Введение в физические свойства твёрдых тел

1. Введение в физические свойства твёрдых тел Лекция 2. Механические свойства твёрдых тел

2. Структура раздела • Классификация механических свойств • Основные понятия • Закон Гука • Симметрийные характеристики механических свойств • Распространение упругих волн в кристаллах

3. Классификация механических свойств • Различные свойства более или менее непосредственно обусловлены структурой материала • С другой стороны, для их определения требуются технические процедуры различной сложности • Имеются инструкции, регламентирующие порядок измерения механических свойств (ГОСТы и др.) • Условно различают три группы механических свойств

4. Классификация механических свойств • Характеристики, определяемые при однократном кратковременном нагружении: модули упругости и сдвига, коэффициент Пуассона, пределы упругости, пропорциональности и текучести, предел прочности, сопротивления сдвигу и срезу, твёрдость вдавливанием и царапанием и др.

5. Классификация механических свойств • Характеристики, описывающие отклик на переменные и длительные статические нагрузки: малоцикловая и многоцикловая усталости, пределы ползучести и длительной прочности и др. • Характеристики разрушения: вязкость разрушения, скорость роста трещины усталости и др.

6. Основные понятия • Механические свойства твёрдых тел определяются их реакцией на механическое воздействие: сжатие, растяжение, изгиб, удар • Упругость – способность твёрдого тела обратимо восстанавливать свою форму и размеры после механического воздействия • Пластичность – способность твёрдого тела необратимо изменять свою форму и размеры после механического воздействия • Прочность – способность твёрдого тела сохранять сплошность после механического воздействия

7. Основные понятия • Только упругие свойства металлических материалов считаются структурно нечувствительными (не зависящими от режимов термомеханической обработки). Во многих случаях они изотропны • Остальные свойства в большей или меньшей мере структурно чувствительны и анизотропны • Между некоторыми свойствами и структурой т.т. можно установить теоретические и экспериментальные зависимости, что имеет отношение к задачам ХТТ

8. Основные понятия • Объёмные силы. Их величина пропорциональна объёму элемента. Например, сила тяжести • Силы, действующие на поверхность элемента твёрдого тела со стороны окружающих частей тела. Они пропорциональны площади поверхности элемента • Напряжением называется отношение поверхностной силы к площади элемента

9. L0 L1 DL a h Основные понятия • Деформация – изменение объёма или формы твёрдого тела под действием внешней силы без изменения его массы • Растяжение – сжатие • Сдвиг • Деформация кручения • Однородная - неоднородная

10. F Fn Fs dS Напряжение • Напряжение разделяют на: • Нормальное, когда сила приложена перпендикулярно поверхности • Тангенциальное, когда сила приложена вдоль поверхности

11. Напряжение • Нормальные компоненты напряжения: σ11, σ22, σ33 • Сдвиговые компоненты: σ12, σ21, σ13 и т.д. • Величины σik образуют симметричный тензор (при определённых условиях) второго ранга • Тензор напряжения – полевой. Он может иметь любую ориентацию в твёрдом теле

12. Напряжение • Симметричный тензор напряжений можно привести к главным осям. В такой ориентации сдвиговые напряжения исчезают • Т.к. напряжения могут иметь произвольный знак, х. поверхность может быть действительным или мнимым эллипсоидом, а так же гиперболоидом

13. Напряжение • Однородное линейно-напряжённое состояние (одноосное напряжение) возникает в длинном стержне вдоль оси которого действует сила приложенная к его торцу • Под действием чистого изгиба или продольной объёмной силы возникает неоднородное одноосное напряжение

14. Напряжение • Плоско-напряжённое состояние (двуосное напряжение) возникает в пластине, нагруженной силами и моментами сил, приложенными к её периметру

15. Напряжение • Гидростатическое давление • Напряжение чистого сдвига

16. Напряжение • Неоднородное напряжение чистого сдвига возникает в стержне, подвергнутом чистому кручению • Объёмно-напряжённое состояние (трёхосное напряжение) – наиболее общая система напряжений с тремя отличными от нуля компонентами

17. Напряжение • Если на твёрдое тело действуют неоднородные напряжения и объёмная сила f, пропорциональная массе, то можно написать следующее уравнение движения участков телаплотности ρ: • В условиях равновесия:

