Le modèle de Black Litterman

1. Le modèle de Black Litterman Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine

2. L’optimisation moyenne-variance • Inputs : • rendements • volatilités • corrélations • calcul de la frontière des portefeuilles efficients • résultat : sélection du portefeuille optimal sur la frontière

3. Conséquences • Conséquence de la structure des modèles • des prévisions sont nécessaires sur les rendements moyens, les volatilités, les corrélations futurs. • en général, les optimisateurs utilisent soit les variables historiques, soit permettent de créer ses propres prévisions. Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine

4. Les valeurs historiques comme prévisions • Justification : stationnarité (présumée) des rendements  littérature sur la marche aléatoire des rendements et des prix • Avantage : simplicité • Inconvénient : la structure des portefeuilles efficients

5. Un exemple • Source : Zephyr Allocation Advisor • Données 1986-1995

8. Leçons des simulations sur données historiques : • les portefeuilles sont très concentrés; • les allocations sont très sensibles aux prévisions.

9. Les alternatives • Les méthodes de resampling (rééchantillonages) • Les approches bayésiennes dont • Le modèle de Black & Litterman (1992) est un cas particulier.

10. Le resampling • Une technique Monte Carlo pour estimer les inputs de l’optimisation moyenne variance et éventuellement la frontière. • Elle conduit à des portefeuilles diversifiés. • Elle est une technique brevetée par Richard Michaud depuis 1999.

11. La procédure • Estimation du rendement, des écart-types et des corrélations. • Nouvelles simulations calibrées sur les statistiques précédentes conduisant à de nouvelles estimations. • Estimations des portefeuilles efficients correspondants à ces nouvelles estimations et pour différents niveaux de volatilité.

12. La procédure (suite) • Répétition de 2 et 3 (>1000 simulations) • Calcul de l’allocation moyenne ainsi obtenu et estimation du rendement moyen pour chaque niveau de volatilité. • Détermination de la « frontière rééchantillonnée » à l’aide du portefeuille moyen et des statistiques initiales.

14. Critique du resampling • Critiques de Scherer (2002): • les portefeuilles obtenus subissent les erreurs d’estimation initiales. • L’absence de théorie – pourquoi choisir les « portefeuilles rééchantillonnées ». • la frontière obtenue peut comporter des parties croissantes.

15. Critique du resampling (2) • En l’absence d’opinions, le resampling conduit à des écarts par rapport au benchmark et donc à une gestion active – mais pourquoi prendre un pari sans avoir de raisons ou d’opinions? • A la différence de B&L et des approches bayésiennes, il n’existe pas de cadre théorique permettant de mixer opinions et données

16. Le resampling peut conduire à de fortes variations au cours du temps. Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine

17. Le modèle de B&L • L’objectif : un cadre permettant de mixer les informations issues des données et les opinions.

18. Les rendements implicites • Un point de départ de Black & Litterman : • les rendements implicites • (ou d’équilibre, du CAPM, le consensus, etc.)

19. Les rendements implicites • Sharpe (1974) « Imputing expected security returns from portfolio composition », Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp. 463-72

20. Deux approches pour déterminer le rendement implicite • le CAPM  le rendement implicite = le rendement théorique défini notamment par le béta • l’optimisation inverse (Sharpe (1974))

21. L’optimisation inverse • Les conditions marginales (avec actif sans risque) Où est le portefeuille de marché

22. L’optimisation inverse (suite) Le coefficient d’aversion au risque

23. Le portefeuille de marché

27. Le point de la frontière efficiente dont le ratio de Sharpe est le plus élevé est supposé être le benchmark efficient. • Les rendements implicites constituent les valeurs de référence de Black & Litterman.

28. Le modèle de Black & Litterman • Fischer Black & Robert Litterman « Global Portfolio Optimization », Financial Analysts Journal, September / October 1992, pp. 28-43 • Robert Litterman and the Quantitative Resources Group, GS Asset Management Modern Investment Management : an equilibrium approach, John Wiley & Sons, 2003

29. Le problème de la prise en compte d’opinions différentes du consensus. • La solution de B&L : la combinaison des opinions et du consensus

30. Le mécanisme de B&L • Évaluation des « rendements du marché » par l’optimisation inverse • Prise en compte des opinions : • opinion absolue : « l’actif A aura un rendement de x% » • opinion relative : « l’actif A sur-performera l’actif B par x points de % »

31. La formule de B&L • La détermination du rendement espéré: un scalaire mesurant le poids accordé au rendement d’équilibre P la matrice des opinions (KxJ) définissant les actifs impliqués dans chaque opinion la matrice de covariance des erreurs dans les opinions Q le vecteur des opinions (Kx1)

32. La formule de B&L

34. Un exemple (Idzorek)

36. Un exemple • 3 opinions : • Intern’ Developped Equity va avoir un rendement excédentaire de 5.25% (confiance = 25%) • Intern’ Bonds vont sur-performer les US Bonds par 25 pts (confiance = 50%) • US Large Growth et US Small Growth vont sur-performer US Large Value et US Small par 2% (confiance = 65%)

37. Mise en oeuvre

38. La matrice de covariance des erreurs des opinions

39. La matrice de « participation » Modélisation uniforme (Satchell & Scowcroft)

40. Idzorek

41. Variances des « individual portfolio view »

42. et ? • La solution de He & Litterman (1999) Numériquement :

44. Propriété de BL: La déformation du portefeuille induit par la prise en compte des opinions dépend de l’importance relative des sur-performances (selon l’opinion et le rendement implicite) Exemple de l’opinion 3

45. Opinon 3 : actifs sur-performants

46. Opinon 3 : actifs sur-performants

47. Un exemple • Mêmes données que précédemment • L’opinion : US Equity sur-performera World Equity par 150 pts • Avec une confiance de 75%