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对数及其运算

对数及其运算. 对数. 2000 年我国国民经济生产总值为 a 亿元 , 如果按平均每年增长 8.2% 估算 , 那么经过多少年国民经济生产总值是 2000 年的两倍 . 假设经过 x 年 , 国民经济生产总值是 2000 年的 2 倍 , 依题意 , 有 a (1+8.2%) x =2 a , 即 1.082 x = 2. 指数 x 取何值时满足这个等式 ?. 真数. 底数. 对数概念. 如果 a ( a >0, a ≠1) 的 b 次幂等于 N , 即 a b = N , 那么数 b 叫作以 a 为底 N 的 对数 , 记作

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对数及其运算

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Presentation Transcript

  1. 对数及其运算

  2. 对数

  3. 2000年我国国民经济生产总值为a亿元,如果按平均每年增长8.2%估算,那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的两倍.2000年我国国民经济生产总值为a亿元,如果按平均每年增长8.2%估算,那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的两倍. 假设经过x年,国民经济生产总值是2000年的2倍,依题意,有 a(1+8.2%)x=2a, 即 1.082x=2 指数x取何值时满足这个等式?

  4. 真数 底数 对数概念 如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作 logaN=b

  5. a>0,a≠1? log(-2)8 log01 log15 log11 对于某些N,值不存在 不存在 对于某些N,值不存在 不存在 对于某些N,值不存在 不存在 有无数个值 对于N=1,值不唯一 在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,所以ab=N中,N总是正数,即:零和负数没有对数. N>0

  6. 对任何实数a(a>0,a≠1),指数函数y=ax,x∈R的值域是(0,+∞),所以对任何实数N,logaN是存在,且由于指数函数是单调函数,logaN是唯一.对任何实数a(a>0,a≠1),指数函数y=ax,x∈R的值域是(0,+∞),所以对任何实数N,logaN是存在,且由于指数函数是单调函数,logaN是唯一.

  7. 练一练 将下列对数形式写成对数形式 log1.0822=x log464=3 log84= log100.01=-2 以1.082为底2的对数是x 以4为底64的对数是3 以8为底4的对数是 以10为底0.01的对数是-2

  8. 思考 (1)式子ab=N和logaN=b(a>0,a≠1,N>0)有什么关系? 对数式与指数的关系 指数 对数 logaN=b ab=N 真数 幂 底数(a>0,a≠1)

  9. 思考 (2)求对数loga1,logaa(a>0,a≠1). 对于a>0,a≠1都有 a0=1,a1=a 所以 loga1=0 logaa=1

  10. 思考 令b=logaN 知 ab=N 即 alogaN=N

  11. 常用对数及自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数,N的常用对数log10N简记作lgN. e是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.科学技术中常以e作为对数的底数,以e为底的对数称为自然对数.N的自然对数logeN简记作lnN.

  12. 例题讲解 例1 将下列指数式写成对数式:

  13. 例题讲解 例2 将下列对数式写成指数式

  14. 例题讲解 例3 求下列各式的值:

  15. 练习 1.将下列系数式写成对数式:

  16. 练习 2.将下列对数式写成指数式:

  17. 练习 3.求下列对数的值: (1)3 (2)-2 (3)5 (4)0 (5)2 (6)3 (7)-2 (8)1

  18. 对数的运算性质

  19. 动手实践 1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质 8 3 5

  20. 动手实践 1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质 3 5 －2

  21. 动手实践 1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质 5 5

  22. M 50 3.141596 2008 N 20 2.718281 1949 lg(MN) 3 0.931445 6.592576 lgM+lgN 3 0.931445 6.592576 lgM·lgN 2.210411 0.215910 10.865471 0.397940 0.062906 0.012952 lgM－lgN 0.397940 0.062906 0.012952 1.305865 1.144846 1.003937 2,利用科学计算器,完成下表(精确到0.000001)并从数据中分析等量关系,猜想对数的运算性质

  23. 对数的运算性质

  24. 对数的运算性质 证明 设logaM=p,logaN=q,则由对数定义得 ap=M,aq=N. 因为 MN=apaq=ap+q,所以 p+q=loga(MN), 即 loga(MN)=logaM+logaN

  25. 例4 计算 解 (1)log3(92×35)=log392+log335 =log334+5log33 =4+5=9;

  26. 例5 用logax,logay,logaz表示下列各式: (1)logax2yz=logax2+logay+logaz =2logax+logay+logaz =logax2-logayz =2logax-(logay+logaz) =2logax-logay-logaz

  27. 6.9=lgI1 7.8=lgI2 例6 科学家以里氏震级来度量地震的强度.若设I为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级r可定义为r=lgI,试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度. 解 设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I1和I2,由题意得 lgI2-lgI1=0.9

  28. 思考交流 1.判断下列各式是否成立,如果不成立,举一个反例. 2.对数的运算性质有什么特点?

  29. 练习 1.求下列等式中的x的值: (1)logx81=2; (2)lg0.001=x; (3)10x+lg2=2000. 9 -3 3 2.求下列各式的值: -2 1.5 0 2 2 2

  30. 练习 3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1)2lgx+lgy+3lgz

  31. 小结 对数的概念 alogaN=N loga1=0 logaa=1 零和负数没有对数 对数的运算性质

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