Power Series

1. Power Series 2301520 Fundamentals of AMCS

2. อนุกรมกำลัง (Power Series) • อนุกรมกำลังเป็นอนุกรมอนันต์ที่อยู่ในรูปของ โดยที่ เป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่ n cเป็นค่าคงที่ xเป็นตัวแปร • เราเรียกอนุกรมนี้ว่าเป็นอนุกรมกำลังมีศูนย์กลางที่ c(power series centered at c )

3. อนุกรมกำลัง (Power Series) • อนุกรมดังกล่าวอาจลู่เข้าสำหรับค่า x บางค่าและลู่ออกสำหรับค่า x ค่าอื่นๆ ยกตัวอย่างเช่นอนุกรม หากใช้ Ratio Test จะพบว่าอนุกรมดังกล่าวจะลู่เข้าเมื่อ และลู่ออกเมื่อ หรือ (example 1)

4. อนุกรมกำลัง (Power Series) • ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนดให้ เป็นอนุกรมกำลัง จะได้ว่าหนึ่งในสามข้อต่อไปนี้เป็นจริง • อนุกรมดังกล่าวลู่เข้าเมื่อ x=c เท่านั้น (R=0) • อนุกรมดังกล่าวลู่เข้าสำหรับ x ทุกๆค่า (R=∞) • มีจำนวนเต็มบวก R ที่ทำให้อนุกรมดังกล่าวลู่เข้าเมื่อ |x-c|<R และ ลู่ออกเมื่อ |x-c|>R • เราเรียกค่า R ว่าเป็นรัศมีของการลู่เข้า (radius of convergence)

5. อนุกรมกำลัง (Power Series) • นอกจากนี้ยังมีช่วงของการลู่เข้า(interval of convergence) ของอนุกรมกำลังซึ่งเป็นช่วงของค่า x ที่ทำให้อนุกรมลู่เข้า • ถ้าอนุกรม มีรัศมีของการลู่เข้า R ช่วงของการลู่เข้าเป็นไปได้สี่แบบคือ (c-R,c+R) (c-R,c+R] [c-R,c+R) [c-R, c+R]

6. เขียนฟังก์ชันในรูปของอนุกรมกำลังเขียนฟังก์ชันในรูปของอนุกรมกำลัง • บางฟังก์ชันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปอนุกรมกำลังได้ โดยอาศัยอนุกรมเรขาคณิต ทบทวน อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series) ซึ่งจะลู่เข้าสู่ เมื่อ |x|<1 • ยกตัวอย่างเช่น สามารถเขียนในรูปของอนุกรมกำลังได้เป็น ซึ่งลู่เข้าในช่วง (-2,2) (example 2)

7. เขียนฟังก์ชันในรูปของอนุกรมกำลังเขียนฟังก์ชันในรูปของอนุกรมกำลัง • ผลบวกในอนุกรมกำลังดังกล่าวเป็นผลบวกอนันต์ ลองมาดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเอามาเฉพาะผลบวกของพจน์แรกๆ กล่าวคือ สมมุติให้ (ซึ่งหมายความว่า ) โดยใช้ตัวอย่างและ (example 3)

8. Taylor and Maclaurin Series • ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้าฟังก์ชัน f(x) สามารถเขียนอยู่ในรูปอนุกรมกำลังที่มีศูนย์กลางที่ c ได้หรือ ถ้า จะได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์จะเป็น

9. Taylor and Maclaurin Series • เมื่อแทนค่า anลงไปในสมการจะได้ • อนุกรมกำลังดังกล่าวเรียกว่าอนุกรมเทย์เลอร์(Taylor Series) • ถ้าค่า c=0 อนุกรมดังกล่าวยังมีชื่อพิเศษขึ้นมาอีกว่า เป็น Maclaurin Series (example 4)