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空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用. 考 向 预 测. 课内考点突破. 考 纲 解 读. 规 律 探 究. 填填知学情. 考点 1. 考点 2. 考点 3. 考点 4. 考 纲 解 读. 返回目录. 考 向 预 测. 从近两年的高考看，利用空间向量证明平行与垂直、求异面直线所成的角、线面角及二面角大小是高考的热点，题型主要是解答题，难度属中等偏高，主要考查向量的坐标运算、空间想象能力和运算能力 . 预计 2012 年仍将以考查用向量方法证平行与垂直，求三类角大小为主，重点考查数量积运算、空间想象能力和运算能力. 返回目录. 1. 用向量证明平行

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空间向量在立体几何中的应用

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  1. 空间向量在立体几何中的应用

  2. 考 向 预 测 课内考点突破 考 纲 解 读 规 律 探 究 填填知学情 考点1 考点2 考点3 考点4

  3. 考 纲 解 读 返回目录

  4. 考 向 预 测 从近两年的高考看，利用空间向量证明平行与垂直、求异面直线所成的角、线面角及二面角大小是高考的热点，题型主要是解答题，难度属中等偏高，主要考查向量的坐标运算、空间想象能力和运算能力.预计2012年仍将以考查用向量方法证平行与垂直，求三类角大小为主，重点考查数量积运算、空间想象能力和运算能力. 返回目录

  5. 1.用向量证明平行 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合 . (2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα . v1∥v2 存在两个实数x,y，使v=xv1+yv2 返回目录

  6. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u, 则l∥α或lα . (4)平面α和β的法向量分别为u1,u2，则α∥β或α与β重合 . 2.用向量证明垂直 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2 . (2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α . (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β . u·v=0 u1∥u2 v1⊥v2 v1·v2=0 v∥u u1⊥u2 u1·u2=0 返回目录

  7. 3.垂线定理及逆定理 设l是平面α的一条斜线，l在α内的射影为b,c是α内的一条直线，则l⊥c . 4.空间角公式 (1)异面直线成角公式:设a,b分别为异面直线l1,l2的方向向量,θ为异面直线所成的角,则cosθ= = . (2)线面角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α的法向量,θ为l与α成的角,则sinθ= = . b⊥c |cos<a,b>| |cos<a,n>| 返回目录

  8. (3)面面角公式:设n1,n2分别为平面α,β的法向量,二面角为θ,则θ= 或θ= (需要根据 具体情况判断相等或互补),其中cos<n1,n2>= . 5.空间的距离 (1)一个点到它在一个平面内 的距离，叫作点到这个平面的距离. (2)已知直线l平行于平面α，则l上任一点到α的距离都 ，叫作l到α的距离. <n1,n2> π-<n1,n2> 正射影 相等 返回目录

  9. 垂直 (3)和两个平行平面同时 的直线，叫作两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫作两个平面的 .两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的 叫作两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离. (4)若平面α的一个 为m，P是α外一点，A是 α内任一点，则点P到α的距离d= . 公垂线段 长度 法向量 返回目录

  10. 考点1 用向量证明平行、垂直问题 ［2010年高考安徽卷］如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF, ∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点. （1）求证：FH∥平面EDB; （2）求证：AC⊥平面EDB. 返回目录

  11. 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法做出证明.【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法做出证明. 【证明】∵四边形ABCD为正方形, ∴AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC. 又EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC. ∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点, ∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC. 以H为坐标原点，HB为x轴正方向，HF为z轴正方向，建立如图所示的坐标系. 返回目录

  12. 设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1). (1)设AC与BD的交点为G，连接EG,GH,则G(0,-1,0),∴GE=(0,0,1).又HF=(0,0,1), ∴HF∥GE. 又GE平面EDB,HF平面EDB, ∴FH∥平面EBD. (2)AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),AC·GE=0, ∴AC⊥GE. 又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB. 返回目录

  13. 利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直.利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直. 返回目录

  14. ［2009年高考浙江卷］如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.［2009年高考浙江卷］如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10. (1)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE; (2)证明:在△ABO内存在一点M, 使FM⊥平面BOE,并求点 M到OA,OB的距离. 返回目录

  15. 【解析】 (1)证明:如图,连结OP,以点O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3). 由题意,得G(0,4,0).因为OB=(8,0,0),OE=(0,-4,3), 所以平面BOE的法向量n=(0,3,4). 由FG=(-4,4,-3),得n·FG=0. 又直线FG不在平面BOE内, 所以FG∥平面BOE. 返回目录