18. O x Δx O Δx+Δu x+u Деформация • Одномерная деформация

19. x2 Q’ du Δ’ Q Δ Δ dx2 u P’ P R R’ x1 dx1 Деформация • Нас интересует как при деформации изменяется малое смещение Δ • Учитывая, зависимость u(R), получим систему уравнений • Можно показать, что eikобразуют тензор

20. x2 Q’ Δ’ dx2 u P’ du Δ P Q Δ R R’ x1 dx1 Деформация • e11можно интерпретировать какрастяжение Δвдоль OX1, а e21 – сдвиг (поворот) Δвдоль OX2, т.к. мы предполагаем деформации u малыми по отношению к смещениям Δ

21. Деформация • Тензор eik описывает не только деформации, но и поворот • Чистая деформация описывается его симметричной частью, а чистый поворот – антисимметричной • Т.о. тензор двумерной деформации: εik=1/2(eik+eki) • Это полевой тензор второго ранга

22. Трёхмерная деформация

23. Деформация • При однородной трёхмерной деформации единичного куба с рёбрами вдоль главных осей, длины этих рёбер становятся равными (1+ε1), (1+ε2) и (1+ε3) • Надо учитывать, что направления главных осей при деформации могут меняться, но оси будут оставаться ортогональными • Объёмное расширение: Δ=(1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)-1≈ε1+ε2+ε3 • Т.о. оно равно следу тензора деформации и, следовательно, не зависит от выбора системы координат

24. Тепловое расширение • Если кристалл равномерно нагреть, то в нём происходит однородная деформация, называемая тепловым расширением • При малом изменении температуры: εik=αikΔT • Величины αik называют коэффициентами теплового расширения. Они образуют тензор (теплового расширения) • Коэффициент объёмного теплового расширения равен следу тензора: α1+α2+α3 и, следовательно, не зависит от выбора осей координат

25. Тепловое расширение • Для большинства кристаллов главные коэффициенты теплового расширения положительны и х. поверхность является эллипсоидом • У некоторых кристаллов (кальцит, берилл, йодид серебра) коэффициенты имеют разные знаки

26. Закон Гука • При малых деформациях напряжение линейно связано с деформацией εij=sijklσklили σij=cijklεkl (I, j, k, l=1,2,3) • sijkl – (упругие) податливости кристалла • cijkl – константы жёсткости кристалла • sijklи cijkl – трёхмерные тензоры четвёртого ранга, содержат 34=81 компоненту

27. Закон Гука • Можно показать, что sijkl=sijlk и sijkl=sjikl. Т.е. компоненты тензора податливости симметричны относительно перестановки в первой и второй парах индексов • Такие же соотношения справедливы и для констант жёсткости • Это приводит к уменьшению числа независимых компонент с 81 до 36

28. Закон Гука • Чтобы сделать обозначения более наглядными и облегчить вычисления вместо тензорной записи используют матричную запись закона Гука • Эта возможность основана на симметричности sijkl и сijkl по первым двум и последним двум индексам • Для перехода к матричной записи у компонент тензоров напряжения и деформации заменяют два индекса на один: 11→1, 22→2, 33→3, 2,3 и 3,2→4, 3,1 и 1,3→5, 1,2 и 2,1→6

29. Закон Гука • К значениям компонент тензора податливости добавляются множители 2 и 4 по правилу: sijkl= smn когда m и n равны 1, 2, или 3 2sijkl= smn когда или m или n равны 4, 5, или 6 4sijkl= smn когда и m и n равны 4, 5, или 6 • Тогда закон Гука можно записать в матричной форме: εi=sijσj, i,j=1,2,3,4,5,6 • К значениям компонент тензора жёсткости множители 2 и 4 добавлять не нужно

30. Закон Гука • sij и cijуже не тензоры • На основе термодинамических соотношений можно показать, что sij=sji и cij=cji • Из этого следует, что число независимых компонент уменьшается с 36 до 21 • Работа, затрачиваемая на деформацию единичного объёма: А=1/2сijεiεj

31. Влияние симметрии на упругие константы • У кристаллов обладающих некоторыми элементами симметрии число независимых компонентов тензоров податливости и жёсткости может быть ещё уменьшено. У кубических кристаллов до 3

