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一、 变式教学的涵义。 • 变式是指相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质不变的情况下，使事物的非本质的属性不断的迁移的变化方式。变式有多种形式，如“形式变式”“内容变式”“方法变式”等。变式是模仿与创新的中介，是创新的重要途径，变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径，通过变式方式进行技能和思维的训练叫做变式训练。采用变式方式进行教学叫做变式教学。变式教学要求在课堂上通过变式展示知识的发生、发展、形成完整的认知过程。因此变式教学有利于培养学生研究探索问题的能力，是“三基”教学、思维训练和能力培养的重要途径。
所谓数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。在解题教学的思维训练中，变式是一种很有效的方法。通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析，通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力；让现实生活中的问题再次成为数学知识的载体，利用方程思想，数形结合思想来研究数量之间的关系，从而提高学生解决实际问题的能力，并获得成功体验；再次感受与人合作，并与他人交流思维的过程；通过观察、操作、推理、想象等探索过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。
变式教学是数学教学过程中提高质量的重要手段之一. 目前在数学教学中仍然存在“题海战术”的现象，如何减轻学生过重的课业负担已经成为我们数学教师的当务之及. 如果教师能在教学过程中了解教育信息，更新教育观念，改革教学方法，积极优化备课，采用变式教学，引导学生对问题进行灵活变换，可使学生触类旁通，提高学生分析问题、归纳问题和解决问题的能力，进而减轻学生负担，大面积地提高数学教学质量.
事实上，中考试题的编制很多是课本例题习题的延伸和拓展，与一些基本图形及其相关结论存在着一定的关系，课本中的例题、习题都是经过专家精心挑选保留下来的，具有较强的示范性、知识性和可变性，通过对其挖掘，再纵向拓展，横向联系，就会构造出一些“源于课本，而又高于课本”的好题，深刻领会这些基本图形可以提升解决问题的思维起点。就是说有许多题目可以从同一问题演变而来，其思维方式和所运用的知识完全相同，不仅能疏通知识之间的联系，而且对培养学生的品质，拓宽学生的解题思路，提高整体解题水平具有十分重要的作用。在数学的例题教学中，作为教师要结合教材内容和学生实际情况，通过一题多思，一题多变，一题多解，开拓题型、题设和结论，挖掘习题的内在联系，探索变式教学.。
二．变式教学的基本内容 • 变式教学的基本内容包括知识形成过程中的问题设计，基本概念辨析型变式，定理公式的深化变式，多证变式和变式应用，例题习题的一题多解，一法多用、一题多变、多题归一，教法学法的切换等。
(一)． 变式教学法对新概念教学的促进作用. • 概念，在数学课中的比例较大，初中数学教学又往往是从新概念入手。能否正确理解概念，是学生学好数学的关键。概念教学有其特殊性，它不仅要求学生要识记其内容，明确与它相关知识的内在联系，还要能灵活运用它来解决相关的实际问题。概念往往比较的抽象，从初中生心理发展程度来看：他们对这些枯燥的东西，学习起来往往是索然无味，对抽象的概念的理解很困难。有些学生虽然能背熟定义、公式，但对概念的理解却十分肤浅，这些学生利用所学知识解题时，常常发生错误。为了能使学生牢固地掌握概念的本质属性，确定概念的内涵和外延，在讲清每个概念的来龙去脉后，教师还应该适当地采用变式训练。这样能有效的解决这一难题，使学生度过难关。通过变式或前后知识对比，或联系实际情况或创设思维障碍情境，来散发学生学习兴趣，变枯燥的东西为乐趣。对于初中低年级学生，开始实行变式教学时应注意“变”的程度不宜过大。概括本质特征也应注意从易到难、从简到繁。例如，讲授科学记数法，可通过难易程度不同的例子让他们自己来概括其中的本质特征。
