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N to wynik porównania A i B w kolejnych t po zaburzeniu Ja liczę tylko jeden system B i to tylko samą damage, ale statystycznie. < d > dla 600 000 inicjacji