32. Влияние симметрии на упругие константы Количество независимых компонент в тензоре упругой жесткости для кристаллов с различной точечной симметрией. Триклинная - 21 Моноклинная 2/m -13 Ромбическая mmm - 9 Тетрагональная 4/m - 7 4/mmm -6 Гексагональная - 5 Тригональная 3 - 7 3m - 6 Кубическая m3m - 3

33. Влияние симметрии на упругие константы • Изотропное тело имеет два независимых параметра • E – модуль Юнга • G – модуль сдвига • ν - коэффициент Пуассона (0.25-0.35)

34. Упругие волны в кристаллах • Уравнение движения элемента кристалла в отсутствие объёмной силы • Перейдём к матричным обозначениям индексов

35. Упругие волны в кристаллах • Используя закон Гука в форме: σi=cikεk и связь между εik и смещениями ui, можно получить:

36. Упругие волны в кристаллах • Решения этих уравнений ищутся в виде плоских волн: • В случае кубических кристаллов, рассмотрев распространение волн в направлении [100], можно найти связь между частотой ω и волновым вектором k (закон дисперсии), а так же скорость звука v для двух типов волн: продольных и поперечных

37. Упругие волны в кристаллах • Для других направлений распространения упругих волн в кубическом кристалле можно получить более сложные дисперсионные зависимости и выражения для скорости звука, содержащие значения различных коэффициентов жёсткости • Измеряя скорость звука, можно находить их значения • В общем случае упругие колебания нельзя разделить на продольные и поперечные

38. Заключение • Напряжение и деформация описываются полевыми тензорами второго ранга • В приближении закона Гука они связаны между собой тензорами четвёртого ранга: упругой податливостью и жёсткостью • Деформация тела при нагреве описывается тензором (второго ранга) теплового расширения

39. Заключение • Для облегчения вычислений вместо тензорной записи применяют матричную запись закона Гука. Используются матрицы (6х6) • Число независимых компонентов матриц податливости и жёсткости зависит от симметрии кристаллической решётки • Решая уравнения движения для элементов среды, можно найти закон дисперсии звуковых волн

40. Контрольные задания • Что описывают механические свойства твёрдых тел? • Что такое упругость? • Что такое пластичность? • Что такое прочность? • Что такое напряжение? • Что такое деформация? • Какие типы сил рассматриваются в теории упругости?

41. Контрольные задания • Каковы порядок и размерность тензоров напряжения и деформации? • Какие различают виды тензора напряжения? • Какого вида напряжение возникает в стержне, подвергнутом кручению? • Какого вида напряжение возникает в образце, при изгибе? • При какой конфигурации образца и приложенных к нему сил возникает одноосное напряжение?

42. Контрольные задания • Сколько независимых компонент содержит тензор напряжения кристалла? Записать его в произвольных осях координат с учётом симметрии его компонентов • Записать тензор одноосного напряжения общего вида, приведённый к главным осям • Как выглядит тензор двуосного напряжения, приведённый к главным осям?

43. Контрольные задания • Как влияет симметрия кристалла на вид тензора напряжения? • Написать выражение для компоненты ε13 тензора деформации через функцию, описывающую смещения в образце • Написать развёрнутое выражение для компоненты тензора деформации ε11 через податливость и напряжение • Что такое объёмное расширение? Как оно зависит от ориентации осей координат?

44. Контрольные задания • Что такое тепловое расширение и тензор теплового расширения? • Какова размерность и ранг тензора теплового расширения? • Что такое коэффициент теплового расширения? Как он зависит от ориентации осей координат? • Какие типы характеристических поверхностей описывают тепловое расширение реальных кристаллов?

45. Контрольные задания • В чём заключается закон Гука? • Что описывают тензоры упругой податливости и жёсткости кристалла? • Каковы размерность и ранг тензоров податливости и жёсткости кристалла? Сколько элементов они содержат? • Сколько независимых элементов содержат тензоры податливости и жёсткости в общем случае? Почему? • В чём особенности матричной записи закона Гука?

46. Контрольные задания • Какова размерность матрицы, описывающей закон Гука для кристаллов? • Сколько независимых компонент содержат матрицы упругой податливости и жёсткости кубического кристалла? • Сколько независимых величин описывают упругие свойства изотропного твёрдого тела? Как они называются? • Как зависит скорость звука от коэффициента жёсткости и плотности материала?

47. Конец лекции