例如讲授科学记数法，可通过难易程度不同的例子让他们自己来概括其中的本质特征。（1） 800=8× 8000=8× ， • 80000=8× ， 8000000=8× ， • 800000000=8× ； • （2）35670=3.567× , 356700=3.567× , • 3567000=3.567× 3567=3.567× • 356.7=3.567× 。 • 学生有了一定基础后，可以增加有关a，n为负数的形式。
学生从（1）中容易发现规律，而从（2）中也容易发现类似（1）中的规律。引导学生分析比较两者的异同点，从中找出相同之处，这就是问题的“本质特征”。再引导学生自己用简洁的言语概括出来：（1）科学记数法的形式为：a×10n（1≤a<10，n为正整数）。学生从（1）中容易发现规律，而从（2）中也容易发现类似（1）中的规律。引导学生分析比较两者的异同点，从中找出相同之处，这就是问题的“本质特征”。再引导学生自己用简洁的言语概括出来：（1）科学记数法的形式为：a×10n（1≤a<10，n为正整数）。 • (2）用科学计数法表示一个数A的方法是通过改变小数点位置将A变成a，使a成为一个只有一位整数数位的数，同时去掉最后的0，再取n等于A中整数位数减去1，最后得（1）中式子即可。 • 本质特征必须引导学生自己来归纳总结，这样他们对有关数学问题的理解程度就必然会加深，在实际运用时也就不易出现概念性的错误。
变式教学方式不仅可让学生在概括本质特征方面得到锻炼，在巩固已学过的数学知识方面也可让学生受益。变式教学方式不仅可让学生在概括本质特征方面得到锻炼，在巩固已学过的数学知识方面也可让学生受益。 • 如，在讲授近似数与有效数字的概念后，让学生练习类似“说出下列各近似数的精确度和有效数字个数 • 230，23.0，2.30，203 ， • 0.3 ，2.03，0.23，0.023，0.0203 • 3.567× 8× • 8万 8.15万 • 的题目，依照概念要求去寻找规律，以达到加深概念理解的目的
又如在学习“正数”与“负数”前，教师先提出：某地气候，白天最高气温为10℃，夜晚最高气温为零下10℃，问昼夜最高温度一样吗？学完这节课后你就能回答这个问题了！这样激发了学生的好奇心和求知欲，便能产生“乐学”的氛围，这样对新概念撑握则通过变式使之内化并上升为能力。又如在学习“正数”与“负数”前，教师先提出：某地气候，白天最高气温为10℃，夜晚最高气温为零下10℃，问昼夜最高温度一样吗？学完这节课后你就能回答这个问题了！这样激发了学生的好奇心和求知欲，便能产生“乐学”的氛围，这样对新概念撑握则通过变式使之内化并上升为能力。 • 再例如，学习了“梯形”和“等腰梯形”的定义后，提出： 1、有一组对边平行的四边形是梯形吗？ 2、一组对边平行加一组对边相等的四边形是等腰梯形吗？ • 通过反例变式进行反面刺激，使学生更明确的理解和掌握“梯形”、“等腰梯形”、“平行四边形”等概念。
再例如在学习了“绝对值”的概念后，为了让学生进一步理解绝对值的概念，首先应让学生理解绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是在数轴上表示数a的点与原点的距离；其次，应让学生理解绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。第三，绝对值的数学符号表达式|a|=a(a>O)；|a|=-a(a＜0) |a|=0(a=0) 。下列变式例题可以考察绝对值的概念。例题：判断下列语句是否正确? • ①没有绝对值是一3的数； • ②绝对值是它本身的数是0； • ③任何有理数的绝对值都是正数； • ④0是绝对值最小的数； • ⑤如果两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也不相等； • ⑥任何有理数的绝对值都大于它本身；
（二）．例题习题的变式教学。 • 例题、习题教学是数学教学的重要组成部分，在目前的例题、习题教学中，由于教学任务紧，教学内容多，教师往往把例题草率处理，这样做使得学生偏重记忆一些方法和发展一些具体技能，而不是高层次的数学思考。 • 《数学新课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。因此，在例题、习题教学中，当学生获得某种基本解法后，教师应引导学生发掘例、习题的潜在因素，通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种途径，强化学生对知识和方法的理解，帮助他们对问题进行多角度、多层次的思考。
