一、极限四则运算法则

2. §2－4 极限运算法则 一、极限四则运算法则 定理1.若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 则 (1) lim[f (x) g(x)] = limf (x)limg(x) = AB (2) lim[f (x)g(x)] = limf (x) ·limg(x) = A ·B (3)

3. 证: (2) 因limf (x)=A, limg(x)=B, 均存在, 则f (x)=A+(x), g(x)=B+(x). 从而 [A+(x)]·[B+(x)] f (x) ·g(x)= = AB+[A(x)+ B(x)+(x)(x)] 得lim[ f (x) ·g(x)] = AB 同理可证(1), (3).

4. 推论:设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则 (1) lim[Cf (x)] = C limf (x) (2) lim[f (x)]n = [limf (x)]n

5. 定理2. limf (x)=a, limg(x)=b均存在. 且恒 有f (x)g(x). 则limf (x)  limg(x) 证:记F(x) = f (x) – g(x) 0. 由保号性定理及定理1. 有limF(x) = lim[f (x) – g(x)] = limf (x)–limg(x) 0. 即 limf (x)  limg(x).

6. 例1. 解: 由于 = 2–6 = –4 = 2 ·23 + 22 – 4 =16,

7. 例2. 解:由定理1及其推论, 有

8. 例3.

9. 更一般的, 以后将有结论: 若f (x)为初等函数. 且f (x)在点 x0处有定义. 则 比如:

10. 例5. 解:将x=0代入. 分子, 分母都为0. 不能用定理1(3). 想法约去零因子x. 为此, 有理化.

11. 例6. 解:这是有理函数. 当x时的极限问题. 分子, 分母的极限都为. 不存在. 不能用定理1(3). 同除以分母的最高次幂x2.

12. 例9. 解:这是两无穷大量之差的问题. 即“ ” 型. 对无理函数, 可考虑有理化.

13. 二、复合函数的极限 求复合函数的极限时, 常可用“ 换元法” 简化运算.

14. 例12. 当x1时, lnx0, 而当lnx0时, cos(lnx)cos0=1. 解:直观地看. 或者, 令u=lnx, 当x1时, u0, 代入 这种方法称为换元法. 使用时, 将原式中所有x换写成u的表达式. 极限过程xx0换成相应的u的极限过程.

15. 定理3.设y =f [(x)]由y =f (u), u=(x)复合而成. 且在x0的某去心邻域Û (x0)内, (x)  u0 证 (略).

16. 例13. 解: (1) 令u=sinx. 代入. (2) 也可直接利用例3后介绍的结论, 有

17. §2－5 夹逼定理 两个重要极限 一、夹逼定理 定理1.设在点x0的某去邻域Û (x0, 1)内, 有 F(x)f (x)G(x), 则

18. 从而, 2>0. 证: >0. 当0<|x–x0|<2时, 有|F(x)–A|<且|G(x)–A|<. 故 A– < F(x) , G(x) < A+ 即 |f (x)–A|< . 注:定理对x的情形也成立.

19. 二、重要极限

20. u u u0 例1. 解: = 1 ·1=1 这个重要极限, 可写成 其中, u可以为函数.

21. 例2. 解: = 3·1= 3

22. 例6. 解: 由于x. 所以x    0. 因此, 令u=x , 当x时, u0, 代入 = 1

23. 例7. 解: 变形.

24. 例8. 解:

25. 例9. 解:

26. 例10. 解: = lne = 1

27. §2－6 无穷小量的比较 一般, 无穷小量的商有下列几种情形.

28. 定义1.设lim(x)=0, lim(x)=0. 则称(x)是比(x)高阶的无穷小量, 记作, (x)=o((x)) 或称(x)是比(x)低阶的无穷小量, 则称(x)是比(x)低阶的无穷小量.

29. 则称(x)和(x)是同阶无穷小量, 记作, (x)= O((x)) 则称 (x)是(x)的k阶无穷小量.

30. 则称(x)和(x)是等价无穷小量, 记作, (x) ~ (x) 显然, 若(x) ~ (x), 则 (x)和(x)是同阶无穷小量, 但反之不对.

