BCC101 Matemática Discreta I

1. BCC101 Matemática Discreta I Lógica Proposicional Dedução

2. Implicação e Dedução Tabela-verdade de  False  False = True False  True = TrueTrue  True = True True  False = False • Raciocínio Dedutivo: das hipóteses para a conclusão • Hipótese 1: x = True, Hipótese 2: x  y = True • Conclusão: y = True • Porque? Bem … suponha y = False {suposição} • Então poderíamos provar que False = True, pelo seguinte argumento False = True  False { tabela-verdade} = x  False {hipótese 1} = x  y {suposição} = True {hipótese 2} • Não podemos aceitar a equação True = False • Portanto, devemos aceitar que y = True se x  y = True e x = True • Implicação possibilita dedução • Deduzimos y = True de x = True e x  y = True • Esta "regra de inferência” é chamada "modus ponens” • Tautologia: ((x  (x  y))  y) = True

3. [x]|– y x  y {I} ((x  (x  y))  y) = True ((x  y)  (x  y)) = True tautologia correspondente x  y x x  y y x y x  y y x  y x x  y x x {I1} {I} {ID} {I2} {E2} {E1} ((x  y)  (x  y)) = True x x  y y (x  (x  y)) = True x  y [x]|– z [y]|– z z {E} (modus ponens) {E} [x]|– False x {RAA} (y  (x  y)) = True (x  x) = True False x {CTR} (False  x) = True Regras de Inferênciae tautologias correspondentes Regras de Eliminação Regras de Introdução ((x  y)  x) = True ((x  y)  y) = True (((x  y)  (x  z)  (y  z))  z) = True Outras Regras (((x)  False)  x) = True

4. Teorema ( Comuta) a  b |– b  a Teorema e Prova é OK reusar uma hipótese do teorema casa com a hipótese 2 provas para aplicar a regra I hipótese prova de (a  b) |– a prova de (a  b) |– b Usa a regra E2 Dedução Natural Provas acima da linha Conclusão abaixo da linha {regra} a b  {I} a  b • Prova a  b {E2} b a  b {E1} a  {I} b  a • Provas formam uma estrutura de árvore: • Folhas = hipóteses • Raiz = conclusão • Regras de Inference = ramos

5. Transitividade da Implicação Teorema (Transitividade da Implicação) ab, bc |– ac Suponha que podemos obter uma prova para: a |– c Então a regra I nos permitiria concluir ac Estratégia Suponhaa Prove:a |– c Concluaac (aplicando a regra I) prova folhas restantes são as hipóteses hipótese admitida temporariamente descarregada a raiz é a conclusão Obtemos o teorema a partir da prova Basta examinar as folhas e a raiz aab {E} b bc {E} c {I} ac por I 5

6. Ou Comuta Teorema (Ou Comuta) a  b |– b  a a {I1} a  b b {I2} a  b a  b [a]|– c [b]|– c {E} c Ou Intro 1 Ou Intro 2 Ou Eliminação premissas temporárias hipótese restante discharged conclusão by E • Suponha • Que podemos provar o teorema: a|–b  a • E podemos também provar o teorema: b|–b  a • Então, aplicando a regra E, concluímos b  a de a  b  b  a a {I2} b  a  b  a b {I1} b  a a  b {E} b  a

7. Modus Tollens Teorema (Modus Tollens) a  b, b |–a Convenção do sistema de dedução natural a é uma abreviação para a  False x  y y x {modus tollens} b  False a  b { transitividade} a  False regraderivada

8. Negação Convenção de dedução natural a é uma abreviação para a  False [x]|– False x  False [x]|– False x [x]|– y x  y {I} {I} {I} x x  False False x x  y y x x False {E} {E} {E} Não Eliminação Não Introdução

9. [x]|– y x  y {I} Regras de Inferência x x {ID} x  y x x  y y x y x  y y x  y x x  y {I2} {I1} {E1} {E2} {I} x x  y y x é uma abreviação para xFalse x  y [x]|– z [y]|– z z {E} [x]|– False x {E} {RAA} False x {CTR} c ExercícioProve o seguinte sequente: a  b, b  c |– c a  b {E2} b b  c {E}

10. [x]|– y x  y {I} Regras de Inferência x x {ID} x  y y x  y x x y x  y x x  y y x  y {E2} {I2} {I1} {I} {E1} x x  y y x é uma abreviação para xFalse x  y [x]|– z [y]|– z z {E} [x]|– False x {E} {RAA} False x {CTR} d c ExercícioProve o seguinte sequente: a  b, a  c, b  d |– c d a  b a  b {E2} {E2} a  c b b  d a {E} {E} {I} c d