Решение систем логических уравнений

Решение систем логических уравнений В15 (ЕГЭ-2012, 2013) В10 (ЕГЭ-2011)

Продолжите ряд: 2 1 1 2 4 2 4 6 3 7 10 12 5 Последовательность Фибоначчи Последовательность Фибоначчи *2 Последовательность Фибоначчи +1 20 16 8 26 33 13 42 54 21 68 88 34 110 143 55 178 232 89

Для решения логических уравнений нужно знать: A →Bимпликация( ложна, если А=1, В=0) A →B = ¬ A  B A B, эквиваленция (истинна, если А=1 и В=1 или А=0 и В=0) A B = ¬ A ¬ B  A B А  B, исключающее или (разделительная дизъюнкция, истинна А=1, В=0 и наоборот) А  B=¬ A  B  A ¬B А  B=¬ (A B) A →B = ¬B→¬A

Решить логическое уравнение: ¬X1+X2 = 1 1 0 2 3 3 1 1 0 Решения уравнения – пары чисел (1,1), (0,1), (0,0)

x+y=6 x-y=10 • Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые обращают КАЖДОЕ уравнение системы в верное равенство. 2x=16 x=8 Ответ: (8, -2) y=-2

Решить систему логических уравнений: ¬X1+X2 = 1 ¬X2+X3 = 1 2 1 0 3 1 1 0 4 4 1 1 1 0 Решения уравнения – тройки чисел (1,1,1), (0,1,1), (0,0,1), (0,0,0)

Сколько различных решений имеет система уравнений ¬X1X2 = 1 ¬X2X3 = 1 ... ¬X9X10 = 1 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

¬X1 +X2 = 1 ¬X2+X3 = 1 ... ¬X9+X10 = 1 Решениями будут являться двоичные цепочки длиной 10 символов (по количеству переменных), например, возможным решением может быть (0,0,0,1,1,1,1,1,1,1). Максимальное количество двоичных комбинаций 210=1024. Задача состоит в том, чтобы найти только те из 1024 цепочек (их количество!), которые обращают все равенства в верные.

¬X1+X2 = 1 ¬X2+X3 = 1 ¬X3+X4 = 1 ... ¬X9+X10 = 1 1 0 2 1 1 0 3 4 1 1 1 0 5 1 1 1 1 0 6 Кроме пар (1,0) 7 8 9 10 11

Сколько различных решений имеет система уравнений Ответ: m+1

Решения – двоичные цепочки: 1111111111 0111111111 0011111111 0001111111 0000111111 0000011111 0000001111 0000000111 0000000011 0000000001 0000000000 ¬X1 +X2 = 1 ¬X2+X3 = 1 ... ¬X9+X10 = 1 Перечислять не нужно! Ответ: 11

Сколько решений имеют системы логических уравнений: ¬X1ΛX2 = 0 ¬X2ΛX3 = 0 ... ¬X9ΛX10 = 0 ¬X1→X2 = 1 ¬X2→X3 = 1 ... ¬X9→X10 = 1 144 решения

Уравнения сводятся к следующим: X1+¬X2 = 1 X2+¬X3 = 1 ... X9+¬X10 = 1 X1+X2 = 1 X2+X3 = 1 ... X9+X10 = 1 11 решений 144 решения

Х1+Х2=1 Х2+Х3=1 … Х9+Х10=1 1 0 2 + 1 0 1 3 + 0 5 1 1 1 0 + 8 1 0 1 0 1 0 1 1 + 13 21 34 55 89 Ответ: 144 144

(Х1Х2)+(Х2Х3)=1 (Х2Х3)+(Х3Х4)=1 … (Х8Х9)+(Х9Х10)=1 Найдите количество решений: Эквиваленция – операция симметричная. Поэтому можно построить неполное дерево (например для Х1=0). Для Х1=1 будет столько же решений. Рассмотрим полное и неполное дерево и сравним результаты.