31. 比如, (i) (ii) (iii)

32. 定理1.设(x),  (x), (x),  (x)是某极限过程中的无穷小量. f (x)是另一变量, 且,  (x) ~  (x), (x) ~  (x), 则 只须右端极限存在或为无穷大.

33. 证: (1) 因为(x) ~  (x), (x) ~  (x), 所以 类似可证(2), (3).

34. 例1. 由于当x0, tgx ~ x, 解: 从而tg2x ~ 2x. 当x0, sinx ~ x, 从而sin5x ~ 5x. 故,

35. 例2. 解: = 1

36. 例3. 解: = 0 或, = 0 ·1= 0

37. m o t §2－7 函数的连续性 一、函数的连续性 例. 火箭升空时, 质量变化情形如图. 一般, 当 f (x)连续变化时, 其图形是一条连续曲线. m0 反之, 若 f (x)图形是一条连续曲线, f (x)则是连续变化的. t0

38. y y o o x x y = (x) y = f (x) B f (x0) y y A y y y y x0 x0 x x x x x x0 x x0 从图上可看出, (x)在x0间断. 但f (x)在x0连续. (x)在x0的极限不存在, 而

39. 定义1.设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义. 且 则称f (x)在x0连续, x0称为f (x)的连续点. 否则称f (x)在x0间断, x0称为f (x)的间断点, 或称为不连续点. 由于当f (x)为多项式时, 有 所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.

40. 连续定义也可用 语言给出。 若对 >0, >0,使得当|xx0|<时, 对应的函数值f (x)满足| f (x)  f (x0) |< 则称f (x)在x0处连续. 注:与极限定义比较, 将"a"换成"f (x0)" 将"0<|xx0|< "换成" |xx0|< ".

41. 若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在开区间(a, b)内连续. 记作 f (x)C(a, b). 其中 C(a, b)表示在(a, b)内连续的函数全体所成集合. 若f (x)在(a, b)内连续, 且f (x)在x=a右连续. 在x=b左连续. 则称f (x)在闭区间[a, b]上连续. 记作 f (x)C[a, b].

42. 一般, 设变量u从初值u0变到终值u1, 记u=u1u0, 称为变量u的增量(改变量). u可正, 可负, 还可为0. 另外,u1 = u0+ u

43. 设f (x)在U(x0)有定义, xU(x0), 记 x =xx0 称为自变量x在x0处增量(改变量). 且 x = x0 + x 记 y = f (x)  f (x0) = f (x0+ x)  f (x0) 称为y在x0处相应于x的增量(改变量).

44. (令x = xx0) 连续定义可用函数的增量的形式给出. 定义3.设y=f (x)在U(x0)有定义. 若当x = xx00时, 有y=f (x0+x)f (x0)0 则称f (x)在x0连续.

45. y o x 如图. y=(x) C y=CD的长 A y B=(x0) D x>0 x0 x0+ x

46. y o x y=f (x) y= –(MN的长) C y=CD的长 y M f (x0) D N x>0 x<0 x0+x x0 x0+x

47. 二、连续函数的基本性质 定理2.若f (x), g(x)在点 x0处连续, 则 (1) af (x)+bg(x)在x0处连续, 其中a, b为常数. (2) f (x) ·g(x)在x0连续. (3) 当g(x0)0时,

48. 定理3.设若y=f [(x)]由 y=f (u), u=(x)复合而成. 若u=(x)在x0连续, u0=(x0), 而y=f (u)在u0 连续, 则复合函数y=f [(x)]在x0连续. 要证y=f [(x)]在x0连续, 只须证>0, >0, 当|x–x0|< 时, 有| f [(x)] –f [(x0)]|<. 即可. 证:

49. >0, 因y=f (u)在u0连续, 故 > 0, 当|u–u0|<, 有| f (u) – f (u0)|< . 又因u=(x)在x0连续. 从而对上述 > 0, >0, 当|x–x0|<时, 有|u–u0|= |(x) – (u0)|< . 进而有 | f [(x)] – f [(x0)]| = | f (u) –f (u0)|<  故y=f [(x)]在x0连续.

50. 将这个定理与P52,定理2比较, 这里少了条件"Û (x0), 使得在Û (x0)内, (x)  u0". 这是因为f (u)在u0连续.