线性代数 Linear Algebra 刘鹏

线性代数Linear Algebra刘鹏 复旦大学通信科学与工程系光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn

布置习题 P 186: 20. 22. 24. 26. 28. 30*. 31*. 34*. 36*.

三、内积的坐标表示 • 设 V 是一个 n 维欧氏空间，在 V 中任意取定一个基 ε1, ε2 ,...,εn ，对 V 中任意两个向量 ， 有 •  ， 的内积用矩阵可表示为 • 矩阵 A 称为基 ε1, ε2 ,...,εn 的度量矩阵(metric matrix).

四、标准正交基 定义 4.11在欧氏空间 V 中，一组非零向量，如果它们两两正交(mutually orthogonal)，就称它为正交向量组。定理 4.6设α1,α2,…,αm (m≤n) 是 n 维欧氏空间V 中的正交向量组，则α1,α2,…,αm线性无关。

定义 4.12在 n 维欧氏空间 V 中，由 n 个两两正交的非零向量所构成的正交向量组称为正交基； • 由单位向量构成的正交基称为标准正交基。定理 4.7任一 n 维欧氏空间(n≥1) 都必有正交基(orthogonal basis)。 • 构造正交基 — 施密特正交化过程

定义(投影)若  与  是n 维内积空间中的向量，则  到  的标量投影(scalar projection)为则  到  的向量投影(vector projection)η为 • -η⊥

例：令矩阵 试求：A 的列空间的一组标准正交基；解: 显然 A 的3个列向量线性无关，它们构成 R4 的3 维子空间的一组基，可以使用施密特正交化过程 • 正交化、标准化同时进行，令 • 令

令 • 向量组q1，q2 ，q3 就是 A 的列空间的一组标准正交基.

定理(QR分解)若 A 是一秩为 n 的 m×n 阶矩阵，则A 可以分解为乘积 QR, 其中 Q 为列正交的m×n 阶矩阵，R 为对角线元素均为正的 n×n 阶上三角阵。 • 例中的 QR 分解为

超定方程组的最小二乘解给定一个 m×n 阶方程组 AX=b，其中 m> n，这类方程组通常是不相容的。 • 只能期望找到一个近似解 X’，使得AX’ 尽可能接近b • 二者的残余误差 (residual)最小 • 即向量 b 和向量 AX’ 最接近，距离最小 • 使得这个距离最小化的X’ 称为方程组的最小二乘解. • 令 p= AX’ ， p 就是 A 的列空间中最接近 b 的向量. • 如何寻找X’？要用到子空间的直和、正交等概念 • 结论：AX=b 的最小二乘解是 X’=R-1 QT b

Matlab 验证 例：求方程组的最小二乘解. 解: 设AX’= QR X’= b，则 R X’= QT b = y • 回代求解 RX’= y, 得

标准正交基上的坐标 • 若ε1, ε2 ,...,εn 是 n 维欧氏空间 V 中的一个标准正交基，任一向量 ∈ V ，设标量投影 • 用εi 与上式两边做内积，可得 • 利用标准正交基的度量矩阵，两个向量的内积变得非常简单

例：已知欧氏空间R4的向量组： (1) 证明  1， 2， 3， 4是 R4 的一个标准正交基；(2) 若向量 = 3 1+2 2+4 3 -5 4，求|| ||和( ，). 解: (1)因为 • 所以  1， 2， 3， 4是 R4 的一个标准正交基. • (课本)先求  在标准正交基下的坐标，再点乘 的坐标.

定理 4.8:设 ε1, ε2 , ..., εn是 n 维欧氏空间 V 中的一个标准正交基，若：其中 A=[ ai j ]n ×n，则向量组η1, η2 , ..., ηn是标准正交基的充要条件是 A为一个正交阵. 证明: 因为ε1, ε2 , ..., εn是标准正交基

从而的充要条件是 • 于是，向量 ηi , ηj的内积为 XT Y的形式 • 即向量组 η1, η2 , ..., ηn是标准正交基的充要条件是 • 即 A 是一个正交阵. 证毕. • 也就是说，同一欧氏空间中，两组标准正交基间的过渡矩阵是正交阵。

§ 4.4 子空间的交、和、直和及正交 • 目的：了解子空间相互之间的关系与运算一、子空间的交与和定义 4.13设 W1，W2 是线性空间 V 的两个子空间，则W1，W2 的交是 W1，W2 的和是

定理 4.9设 W1，W2 是线性空间 V 的子空间， 则W1∩W2 ， W1+ W2都是V 的子空间. • W1+W2是V 中含W1∪W2的最小的子空间证明：首先证明W1∩W2 是V 的子空间定理 4.1:W是 V的子集，满足条件： (1)W 非空； (2) 如果α，β∈ W，则α+β∈ W； (3) 如果α∈ W， λ∈ P则 λα∈ W； • 因为 0∈W1，0∈W2 ，故 0∈ W1∩W2 ，W1∩W2非空；

