Формула Тейлора порядка n

1. Формула Тейлора порядка n • Теорема. Если функцияu=f(x1,x2, …xn) n+1 раз диффе-ренцируема в некоторой окрестности точки M0(x10,x20, …,xn0),то для любой точкиM(x1,x2, …,xn) из этой окрестности справедливо равенство где Rn – остаточный член формулы Тейлора • в форме Лагранжа если и N[M0, M]; • в форме Пеано если Rn = o(n), где  = (M0, M). Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. № 96 от19.03.2010 Company Logo

2. Экстремум ФНП • Определение. ТочкаM0называется точкой локального максимума функцииu = f(M), еслисуществует такая окрестность точки M0, для всех точек которой, отличныхотM0, • выполняется неравенство • f(M0) >f(M), (рис.1). • Аналогично определяется точка локальногоминимума, • f(M0) <f(M),(рис.2). • Термины «локальный максимум» и «локальный минимум» объединяют в один термин «локальный экстремум». Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. № 96 от19.03.2010 Company Logo

3. Экстремум ФНП • Теорема 1. (Необходимый признак локального экстремума) Если функцияu = f(M)имеет экстремум в точкеM0,и в этой точке существует частная производная по xk, то • Определение. Точка M0, в которой все частные производные равны нулю, называется стационарной точкой функции. Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. № 96 от19.03.2010 Company Logo

4. Квадратичные формы Определение. Квадратичной формой от n переменных называется функция вида … Краткая запись: Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. № 96 от19.03.2010 Company Logo

5. Квадратичные формы • Числа aij– называются коэффициентами квадратичной формы, а составленная из этих коэффициентов симметричная матрица – матрица квадратичной формы. Миноры матрицы А, образованные строками и столбцами с одинаковыми номерами называются главными (угловыми) минорами матрицы: Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. № 96 от19.03.2010 Company Logo

6. Виды квадратичных форм • Квадратичная форма Q(x1,x2,…, xn) называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных x1,x2,…, xn одновременно не равных нулю, она принимает положительные (отрицательные) значения. • Квадратичная форма Q(x1,x2,…, xn) называется знакоопределенной, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной. • Квадратичная форма Q(x1,x2,…, xn) называется квазизнако-определенной, если она принимает либо только неотрицательные, либо только неположительные значения, но при этом обращается в нуль не только при x1=x2 = … = xn= 0. • Квадратичная форма Q(x1,x2,…, xn) ) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. № 96 от19.03.2010 Company Logo

7. Достаточные условия экстремума • Теорема. Пусть функцияu = f(x1,x2,…, xn)дифференцируема в окрестности точки M0,и дважды дифференцируема в точкеM0,причёмM0– стационарная точка функции. Тогда, если: • 1)d2u(M0) – положительно определённая квадратичная форма, то функция u = f(M)имеет минимум в точкеM0; • 2)d2u(M0)  – отрицательно определённая квадратичная форма, то функция u = f(M)имеет максимум в точкеM0; • 3)d2u(M0)  – знакопеременная квадратичная форма, тогда локальный экстремум в точкеM0 отсутствует; • 4)d2u(M0) = 0, тогда функция u = f(M)в точкеM0может как иметь экстремум, так и не иметь. Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. № 96 от19.03.2010 Company Logo

8. Критерий Сильвестра • Исследование знака квадратичной формы проводится на основании критерия Сильвестра, а именно: • 1) для того, чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её матрицы были положительны; (т.е. 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0). • 2) для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знакиглавных миноров её матрицы чередовались следующим образом:1 < 0, 2 > 0, 3 < 0,…. • 3) если матрица А неопределенная, то в точке M0 функция не имеет локального экстремума (это – так называемая седловая точка). Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. № 96 от19.03.2010 Company Logo

9. План исследования ФНП • 1. Найти стационарные точки, используя необходимое условие локального экстремума (решить систему, в которой частные производные 1-го порядка прировнять к нулю). • 2. Найти частные производные 2-го порядка в стационарной точке М0 . • 3.Составить матрицу квадратичной формы. • 4. Проверить знаки главных миноров:1, 2 , 3. • 5. Сделать вывод о наличии точки экстремума. Если в точке М0 : • а) 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0, то в точке М0 – min; • б) 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0, то в точке М0 – max; • в) знаки iдругие, то экстремума нет; • г) i= 0, i= 1, 2, …n, и выполняется а) или б), то в т. М0 требуются доп. исследования. Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. № 96 от19.03.2010 Company Logo

10. Спасибо за внимание