在日常教学中对部分习题通过“变变图形、变变数据、变变文字”等手段，不仅对一些综合题铺设了适当的台阶，降低了它们的难度，也使学生掌握了学习知识的方法，而且训练了学生的思维能力，培养了创新精神。 • 一、变变文字，丰富思维 • 用方程思想解决文字题、应用题一直是低年级学生感到特别困惑的问题，初中教师在教学中经常为有些低年级学生“熟练而顽固”地运用算式求解感到哭笑不得。变式训练在教学中的运用使这类问题（特别是应用题）的求解既充满乐趣又富有挑战，极大地调动了学生对数学知识、方法学习的迫求心情。
例1：小杰和小丽在400米的环形跑道上比赛，小杰的速度是每分钟360米，小丽的速度是每分钟320米，如果两人同时同地反向出发，问几分钟后两人再次相遇？ 这是一个非常常见的“相遇问题”，大部分的学生在思考之后就能轻易地找到解决方法。在课堂教学中，教师通过“变变文字”的方法，再次使问题富有争议、值得学生探讨： 变式1：小杰和小丽在400米的环形跑道上比赛，小杰的速度是每分钟360米，小丽的速度是每分钟320米，如果两人同时同地同向出发，问几分钟后两人再次相遇？ 变式2：小杰和小丽在400米的环形跑道上比赛，小杰的速度是每分钟360米，小丽的速度是每分钟320米，如果两人同时同地同向出发，问几分钟后两人第二次相距100米？ 本组例题的训练使学生对行程问题中的数量关系更清晰，思维训练更丰富，基本达到了使低年级学生理解用方程思想处理应用问题的要求。
下面是初一上册P119页的引例，是研究一项公益事业“希望工程”义演中所包含的数学． • 例2、某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1 000张票，筹得票款6 950元，已知成人票每张8元，学生票每张5元． • 想一想：在以上提供的信息中，有哪些已知量？哪些未知量？这些已知量与未知量之间包含哪些等量关系？
已知量：成人票单价，学生票单价，售出的总票数，筹得的总票款． • 未知量：成本票数，学生票数，成人票款，学生票款． • 已知量与未知量之间的等量关系： • 成人票数+学生票数=1 000张，成人票款+学生票款=6 950元 • （8元×成人票数=成人票款，5元×学生票数=学生票款） • 解决问题的方法： • 能求出这个问题中的四个未知量吗？选用其中的一个未知量设为X，试一试． • 解：（１）设售出的学生票为X张，则成人票为（1 000-X）张，学生票款5X元，成人票款8（1 000-X）元． • 根据等量关系得方程：5X+8（1 000-X）=6 950 • 解得：X=350 • （2）设所得学生票款为Y元，则得：学生票数 张，成人票数 张，学生票款Y元，成人票款（6 950-Y）元 • 根据等量关系得 + =1 000 • 解得Y=1 750 ，同样可获得（1）的结果．
变式题1 • 将开始的实际问题中的“共售1 000张票”改为“成人票比学生票多300张”，成人票与学生票各售出多少张？ • 变式题2 • 课本P120想一想：如果票价不变，那么售出1000张票所的票款可能是6930元吗？为什么？ • 变式题3 • 在开始的“希望工程”义演的问题中，如果票价和售出的总票数都不变，所得票款可能是6 932元呢？如果可能，成人票比学生票多售出多少张？ • 对于上面这类问题，无论是改变已知条件，还是改变问题的结论，我们只须抓住它的基本的数量关系都可以用一元一次方程给予解决，但在解决实际问题时一定要注意所求的解必须要符合实际意义．“希望工程”义演问题的解决方法我们可以运用到许多地方上去．
例如： A、B两地相距60km，甲骑自行车从A地出发去B地，每小时走15km，乙骑车从B地出发去A地，每小时走30km，相向而行，多少小时后两车相遇。 • 由于两车行走情形有同时出发和不同时出发，有相向而行、背向而行和同向而行，行程问题有时也可以作工程问题，根据这些不同的情形，当两车的速度和A、B两地的距离不变时，我们可变换出如下各题。
1、甲先骑车20分钟，相向而行，乙骑出几小时两车相遇？ • 2、甲、乙同时出发背向而行，几小时后两车相距120km。 • 3、甲、乙两人同时出发，同向而行，乙在甲的后面，多少小时甲追上乙？ • 4、甲先出发1小时，同向而行，乙在甲的后面，至C地而乙先到1小时，求AC两地的距离。 • 5、一批零件60只，甲工人每小时可做15只，乙工人每小时做30只，甲先单独做一小时后，两人合做几小时才能把零件做完？