设α，β∈W1∩W2，则α，β∈W1，α，β∈W2 • 因为Wi (i = 1，2) 是子空间，所以 k∈Fα+β∈W i，kα∈Wi ； • 于是α+β∈W1∩W2，kα∈W1∩W2，因此，W1∩W2是 V 的子空间. 再证明W1+ W2 是V 的子空间，记 W= W1+ W2 • 因为 0∈W1，0∈W2 ，故 0∈ W1+ W2 ，W非空；

设α，β∈W，则有 • 由于 W1， W2 是 V 的子空间： • k∈F，kαi∈Wi ；于是 • 根据定理 4.1， W1+ W2 是 V 的子空间. 证毕.

例：在线性空间 R3中，若 • 则它们都是R3的子空间，并且：

例: 设α1, α2 , ... ,αl与 β1 , β2 , ... ,βs是线性空间 V 中的两个向量组，则有 L(α1, α2 , ... ,αl) + L(β1 , β2 , ... ,βs) = L(α1, α2 , ... ,αl,β1 , β2 , ... ,βs) . 证明：设 • 对 W1+ W2中任一向量 η= α+β，其中α∈W1，β∈W 2，所以 α、β 都属于W 3，即

另一方面W 3中的任一向量 • 记 • 于是证明了 • L(α1, α2 , ... ,αl) + L(β1 , β2 , ... ,βs) = L(α1, α2 , ... ,αl,β1 , β2 , ... ,βs) .

性质设 W1，W2 ，W3是线性空间 V 的子空间， 则它们满足交换律与结合律： (1) 交换律： (2) 结合律：

定理4.10(维数公式)设 W1，W2 是线性空间 V 的子空间，dimW1+ dimW2 =dim(W1+ W2)+ dimW1∩W2. 例：在三维几何空间V3中，设W1是过原点O的一个平面，W2是过O的另一个平面，且它们相交于直线 L ． • 则：W1，W2，L都是V3的子空间，并且W1∩W2=L • V3中每个向量α可以表示成W1中一个向量与W2中一个向量的和，所以W1+W2=V3 • 由于dimW1=dimW2=2，dimL=1,dimV3=3，因此有

定理4.10(维数公式)设 W1，W2 是线性空间 V 的子空间，dimW1+ dimW2 =dim(W1+ W2)+ dimW1∩W2. 证明：设W1,W2的维数分别是n1，n2，W1∩W2的维数是m． • 取W1∩W2的一个基 • 将它扩充成W1的一个基 • 同理可将它扩充成W2的一个基 • 因此

根据例2，我们有 • 作线性组合 • 令 • 由(4.2)第一行知， α∈W1；由第二行知α∈W 2；所以 α∈W1∩W2 ，可经向量组γ线性表示 • 由(4.2)

由于是W2的一个基 • 由(4.2)，有是W1的一个基 • 由于

因此，要(4.1)成立，只能是 • 所以，向量组线性无关. • 由定理4.4(2) —L(α1, α2 , ... ,αl) 的维数等于向量组α1, α2 , ... ,αl 的秩. • 故W1+W2的维数是

即维数公式成立：设 W1，W2 是线性空间 V 的子空间，dimW1+ dimW2 =dim(W1+ W2)+ dimW1∩W2.

例：W1=L(α1，α2)，W2=L(β1，β2)，其中 α1=(1，2，1，0)T，α2=(1，1，1，1) T， β1=(2，1，0，1)T，β2=(1，1，3，7)T，求W1与W2的和与交的基及维数．解：因 W1+W2= L(α1,α2) + L(β1,β2) = L(α1,α2,β1,β2) • 所以，W1+W2 的维数是向量组α1,α2,β1,β2 的极大线性无关组所含向量的个数；将它们构成矩阵，做初等变换，得

这表明α1，α2，β1是W1+W2的一个基，故dim(W1+W2)=3．这表明α1，α2，β1是W1+W2的一个基，故dim(W1+W2)=3． • 同时也知道，β2可经α1，α2，β线性表示，其形式为 β2= -α1+4α2+3β1 • 故3β1－β2∈W1∩W2． • 因为 α1，α2线性无关，β1，β2线性无关．由维数公式易得 dim(W1∩W2) = 2 + 2 – 3 = 1 • 故α1- 4α2=(5，-2，-3，-4) 是W1∩W2的一个基．

二、子空间的直和 • 目的：方便空间分解，解决向量表示方法的唯一性问题定义 4.14设W1，W2 是线性空间V 的两个子空间，如果和W1+W2 中，每个向量 η的分解式是唯一的(或者说都能唯一地表示为) 那么称这个和是子空间W1，W2 的直和（direct sum），记作

定理 4.11设W1，W2 是线性空间V 的两个子空间，W1+W2 是直和的充要条件是等式只有在 α1，α2 全为零向量时才成立. 证明: (1)充分性，设向量η∈W1+W2 • 若向量η有两个分解式 • 于是 • 其中 • 由定理条件

说明对于任意向量η∈W1+W2，分解式是唯一的 • 因此 W1+W2 是直和. (2)必要性，由定义 4.14 — (和W1+W2 中，每个向量的分解式是唯一，称这个和是子空间W1，W2 的直和)，必要性显然成立. • 判断是否为直和，只要检验零向量的分解式是否唯一.

