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有關的參考書目充分地提供文件及敘述當學生被介紹代數時所面對的不同困難和認知障礙。 我們採用函數方法擴大代數思維的意義來避免這些困難。 在此研究中，我們關注於以兩邊未知的線性方程式為模型的問題。

FROM FUNCTIONS TO EQUATIONS: INTRODUCTION OF ALGEBRAIC THINKING TO 13 YEAR-OLD STUDENTS 從函數到方程式 : 對 13 歲學生代數思維的介紹.

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有關的參考書目充分地提供文件及敘述當學生被介紹代數時所面對的不同困難和認知障礙。 我們採用函數方法擴大代數思維的意義來避免這些困難。 在此研究中，我們關注於以兩邊未知的線性方程式為模型的問題。

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  1. FROM FUNCTIONS TO EQUATIONS: INTRODUCTION OFALGEBRAIC THINKING TO 13 YEAR-OLD STUDENTS從函數到方程式:對13歲學生代數思維的介紹 Vasiliki F., Nikos K. & Petros V. (2004) From functions to equation: introduction of algebraic thinking to 13 year-old students. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2004 Vol 4,393–400 邱雪莉 整理

  2. 摘要 • 有關的參考書目充分地提供文件及敘述當學生被介紹代數時所面對的不同困難和認知障礙。 • 我們採用函數方法擴大代數思維的意義來避免這些困難。 • 在此研究中，我們關注於以兩邊未知的線性方程式為模型的問題。 • 我們研究函數方法在這類問題解答上的有利與不利條件。研究發現方程式的典型解法需要學生做到完善時，函數方法確實給初學者一個解答的良好方法，而方程式的解法可被延遲到較晚的時候

  3. 介紹 • 教學和學習代數的研究已經發現一些嚴重的認知困難障礙，特別是對初學的學生。 • 研究焦點的重要主題之一是線性方程式的解法及有關的問題。 • 當Kieran(1985)和Kuchemann(1981)發現關於少數命名的字母在使用及意義上的誤解時，Kieran(1997)和Sfard&Linchevsky(1994)指出難題與等式符號的使用和意義有關。

  4. 介紹 • 從算術到代數的轉變中，其中一個重要的步驟似乎是ax+b=cx+d的解以及其變化ax+b=cx • 此特殊模式已是在參考書目中爭論的主題。例如，當Herscovics和Linchevski找出他們在學生認知發展的爭論時，Filloy和Rojiano建議此方程式需要老師的介入－教導的近路。 • 我們的教室經驗指明這種方程式給學生施加很沉重的負擔。

  5. 介紹 • 在這篇論文裡，我們採用函數方法去擴大代數思維的意義。接著，透過由ax+b=cx+d或ax+b=cx形式的方程式所陳述的問題，我們根據函數的和使用字母符號的方法來檢查學生的解答過程。 • 我們的目標是研究函數方法在需要此種方程式解答之問題的解法上有利與不利條件。

  6. 扼要的理論的架構 • 根據Lins(1992, p.12)，代數地思維是 (1)算數地思維，意指以數字模型化。 (2)內在的思維，意指只提及運算和等式關係。換言之，在數字與算數運算的語義領域範圍內的解答。 (3)分析地思維，意指把未知的必定看成知道的。 • 這觀點的主要概念：從情境的文章脈絡到數學的文章脈絡產生轉變的目的

  7. 扼要的理論的架構 • 關係的表述能被當作函數用適當的方法表達，如：使用象徵性字母的表示法。 • 此論文的研究問題如下: • 當問題被塑造成兩邊未知的方程式，函數方法能提供解題過程嗎? • 此方法和象徵性字母解題過程之間是什麼連結的? • 各自有什麼有利與不利條件?

  8. 研究設計 • 在希臘,國中二年級的13歲學童的教材中，方程式高於函數且分為兩個不同的章節。 • 方程式ax+b=c和ax+b=cx+d的解是以傳統的方法被呈現，集中在符號的運用，當在函數時，形式y=ax+b是主要的對象。 • 我們開發了每週4節課，每節45分鐘，總共26節課的新課程來取代原有的方程式及函數課程

  9. 研究設計 • 函數的方針能讓我們連結不同的問題情境與圖表、字母符號的表述，以及連結這些表述和方程式概念。 • 在此方法，符號(如字母、線條、圖表)從問題情境的文章脈絡獲得意義。 • 傳統只能用方程式解的問題現在用很多方法來處理：用表格的嘗試錯誤法，用圖解的表示法，或用方程式。

  10. 研究設計 • 研究分成2組-實驗組和控制組 • 8個實驗組的學生與2個控制組的學生各自參加5次訪談，訪談其中之一的題目是一個收支平衡的任務，是以方程式ax+b=cx為樣式。

  11. 收支平衡的任務 • Mr. Georgiou每天開車到希臘市中心上班，在他公司附近有兩個停車場。第一個停車場進去要4歐元並且每小時需要2歐元。第二個停車場每小時需要3歐元。Mr. Georgiou沒有固定的時刻表，所以他選擇停哪裡取決於他會待在辦公室的時間。 • 問題一：用時間的函數表示付兩個停車場的金額 • 問題二：他能停多久的車而使得每一個停車場付的錢都一樣多？

  12. 第一個訪談的背景 • 在課程中,學生展開了作圖的體驗並且透過作業的性質的了解來解題。 • 我們從圖表進展到方程式採取三種方法： 　第一：給定一個在圖表上依賴變量的特定值並且要求獨立變量x有關的值。 　第二：依照y=ax+b的圖表，當y有特定值的時候，要求獨立變量X的值。 　第三：為了找出兩條線交點的座標，使兩線的字母符號表述相等。