通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。
初中低年级数学中的几何知识的学习是培养学生观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力的重要载体，学生对图形的认识能力也是由具体到抽象、由简单到复杂过渡的，教师如果能在教学中把有些习题的图形加以变化，借助变化来反映图形的空间形状及位置关系，让图形动起来，引导学生去思考探讨许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。，那么可以使学生真正掌握知识之间的内在联系。 多题一解，通过变式让学生概括基本规律，培养学生求同存异的思维能力
例一：如图1，AB∥CD，点P是直线AB和CD所在平面内一点，试讨论∠ABP、∠BPD、∠PDC之间的关系： （解略） 学生在教师的指导启发下，通过讨论，可以利用添加不同的辅助线达到题目考察的目的，为了使学生能更进一步对图形及相关知识做到灵活使用、触类旁通，变式训练（“变变图形”）将大显身手。如果将点P移动到如下三种不同位置（图2-图4），同样讨论∠ABP、∠BPD、∠PDC之间的关系。 在学生切实掌握了上述图形问题的讨论后，再作如下变式
变式：如图，AB∥CD，∠1＝115°，∠2＝140°，求∠3的度数变式：如图，AB∥CD，∠1＝115°，∠2＝140°，求∠3的度数 • 由DB∥FG∥EC，可得 • ∠BAC＝∠BAG＋∠CAG ＝∠DBA＋∠ACE ＝60°＋36°＝96°． • 由AP平分∠BAC得∠CAP＝∠BAC＝×96°＝48°． • 由FG∥EC得∠GAC＝ACE＝36°．∴ ∠PAG＝48°－36°＝12°．【答案】12．
再变式：判断 如图，AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠D＝∠E＋∠G…………………（ ） • 过点E、F、G分别画EP∥AB，PQ∥AB，GM∥AB． • 则AB∥EP∥FQ∥GM∥CD． • ∴ ∠B＝∠1，∠3＝∠2，∠4＝∠5，∠D＝∠6． • ∴ ∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6． • 即∠B＋∠EFG＋∠D＝∠BEF＋∠FG（D） 【答案】√
变式延伸： • 三个正方形连成如图所示的图形则x=------- • 此题有多种解法，其中有一种可以把图形看做上题的变式，结合正方形的性质，做对角线，过两正方形的公共顶点作平行线，可求x.
一题多解： • 已知：如图，AB∥CD，请你观察∠E、∠B、∠D之间有什么关系，并证明你所得的结论． • 让学生展示多种方法，开拓视野。 • 本组习题通过把图形中的某些点移动，培养学生运动哲学观点，把图形由静态变为动态，创设了在运动中探索规律的情景，对培养学生创新意识能起一定的作用。
例二 • 已知：如图△ABC的高AD=80mm，BC=120 mm，四边形PQMN是正方形，求正方形PQMN的边长（义教版几何第二册P243例5）， • 习题评价：这是一道好题，考察相似三角形的运用，培养学生综合运用数学知识解决问题的能力，教学时可以引导学生对问题作进一步的探究。
探究1：在引导学生分析解决此题目之前，我做了一个小小的铺垫： 探究1：在引导学生分析解决此题目之前，我做了一个小小的铺垫： • 如图2，在中△ABC，AD⊥BC，PN//BC，PN=4，BC=12，求 • 在探究1的基础上，我引导学生做如下改动：平移PN（保持PN//BC，且点P不与A，B重合），分别过P,N作PQ⊥BC于Q,NM⊥BC于M， BC＝120mm，高AD＝80mm，当四边形PQMN为正方形时，求PN的长。 即引出原题目。
此时，学生以四人活动小组为单位，合作交流，共同尝试解决问题。 此时，学生以四人活动小组为单位，合作交流，共同尝试解决问题。 • 学生讨论发现：探究一的解答方法在此仍成立。要解决这道题，关键是要想办法找到AE与PN的关系。学生马上由题意得出“PN=PQ=ED”，从而得到“AE=AD－ED=AD－PN”，问题解决。 • 为了让学生更好的运用掌握好相似三角形的性质，在此题基础上引导学生反思，通过一些变式训练，从而把培养学生分析问题和解决问题的能力落到实处。
