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微積分報告 介紹 笛卡兒. 物治系 B0107036 李雅涵 B0107003 翁倩雯 B0107047 王芋雯. 生平. 勒 內 · 笛卡兒 René Descartes 1596/3/31 - 1650/2/11 生於 法國安德爾-羅亞爾省 的 圖賴 訥拉海 。 1650/2/11 逝世 於 瑞典斯 德哥爾摩 。 是 法國著名的 哲學家 、 數學家 、 物理學家 。 他對現代 數 學 的發展做出了重要的貢獻 因 將 幾何 坐標體系公式化而被認為是 解析幾何 之 父 。 他 還是 西
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微積分報告 介紹笛卡兒 物治系 B0107036 李雅涵 B0107003 翁倩雯 B0107047 王芋雯
生平 勒內·笛卡兒RenéDescartes 1596/3/31-1650/2/11 生於法國安德爾-羅亞爾省的圖賴 訥拉海。1650/2/11逝世於瑞典斯 德哥爾摩。是法國著名的哲學家、 數學家、物理學家。 他對現代數 學的發展做出了重要的貢獻 因將 幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。他還是西 方現代哲學思想的奠基人。
對數學的貢獻 笛卡兒對數學最重要的貢獻是創立了解析幾何。 他成功地將當時完全分開的代數和幾何學聯繫在 一起,在他的著作《幾何》中,笛卡兒證明幾何問 題可歸結成代數問題,也可通過代數轉換來發現、 證明幾何性質。他將幾何圖形『轉譯』代數方程式, 將幾何問題以代數方法求解,這就是今日的解析幾 何或稱『座標幾何』
笛卡兒引入了坐標系以及線段的運 算概念。笛卡兒在數學上的成就為後人在 微積分上提供了堅實的基礎,而微積分又是現代數 學的重要基石。此外,現在用的許多數學符號都是 笛卡兒最先使用的,包括已知數a, b, c和未知數x, y, z等,還有指數的表示法。 他還發現了凸多面體邊、頂點、面之間的關係,後 人稱為歐拉-笛卡兒公式。還有微積分中常見的笛卡 兒葉形線也是他發現的。
笛卡兒座標系 也稱直角坐標系,是一種正交坐標系。 二維的直角坐標系由兩個互相垂直的坐標軸設定, 通常稱 X軸 和Y軸。兩軸相交稱為原點(標記為 O) 。 每軸都指向一個特定方向。兩軸決定了一個平面, 稱為XY平面,又稱笛卡兒平面。 習慣性,X軸被水平擺放 稱為橫軸指向右方。 Y軸被直放而稱為縱軸 指向上方。分為四象限。
採用直角坐標 幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來 幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守 這代數公式。 例如:一個圓圈,半徑是 2 圓心位於直角坐標系 的原點。圓可以用 公式表達為 X2 +Y2 =4。
在二維直角坐標系 再添加一個垂直於 X軸Y軸的坐標軸 稱為Z軸。這三軸相互交於原點。在三維空間的任 何一點,可以用直角坐標來表達其位置。 三個平面,XY平面 YZ平面,XZ平面, 將三維空間分成了 八個部分稱為卦限
笛卡兒符號法則 是一個用於確定多項式的正根或負根的個數的方法。 如果把一元實係數多項式按降冪方式排列,則多項 式的正根的個數要麼等於相鄰的非零係數的符號的 變化次數,要麼比它小2的倍數。而負根的個數則是 把所有奇數次項的係數變號以後,所得到的多項式 的符號的變化次數,或者比它小2的倍數。
例如,以下的多項式 X3+X2-X-1 在第二項和第三項有一個符號變化。因此它正好有 一個正根。實際上,我們可以看到,這個多項式可 以分解為: 因此它的根為−1(二重根)和1。 把奇數次項變號,可得: -X3+X2+X-1 這個多項式有兩個符號變化,因此這個多項式有2個 或0個正根,原來的多項式有2個或0個負根。這個 多項式可以分解為: 因此根為1(二重根)和−1。
心臟線 心臟線是有一個尖點的外擺線。也就是說, 一個圓沿著另一個半徑相同的圓滾動時,圓 上一點的軌跡就是心臟線。
笛卡兒坐標系中心臟線的參數方程式 r是圓的半徑,曲線的尖點位於(r,0) 在極坐標系中的方程為: 其心臟線面積為
心臟線小故事 傳聞,笛卡兒曾經流落到瑞典,邂逅公主 克里斯蒂娜,並成為公主的數學老師,兩人萌生 愛意。國王知道後強行拆散他們,並且沒收了之後 笛卡爾寫給公主的所有信件。後來,笛卡爾染上黑 死病,臨死前給公主寄最後一封信,信中只寫著一 行字:r=a(1-sinθ)。國王和大臣們都看不懂意思, 只好交還給公主。公主在紙上建立了極坐標系,用 筆描下方程的點,看到了方程所表示的心臟線了解 笛卡兒對自己的愛意。
另外,笛卡兒還提出了微積分有名的 葉形線,還有等角螺線。
其它重要貢獻-哲學 笛卡兒也是哲學家,人們稱他為西洋哲學的 「近代哲學之父」 他的「哲學方法」就是所謂「懷疑的方法」。他認 為雖然我們「懷疑」,但又必須有所行動時,我們 所能做的,最好就是堅持當初開始的態度,持續到 底。他提出了「我思故我在」和「演繹法」
影片補充 http://www.youtube.com/watch?v=QjF8C0rUpqg(1:00-1:30) http://www.youtube.com/watch?v=O-vGT-g8ShE(3:16-9:26)