推论1设W1，W2 是线性空间V 的两个子空间，W1+W2 是直和的充要条件是等式证明: (1)充分性，假设有等式 • 则 • 由假设知 • 零向量的表示方法是唯一的，所以W1+W2 是直和.

证明: (2)必要性，任取向量η∈W1∩W2，于是零向量可表示为 • 因为是直和，所以 • 因而证明

推论2设W1，W2 是线性空间V 的两个子空间，W1+W2 是直和的充要条件是：dimW1+ dimW2 =dim(W1+ W2) (4.4) 证明: 若W1+W2 是直和，则 • 由维数公式得 (4.4) 成立 • 反之，由(4.4)成立，可知 dimW1∩W2 =0 • 即可推出 dim(W1∩W2 )={0} • 所以 W1+W2 是直和.

推论3设W1，W2 是 n 维线性空间V 的两个子空间，如果：dimW1+ dimW2 > n则 W1，W2 必含有非零公共向量. 证明: 因为，由 • 又由于 • 即可推出 dim(W1∩W2 ) > 0 • 所以 W1，W2 必含有非零公共向量.

总结定理4.11及其3个推论：设W1，W2 是线性空间V 的两个子空间，则下列陈述彼此等价： • 和W1+W2是直和； • 和W1+W2中零向量的表法唯一，即若α1+α2＝θ，α1∈W1，α2∈W2，则α1=α2＝θ； • W1∩W2=0； • dim(W1+W2)=dimW1+dimW2．

定义 4.15设W1，W2 是线性空间V 的两个子空间，如果那么称子空间W1是W2 的补子空间. • 由定义，显然W1和W2互为补子空间.

定理 4.12设W1是 n 维线性空间V 的一个子空间，则一定存在W1 的补子空间W2，使得：证明: 设 dimW1= s, 令 α1, α2 , ... ,αs 为W1的一个基，我们把它扩充为 V的一个基 • 取W2 =L(αs+1, αs+2 , ... ,αn) ，则有V =W1+W2 ，并且 W1∩W2= {0}. 故 • 于是证明了 W2 就是所求的W1的补子空间.

V 的每一个子空间都有补空间． • 但是，一个子空间的补空间未必唯一． • 例如，在V3中，设W是过原点O的一个平面，则任意一条经过点O，但不在W上的直线都是W的补空间． • 显然，补空间的概念与补集的概念是不同的，不要混淆．

例：在线性空间 R3中，显然有

子空间的交、和、直和的概念可推广到多个 子空间的情况： • 如果和空间每一个向量的分解式唯一： • 则称它为直和，记为：

二、子空间的正交 定义 4.16设W1，W2 是线性空间V 的两个子空间，如果对于任意的 α∈W1，β ∈W2 ，都有那么称子空间W1与 W2 正交，记作 • 若 V 中向量η对 W1中任一向量α都满足 • 则称η与 W1正交，记为 η⊥ W1 .

因为只有零向量与自身正交，于是有 (1) 若 W1⊥ W2，则 W1∩W2= {0}. (2) 若 α∈W1，且α ⊥ W1，则 α= 0. 定理 4.13若子空间W1，W2 ，… , Ws 两两正交，则

证明: 在每个子空间Wi中取一个正交基 • 由于子空间两两正交，所以如下向量组也是一个正交向量组 • 且 ∑Wi 中任一向量α可由此向量线性表示，故它可以作为 ∑Wi 的一个基，则

由于表示式唯一，故 定义 4.17设W1，W2 是线性空间V 的两个子空间，如果 W2⊥ W1，且W1 + W2= V，那么称子空间W1是W2 的正交补. • 显然正交补是相互的.

例：设 W 是齐次线性方程组的解空间 则系数矩阵列向量的生成子空间 L(α1, α2 , ... ,αm) 是 W 的正交补. 证明：设 X= [x1, x2, ..., xn]T是 W 中的任一解向量，显然 • 对任一向量α∈ L(α1, α2 , ... ,αm) ，有 • 即 W⊥L(α1, α2 , ... ,αm)

设 dimL(α1, α2 , ... ,αm) = r • 则 dim W = n-r • 且 dim W + dimL(α1, α2 , ... ,αm) = n = dim Rn • 即 W +L(α1, α2 , ... ,αm) = Rn • 由定义知 L(α1, α2 , ... ,αm) 是 W 的正交补.

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