(Х1Х2)+(Х2Х3)=1 (Х2Х3)+(Х3Х4)=1 … (Х8Х9)+(Х9Х10)=1 1 0 2 + 1 0 1 0 4 + 1 0 6 1 0 0 1 + 10 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 + 16 26 42 68 110 Ответ: 178 178

(Х1Х2)+(Х2Х3)=1 (Х2Х3)+(Х3Х4)=1 … (Х8Х9)+(Х9Х10)=1 0 1 + 1 0 2 + 1 0 3 1 + 5 1 0 1 1 0 + 8 13 21 34 Аналогично для Х1=1 Симметричная операция 55 89 * 2 = 178 Ответ: 178 89

Сколько различных решений имеет система уравнений ¬(x1 ≡ x2) Λ ¬(x2 ≡ x3) =1 ¬(x2 ≡ x3) Λ ¬(x3 ≡ x4) =1 ... ¬(x7 ≡ x8) Λ ¬(x8 ≡ x9) =1 где x1, x2, ..., x9 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, ..., x9, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов. Решите самостоятельно:

Решение Ответ: 2 решения В каждом уравнении истинна только одна из переменных, таким образом получаем, что решениями системы являются наборы: (1,0,1,0,1,0,1,0,1) и (0,1,0,1,0,1,0,1,0) (x1  x2) Λ (x2  x3) =1 (x2  x3) Λ (x3 x4) =1 ... (x7  x8) Λ (x8  x9) =1 (x1  x2) =1 (x2  x3) =1 ... (x8  x9) =1

¬X1 X2 X3 = 1 ¬X2 X3 X4 = 1 … ¬X8 X9 X10 = 1 Найти количество решений: ¬X1+ X2+ X3 = 1 ¬X2+ X3+ X4 = 1 … ¬X8+ X9+ X10 = 1 Кроме троек (1,0,0)

¬X1+ X2+ X3 = 1 ¬X2+ X3+ X4 = 1 … ¬X8+ X9+ X10 = 1 1 0 2 1 0 1 0 4 7 0 1 0 1 1 0 1 12 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 Кроме троек (1,0,0) 20 33 54 88 143 Ответ: 232 232

(X1→X2) + (X1 →X3)= 1 (X2 →X3) + (X2 →X4) = 1 ... (X8→X9) + (X8 →X10) = 1 Найти количество решений: Импликация – операция несимметричная. Поэтому нужно строить полное дерево (для Х1=0 и Х1=1).

(X1→X2) + (X1 →X3)= 1 (X2 →X3) + (X2 →X4) = 1 ... (X8→X9) + (X8 →X10) = 1 1 0 2 1 0 1 0 4 7 0 1 0 1 1 0 1 12 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 20 33 54 См. предыдущую задачу 88 ? 143 Ответ: 232 232

Системы уравнений с ограничением

Системы уравнений с ограничением (Х1  Х2)+(Х2Х3)=1 (Х2  Х3)+(Х3Х4)=1 (Х3  Х4)+(Х4Х5)=1 (Х4  Х5)+(Х5Х6)=1 … (Х8  Х9)+(Х9Х10)=1 X4 X5=1

(Х1  Х2)+(Х2Х3)=1 (Х2  Х3)+(Х3Х4)=1 (Х3  Х4)+(Х4Х5)=1 (Х4  Х5)+(Х5Х6)=1 … (Х8  Х9)+(Х9Х10)=1 X4 X5=1 1 0 2 1 0 1 0 4 0 0 6 1 1 0 1 8 1 0 1 0 1 0 1 0 0 Кроме троек (1,1,0) (0,0,1) 1 0 1 1 1 0 8 0 0 8 1 0 1 0 1 0 1 0 8 8 8 8 Ответ: 8

¬(А В)= АВ ¬(X1 X2) + X1·X3 +¬X1·¬X3 = 1 ¬(X2 X3) +X2 ·X4 + ¬X2 ·¬X4 = 1 ... ¬(X8 X9) + X8 ·X10 + ¬X8 ·¬X10 = 1 X4 X5 = 0 (X1X2) +(X1 X3)= 1 (X2 X3) +(X2 X4) = 1 ... (X8 X9) +(X8 X10) = 1 X4 X5 = 1