  13. 第一個訪談的背景 第一個訪談:Helen(數學程度中等) • 她根據問題的描述做出表格。透過發展函數(表示在兩個停車場該付的錢)，漸漸地構想出y=2x+4和y=3x的結構。 • 訪談者鼓勵她用其他方法做，她則建構出兩個函數的圖形。

  14. 第一個訪談的背景

  15. 第一個訪談的背景 • Helen︰在交點上，不管把車停在哪一個停車場都要付相同金額的錢。 • 我(訪談者):多少錢？ • Helen:(她在兩軸畫出垂直線,然後在X軸找到4,在Y軸找出大約11.5)11.5小時 • 我:妳確定嗎？ • Helen:是的..等一下..X代表什麼..不,4小時必須付11.5歐元 • 我:妳確定那裡是11.5嗎？ • Helen:不,因為我沒有尺去精確的量線 • 我:妳可以用其他方法找答案嗎？ • Helen:準確地...用計算的是可以的假如我把y=3×4而且y=2×4+4(她參考公式,然後她找到正確答案,12歐元)

  16. 第一個訪談的背景 • 到目前為止，Helen能應用她在課堂上所學的去解問題。我們看到Helen使用三種不同的表述(表格、函數、圖形)去塑造題目。換言之，她已經發現連結表格及座標式表述到字母象徵系統的關係。 • 但是她無法回答“妳可以用其他方法找答案嗎？”這個問題，然後需要訪談者幫助她。

  17. 第一個訪談的背景 • 我：在第二個問題中什麼是未知的? • Helen：時間 • 我：假設Mr. Georgiou停x個小時，那他要付多少錢給第一個停車場？ • Helen：x等於…我們知道y嗎？ • 我：為什麼? • Helen：因為題目說他要付一樣的金額，我可以這樣做嗎？ • 我：做什麼？ • Helen：y=2x+4等於3x或等於y=3x • 我：你想到什麼，你可以做嗎？ • Helen:它有兩個未知的地方 此時訪談者決定第二個訪談 • 我：妳可以寫沒有Y的嗎？ • Helen：可以…我可以(她寫出2x+4=3x)這是一個方程式

  18. 第一個訪談的背景 • Helen在方程式方面把問題以公式表達的困境在其他學生當中不是典型的例子。例如：Sotiris(一個數學程度較低的學生)在用方程式使問題公式化時顯現出相當多的技能。 • 我：你能把它(問題的方程式)公式化嗎? • Sotiris：…我們有4+2x=3x • 我：你能解釋它嗎? • Sotiris：為了計算他需要付多少錢給兩個停車場,從兩個函數發展出來的。

  19. 第一個訪談的背景 • 大部分實驗組的學生，困難發生在當他們開始解方程式時。在這部分，我們看到所有書上發現到的解方程式的認知困難。 • 例如，很多學生在很多方面處於難堪的狀態。 EX：有理數的運用、有關方程式的項、未知的係數、專門用語的使用、解釋他們解法的每一個步驟、去"發現"解方程式的最好方法、去想像零(0)是一個普通的數。

  20. 第二個訪談的背景 • 控制組:按照學生的教課書教學 • 課程章節：使用現實文章脈絡的題目→方程式的典型解法的訓練。 • 很多學生能隨著適當的步驟作答，但是在大部分的例子中，他們不能對問題和符號的意義做出連結。也就是說，認知困難並未從這類的課程中消失。

  21. 第二個訪談的背景 第二個訪談，Sonia(數學能力中等)： • 起初無法解答問題，在訪談者的建議下使用表格後逐漸找到適當的函數。 • 訪談者提供兩個函數的圖並要求他自己解第二題。 • 在解題的過程中他用實際的規則證明她的步驟是正確的,例如：“當我改變方程式的兩邊，我改變符號”或是“我從已知的量提出未知的，因為我們不能相加數字跟字母“ • 無法用其他方法解題

  22. 第二個訪談的背景 Sonia寫出兩邊為5和x+6的矩形的周長為x+6+x+6+5+5 • 我：你能寫成簡單一點的形式嗎?(她寫出6x²+5²) • 我：5²是多少? • Sonia：…OH…(然後她寫出12x+10) • 我：當之前的題目妳在解方程式時,妳說我們不能相加字母和符號,但是在這裡妳在做什麼? • Sonia：..是的...(她寫下正確的2x+22) • 我：我們能寫成2x+22這樣嗎? • Sonia：我想...是的..(然後她寫出24x)

  23. 第二個訪談的背景 • 此摘錄顯現出教導解方程式的演算法幾乎不能被考慮為一個發展代數思維的方法。 • 我們相信方程式解題過程概念的了解是非常重要的，並且是代數介紹中長期學習的最後階段。

  24. 討論及結論 • 函數方法讓學生有一個方法去解兩邊都未知的方程式。 • 我們發現變換概念過程發展的跡象，例如使用不同的表示法找答案。 • 我們觀察到兩個變量x和y的存在會對學生產生一些困難，而使用方程式解答這類的問題對初學者是不適當的。 • 在學生更成熟前,函數方法能幫學生解這些問題。換句話說，函數方法也有本身的價值，因為它能讓學生發展問題解答能力。例如啟發式教學法、嘗試錯誤法、圖解法及對一些學生而言的"解方程式"。 • 此外，它能促進視覺的思考，一個今天在新科技的進步方面特別有用的數學的方法。

  25. THE END!!

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