  16. (2)设点M的坐标为(x0,y0,0),则 FM=(x0-4,y0,-3).因为FM⊥平面BOE,所以FM∥n, 因此x0=4,y0= ,即点M的坐标是（4, ,0）. 在平面直角坐标系xOy中,△AOB的内部区域可表示为不等式组 x>0 y<0 x-y<8. 经检验,点M的坐标满足上述不等式组. 所以，在△AOB内存在一点M,使FM⊥平面BOE. 由点M的坐标,得点M到OA,OB的距离分别为4, . 返回目录

  17. 考点2 用向量方法求线面角 ［2010年高考辽宁卷］如图，已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC= AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. (1)证明：CM⊥SN; (2)求SN与平面CMN所成角的大小. 【分析】根据条件建立空间直角坐标系， 利用向量坐标运算证明、求解. 返回目录

  18. 【解析】 (1)证明:设PA=1,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图所示, 则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M（1,0, ）, N（ ,0,0）,S（1, ,0）. 所以CM=（1,-1, ）,SN=（- ,- ,0）. 因为CM·SN=（- + +0）=0,所以CM⊥SN. (2)NC=（- ,1,0）, 设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量， 则 a·CM=0 a·NC=0, 返回目录

  19. 即 x-y+ z=0 - x+y=0， 令x=2,得a=(2,1,-2). 因为|cos<a,SN , 所以SN与平面CMN所成角为45°. 返回目录

  20. （1）本题考查异面直线垂直、线面角的求法、空间直角坐标系的建立等知识，重点考查了在空间直角坐标系中点的坐标的求法，同时考查空间想象能力和推理运算能力，难度适中.（1）本题考查异面直线垂直、线面角的求法、空间直角坐标系的建立等知识，重点考查了在空间直角坐标系中点的坐标的求法，同时考查空间想象能力和推理运算能力，难度适中. （2）利用向量法求线面角的方法 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 返回目录

  21. 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E,F分别为CD,PB的中点.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB; (2)设AB= BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值. 返回目录

  22. （1）证明：以D为原点，DC,DA,DP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.（1）证明：以D为原点，DC,DA,DP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. 设PD=1,AB=a，则C(a,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E（ ,0,0）,B(a,1,0),F（ , , ）. ∴EF=（0, , ）,AB=(a,0,0),PA=(0,1,-1). ∴EF·AB=0,EF·PA=0. ∴ EF⊥AB EF⊥PA EF⊥平面PAB. 返回目录

  23. (2)∵AB= BC,∴a= . 从而AC=( ,-1,0)，AE=（ ,-1,0）,EF=（0, , ）. 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则 n·AE=0 x-y=0 n·EF=0 y+ z=0. 令x= ,则y=1,z=-1, ∴平面AEF的一个法向量为n=(2,1,-1). 设AC与平面AEF所成角为α,则 sinα=|cos<AC,n>|= . ∴AC与平面AEF所成角为arcsin . 返回目录

  24. 考点3 用向量方法求二面角 ［2010年高考浙江卷］如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE=EB=AF= FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF. (1)求二面角A′—FD—C的余弦值； (2)点M,N分别在线段FD,BC上， 若沿直线MN将四边形 MNCD向上翻折，使C与A′ 重合，求线段FM的长. 返回目录

  25. 【分析】（1）建立空间直角坐标系后，求两个面的法向量所成的角.（2）用待定系数法求解.【分析】（1）建立空间直角坐标系后，求两个面的法向量所成的角.（2）用待定系数法求解. 【解析】（1）取线段EF的中点H，连接A′H. ∵A′E=A′F及H是EF的中点， ∴A′H⊥EF. 又∵平面A′EF⊥平面BEF, A′H平面A′EF,∴A′H⊥平面BEF. 如图,建立空间直角坐标系Axyz, 则A′(2,2,2 ),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0). 故FA′=(-2,2,2 ),FD=(6,0,0). 返回目录

  26. 设n=(x,y,z)为平面A′FD的一个法向量, ∴n·FA′=0,n·FD=0, ∴ -2x+2y+2 z=0 6x=0.取z= ,则n=(0,-2, ). 又平面BEF的一个法向量m=(0,0,1), 故cos<n,m>= . ∴二面角A′—FD—C的余弦值为 . (2)设FM=x，则M(4+x,0,0). ∵翻折后C与A′重合，∴CM=A′M， 故(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2 )2,得x= , 经检验，此时点N在直线BC上.∴FM= . 返回目录