Системы уравнений с разделенными переменными

Решите уравнение: (x1  x2)(x2  x3) = 1 1 0 2 1 1 0 3 1 1 0 4 1

Решите уравнение: (x1  x2)(x2  x3)(x3  x4)(x4  x5) = 1 1 0 2 1 1 0 3 1 1 0 4 1 1 1 1 1 0 5 1 1 1 1 1 0 6

Найти количество решений: (x1  x2)(x2  x3)(x3  x4)(x4  x5) = 1 (у1  у2)(у2  у3)(у3  у4)(у4  у5) = 1 1 0 2 1 1 0 3 1 1 0 4 1 Для 2-го уравнения решение аналогичное 1 1 1 1 0 5 1 1 1 1 1 0 6

(x1  x2)(x2  x3)(x3  x4)(x4  x5) = 1 (у1  у2)(у2  у3)(у3  у4)(у4  у5) = 1 Для каждого уравнения – по 6 решений. К каждому решению 1-го уравнения можно приписать одно из 6 решений 2-го уравнения: Ответ: 36

Найти количество решений: (x1  x2)(x2  x3)(x3  x4) = 1 (¬у1  у2)(¬у2 у3)(¬у3 у4) = 1 (у1 x1)(у2 x2)(у3  x3)(у4  x4) = 1 Представим третье уравнение в виде системы: 𝑦1→𝑥1 =1 𝑦2→𝑥2 =1 𝑦3→𝑥3 =1 𝑦4→𝑥4 =1

Матрица решений

Ответ: 15 решений

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, … x9, x10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям ((x1 ≡ x2) \/ (x3 ≡ x4)) /\ (¬(x1 ≡ x2) \/ ¬(x3 ≡ x4)) =1 ((x3 ≡ x4) \/ (x5 ≡ x6)) /\ (¬(x3 ≡ x4) \/ ¬(x5 ≡ x6)) =1 ((x5 ≡ x6) \/ (x7 ≡ x8)) /\ (¬(x5 ≡ x7) \/ ¬(x7 ≡ x8)) =1 ((x7 ≡ x8) \/ (x9 ≡ x10)) /\ (¬(x7 ≡ x8) \/ ¬(x9 ≡ x10)) =1 Общая формула замены (k=1, 2, 3, 4, 5): tk = (x2k-1 ≡ x2k) Получим: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) =1 (t2 \/ t3) /\ (¬t2 \/ ¬ t3) =1 (t3 \/ t4) /\ (¬t3 \/ ¬ t4) =1 (t4 \/ t5) /\ (¬t4 \/ ¬ t5) =1 t1 = x1 ≡ x2 t2 = x3 ≡ x4 t3 = x5 ≡ x6 t4 = x7 ≡ x8 t5 = x9 ≡ x10

(tk \/ tk+1) /\ (¬tk \/ ¬ tk+1 ) =1 В любом решении последней системы значения переменных чередуются. Поэтому такая система имеет ровно два решения: 01010 и 10101 (первая цифра – значение переменной t1, вторая — значение t2 ¬(t1 ≡ t2 ) =1 ¬(t2 ≡ t3 ) =1 ¬(t3 ≡ t4 ) =1 ¬(t4 ≡ t5 ) =1 Подсчет числа решений Каждому из двух решений системы для переменных t соответствует 25 = 32 решения исходной системы. Поэтому исходная система имеет 2∙32 = 64 решения. Ответ:64

Список источников Матвеенко Л.В.,презентация, г. Брянск , 2012 Поляков К.Ю. Логические уравнения // Информатика, № 14, 2011, с. 30-35. http://kpolyakov.narod.ru/download/B15.doc Демидова М.В. Решение заданий типа В10 КИМов ЕГЭ по информатике 2011 года посредством построения дерева. http://www.it-n.ru/attachment.aspx?id=123369 http://ege.yandex.ru/informatics http://ege-go.ru/zadania/grb/b15/ Демовариант ЕГЭ по информатике 2012 // ФИПИ, 2011.

Решение систем логических уравнений

Решение систем логических уравнений

Presentation Transcript