从特殊到一般，对学生进行初步变式训练 • 在此阶段，通过“特殊的正方形变为一般的矩形”这个变式训练，进一步培养学生合作交流，勇于探索的精神。 • 变式一： • 如图3，△ABC是一块铁皮，边BC=12 cm，高AD=8 cm，要用它裁出一个矩形铁皮，能否使矩形的周长为20 cm，（或在△ABC内并排两个相等的正方形）若能，求出怎样裁；若不能，说明理由。
分析：此题是将原有的正方形换成长方形，关键仍是找出AE与PQ间的数量关系，设PN=x cm，则PQ=（10—x）cm，即ED=PQ=（10—x）cm，AE=8—10+x=（x—2）cm，再由△APN∽△ABC，得出AE:AD=PN:BC，解出x的值。 • 变式一是通过“正方形换成长方形”这个条件的改变，让学生体会特殊到一般的过程，让题目更具有一般性。在此基础上，通过进一步变式训练，不仅可以提高训练效果，还可以让学生充分体验发现问题探索问题的乐趣，养成严谨求实的科学态度。
进一步变式训练，优化学生思维，培养学生分析问题和解决问题的能力 进一步变式训练，优化学生思维，培养学生分析问题和解决问题的能力 • 变式二： • △ABC是一块铁皮，∠BAC＝90°,AB=3cm，AC=4 cm，要把它加工成一个正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB和AC上（如图），求加工成的正方形铁片PQMN的边长。
教师在课堂教学中，要留给学生自主交流的时间和空间，让学生在自主交流中，相互合作、相互启发、相互借鉴、相互补充，共同提高。通过合作学习，学生的交往会更丰富，交流的面会更广，更有利于发现其他同学思维的闪光点。 教师在课堂教学中，要留给学生自主交流的时间和空间，让学生在自主交流中，相互合作、相互启发、相互借鉴、相互补充，共同提高。通过合作学习，学生的交往会更丰富，交流的面会更广，更有利于发现其他同学思维的闪光点。 • 接下来，教师再利用一个合作探究的变式，进一步培养和提高学生分析问题和解决实际问题的能力。
甲 乙 （图5） • 变式三： • 直角三角形的铁片△ABC的两条直角边BC、AB的长分别为3 cm和4cm，如图5，用甲、乙两种方法，剪出一块正方形铁皮，为使剪去正方形铁皮后剩下的边角料较多，试比较哪一种剪法较合理，并说明理由？
变式四: • 如图5，有一块三角形木板ABC，底BC=50cm，高AD=35 cm，现要以BC边为矩形的长制作一矩形材料。要使矩形的面积最大，那么矩形的长与宽各是多少 • 接下来，引导学生回顾这几道实际问题，思考它们之间的联系，并试着总结解决它们的通法。 • 学生讨论得出：这几个问题都是利用相似三角形对应边的比等于相似比，对应高的比也等于相似比这个性质来解决的。
通过对课本习题的演变，培养了学生在复杂图形中寻找基本图形的能力（本题的基本图形就是三角形中有一个内接矩形，当出现这种情况时，一般都要做出三角形一边上的高，然后利用相似三角形对应高的比等于相似比来解题），起到了触类旁通，举一反三的作用，在教学时，若能抓住一些典型例题、习题，典型图形围绕有关的知识和技能进行多方面的演变练习，不仅能使学生获得较系统的数学知识，而且可以培养学生灵活运用知识的能力和综合解决问题的能力。 通过对课本习题的演变，培养了学生在复杂图形中寻找基本图形的能力（本题的基本图形就是三角形中有一个内接矩形，当出现这种情况时，一般都要做出三角形一边上的高，然后利用相似三角形对应高的比等于相似比来解题），起到了触类旁通，举一反三的作用，在教学时，若能抓住一些典型例题、习题，典型图形围绕有关的知识和技能进行多方面的演变练习，不仅能使学生获得较系统的数学知识，而且可以培养学生灵活运用知识的能力和综合解决问题的能力。
例三 • 已知：如图3，C为线段AB上的一点。△ACM、△CBN是等边三角边。 • 求证：AN=BM（课本习题） • 在学习了全等三角形，大多数学生都能完成这道题的证明，但大多数学生完成了本题的证明后，就不再深入地思考还能得到怎样的结论。如果在原题的基础上进一步设问：“根据现有图形，你还可证哪些三角形是全等的？试写出证明过程。若连结F G 还能得出什么结论”这样，原命题就改变成为一道开放性问题，经过努力，多数学生还是能够证得△ACF≌△MCG，△VCF≌△BCG。等还可，在完成了这道开放性探索性问题后，学生既锻炼了思维，又有了探求事物成功的愉悦感觉。
变式一 • 如图，△DAC和△EBC均为等边三角形，AE,BD交于O点，且分别与CD,CE交于M,N.则系列结论：①AE=BD ② CM=CN ③AOB=120 ④CO平分AOB.期中正确的有（ ） • A 1 B 2 C 3 D 4