  27. 利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法：利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法： 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于<n1,n2>（或π-<n1,n2>). 注意：利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角. 返回目录

  28. 如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD= ，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=60°. (1)证明：M是侧棱SC的中点； (2)求二面角S-AM-B的余弦值. 返回目录

  29. 【解析】如图,以D为原点，射线DA，DC，DS为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0）,S(0,0,2),C(0,2,0),B( ,2,0),A( ,0,0). (1)证明：设SM=λMC(λ>0）， 则M(0, ).MB=( ). 又AB=(0,2,0),<MB,AB>=60°, 故MB·AB=|MB|·|AB|·cos60°, 即 , 解得λ=1，即SM=MC. 所以M为侧棱SC的中点. 返回目录

  30. （2）由M(0,1,1),A( ,0,0), 得AM的中点G( , , ). 又GB=（ , ,- ）,MS=(0,-1,1), AM=(- ,1,1),GB·AM=0,MS·AM=0, 所以GB⊥AM,MS⊥AM. 因此<GB,MS>等于二面角S—AM—B的平面角. cos<GB,MS>= =- . 所以二面角S—AM—B的余弦值为- . 返回目录

  31. 考点4 用向量求距离 ［2010年高考江西卷］如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2 . （1）求点A到平面MBC的距离； （2）求平面ACM与平面BCD 所成二面角的正弦值. 【分析】建立坐标系后， 代入点到平面的距离公式， 可求点A到平面MBC的距离. 返回目录

  32. 【解析】取CD中点O，连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面MCD⊥平面BCD,所以MO⊥平面BCD. 取O为原点，直线OC,BO,OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM= ,则各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0, ),B(0,- ,0),A(0,- ,2 ). (1)设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量，则 BC=(1, ,0),BM=(0, , ). 由n⊥BC得x+ y=0; 由n⊥BM得 y+ z=0. 取n=( ,-1,1),BA=(0,0,2 )，则 返回目录

  33. (2)CM=(-1,0, ),CA=(-1,- ,2 ). 设平面ACM的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1⊥CM,n1⊥CA得 -x1+ z1=0 -x1- y1+2 z1=0, 解得x1= z1,y1=z1,取n1=( ,1,1). 又平面BCD的法向量为n2=(0,0,1), 所以cos<n1,n2>= . 设所求二面角为θ，则sinθ= . 故所求二面角的正弦值为 . 返回目录

  34. 点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面间的距离、异面直线间的距离等都是高考考查的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点.本题考查了点到平面的距离和垂直、夹角问题，这是命题的方向，要给予高度重视.点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面间的距离、异面直线间的距离等都是高考考查的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点.本题考查了点到平面的距离和垂直、夹角问题，这是命题的方向，要给予高度重视. 返回目录

  35. 如图示，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.如图示，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC. （1）求证：PC⊥AB； （2）求二面角B-AP-C的余弦值. （3）求点C到平面APB的距离. 返回目录

  36. （1）证明:∵AC=BC,AP=BP, ∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC. ∵AC∩BC=C， ∴PC⊥平面ABC. ∵AB平面ABC,∴PC⊥AB. 返回目录

  37. （2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C—xyz.（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C—xyz. 则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）. 设P（0，0，t）， ∵|PB|=|AB|=2 ，∴t=2，P（0，0，2） 取AP中点E，连接BE，CE. ∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|， ∴CE⊥AP，BE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B—AP—C的平面角. ∵E（0，1，1），EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1), ∴cos∠BEC= . ∴二面角B—AP—C的余弦值为 . 返回目录

  38. （3）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长即为点C到平面APB的距离.（3）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长即为点C到平面APB的距离. 如（2）中建立的空间直角坐标系C-xyz. ∵BH=2HE，∴点H的坐标为（ , , ）. ∴|CH|= . ∴点C到平面APB的距离为 . 返回目录

  39. 1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；（3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题. 2.角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角. 返回目录

  40. 3.用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、易掌握.其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便. 4. 找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线，或找（作）垂面，将其转化为平面角，或用向量求解，或解直角三角形. 返回目录

  41. 祝同学们学习上天天有进步！

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