变式二（图形位置变化） • 如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，求证：AD=BE • 变式三（图形位置变化） • 如图（3），已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，则∠AFB等于（ 60 ）
变式四 • 已知：如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N， • 试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
【提示】连结AC和CD，首先利用中位线定理和平行四边形判定定理，证明四边形PQMN为平行四边形，然后证明△AEC≌△DEB，得到AC＝BD，再证明□PQMN为菱形．【提示】连结AC和CD，首先利用中位线定理和平行四边形判定定理，证明四边形PQMN为平行四边形，然后证明△AEC≌△DEB，得到AC＝BD，再证明□PQMN为菱形．
变式五：（三角形变正方形） • 如图，分别以ABC的边AB、AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE、BG，求证BG=CE • 变式六：（三角形变正方形） • 如图，有公共顶点的两个正方形ABCD、BEFG，连接AG、EC，求证AG=EC
变式七： • 如图，P是正方形ABCD内一点，ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP’重合，若PB=3，求PP’
变式八 如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB,AC为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，BE,CD相交于点O． ①如图1，求证：△ABE △ADC； ②探究：如图1，<BOC=------- ； 如图2，<BOC= ； 如图3，<BOC= ． （2）如图4，已知：AB,AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC,AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE,CD的延长相交于点O． ①猜想：如图4<BOC=， （用含n的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想．
上述例题从两个等边三角形组成的基本图形入手，逐步深入，先简单的变换位置，探讨结论，到把三角形变为正方形，到正多边形，由简到繁，由易到难，层层深入，但基本解题思路没变，让学生在不知不觉中开阔思维，提高解决问题的能力。
第14题图 • 中考几何试题的编制，很多是课本习题的延伸和拓展变式，与一些基本图形及相关结论存在着一定关系，深刻领会这些基本图形，可以提升解决问题的思维起点，有效简洁的解决问题，下面以两个堪称经典的基本图形为例来说明。 • 例五： • (初三课本总复习)如图，在等边三角形EFG的三个顶点分别在等边三角形ABC的三边上。 • 求证：AE=BF=CG, • 证明略。相关结论：三角形AEG.BFG.CGF都全等，三角形EFG与三角形ABC相似。 • 变式一。在等边三角形ABC的三边上，分别取点E、F、G,使AE=BF=CG,(条件结论交换) • 求证：三角形EFG是等边三角形
D C B A 第14题图 • 变式二。（08年临沂市）如图，已知正三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数的图象大致是（ C ） • 利用全等
A F E C B D （第11题） • 变式三 • 如图，在正三角形ABC中，D,E，F，分别是BC，AC，AB上的点,DE垂直AC，EF垂直AB，FD垂直BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ） • 利用相似
（第12题） • 变式四． • 已知：如图，边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF，则△AEF的内切圆半径为 • 评注：以上例题出现的都是基本图形，正确识别基本图形并应用相关结论使问题得到顺利解决。
