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乘法公式

乘法公式. 新湖國中 洪榮忠. 醒醒 ! 看這裡 !. 學習重點. 符號簡記與分配律. a 、 b 、 c 、 d 為任意數，利用分配律得 （ a ＋ b ）（ c ＋ d ）＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd. 完全平方式 和的平方公式：（ a ＋ b ） 2 ＝ a 2 ＋ 2 ab ＋ b 2 差的平方公式：（ a － b ） 2 ＝ a 2 － 2 ab ＋ b 2. 平方差公式：（ a ＋ b ）（ a － b ）＝ a 2 － b 2. 醒醒 ! 看這裡 !. 符號的簡記 與 乘法的交換律. a. 正方形的邊長＝ a. a.

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  1. 乘法公式 新湖國中 洪榮忠

  2. 醒醒! 看這裡! 學習重點 • 符號簡記與分配律 • a、b、c、d 為任意數，利用分配律得 • （a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd • 完全平方式 • 和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 • 差的平方公式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2 • 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

  3. 醒醒! 看這裡! 符號的簡記 與 乘法的交換律 a 正方形的邊長＝ a a a2 面積＝ ， a ×a 可簡記為 a 長方形的長、寬分別為 a、b b 面積＝ ， a ×b ab 可簡記為 b 長方形的面積＝長×寬＝寬×長 所以 ab＝ ba a 這就是乘法的交換律 乘法的交換

  4. a a a b b 醒醒! 看這裡! c c 分配律 a（ b＋c） 透過面積拼湊 ＋ 動畫 a（ b＋c） ab ac ＝ ＋ 面積   a（ b＋c） ＝ ab ＋ ac 說明   這就是乘法對加法的分配律 乘法對加法的分配 ＃

  5. a a a b b 醒醒! 看這裡! c c c b-c 分配律 a（ b－c） 透過面積拼湊 動畫 a（ b－c） ab ac ＝ － 面積   a（ b－c） ＝ ab － ac 說明   這就是乘法對減法的分配律 乘法對減法的分配 ＃

  6. a a 醒醒! 看這裡! a a a b b 分配律練習 下圖中，一個大長方形可以分割成邊長為a 的正方形與長、寬分別為 a、b的長方形， 原來大長方形的面積如何表示呢？在空格中，填入適當的文字符號。 ＝ ＋ 面積＝ a( a＋b ) ＝ a2 ＋ ab

  7. a a a b b b 醒醒! 看這裡! c c c c c c d d d d d d a a a b b b   (a＋b)(c＋d)＝ ac＋ad ＋bc ＋bd      透過面積拼湊  ac ab bd ad (a＋b)(c＋d) ＝ ac＋ad ＋bc ＋bd 面積 透過分配律 (a＋b)(c＋d) ＝ a(c＋d) ＋ b(c＋d) ＝ ac ＋ad ＋ bc ＋bd ＃

  8. 醒醒! 看這裡! (a＋b)(c＋d)＝ ac＋ad ＋bc ＋bd 例1 展開（2x－3）（x＋4）。 解 （2x－3）（x＋4）   ＝〔2x＋(－3) 〕 ( x＋4 )   ＝2x‧x＋2x‧4＋（－3）‧x＋（－3）‧4     ＝2x2 ＋ 8x ＋ （－3x） ＋ （－ 12） ＝2x2＋5x－12 ＃

  9. 醒醒! 看這裡! (a＋b)(c＋d)＝ ac＋ad ＋bc ＋bd 例1速算 展開（2x－3）（x＋4）。 解 （2x－3）（x＋4） ＝2x2＋8x－3x－12 ＝2x2＋ 5x －12 ＃

  10. 醒醒! 看這裡! (a＋b)(c＋d)＝ ac＋ad ＋bc ＋bd 練習1 展開下列各式： (1)（x－3）（5x－2） (2)（4x＋3）（x－2 ） 解 解 （x－3）（5x－2） （4x＋3）（x－2 ） ＝5x2－2x－15x＋12 ＝4x2－8x＋3x－6 ＝5x2 －17x ＋12 ＝4x2 －5x －6 ＃ ＃

  11. 醒醒! 看這裡! 分配律概念推廣 兩項式 × 三項式 例1推廣 展開（x＋y）（x2－xy＋y2） 解    （x＋y）（x2－xy＋y2）    ＝x‧x2 －x‧xy ＋x‧y2 ＋y‧x2 －y‧xy ＋y‧y2       ＝ x3 － x2y ＋ xy2 ＋ x2y － xy2 ＋ y3 ＝ x3＋y3 ＃

  12. 醒醒! 看這裡! 分配律概念推廣 兩項式 × 三項式 推廣練習 展開（x－y）（x2＋xy＋y2） 解    （x－y）（x2＋xy＋y2）    ＝x‧x2 ＋x‧xy ＋x‧y2 －y‧x2 －y‧xy －y‧y2       ＝ x3 ＋ x2y ＋ xy2 － x2y － xy2 － y3 ＝ x3－y3 ＃

  13. a a a b b b 醒醒! 看這裡! a a a a b b b b b a (a＋b)2＝ a2＋2ab ＋b2 和的平方公式 透過面積拼湊 a2 ba ab b2 (a＋b)2 ＝ a2＋ab ＋ba ＋b2 a2＋2ab ＋b2 面積 透過分配律 (a＋b)(a＋b) ＝ a(a＋b) ＋ b(a＋b) ＝ a2 ＋ab ＋ ba ＋b2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋b2 ＃

  14. 醒醒! 看這裡! (a＋b)2＝ a2＋2ab ＋b2 例2 利用和的平方公式，計算 812 解 （a ＋b）2 ＝ a2＋2‧ a ‧b ＋ b2 812 ＝（80＋1）2 ＝802＋2‧80‧1 ＋ 12 ＝6400＋ 160 ＋ 1 ＝ 6560 ＋ 1 ＝ 6561 ＃

  15. 醒醒! 看這裡! (a＋b)2＝ a2＋2ab ＋b2 例3 利用和的平方公式，計算 100.52 解 （ a ＋ b ）2 ＝ a2＋2‧ a ‧ b ＋ b2 100.52 ＝（100＋0.5）2 ＝ 100 2＋2‧100‧0.5 ＋ 0.52 ＝10000＋ 100 ＋0.25 ＝10100.25 ＃

  16. 醒醒! 看這裡! (a＋b)2＝ a2＋2ab ＋b2 練習2 利用和的平方公式，在下列空格內填入適當的數 932＝（90＋3）2＝902＋2‧80‧____ ＋_____ ＝________ 3 32 8589 2002 2052 ＝（200＋5）2＝_____＋2‧_____‧5＋52 ＝_______ 200 42025

  17. 醒醒! 看這裡! (a＋b)2＝ a2＋2ab ＋b2 例4 展開（x＋5）2 解 （a＋b）2 ＝ a2＋2‧a‧b ＋ b2 （ x＋5）2 ＝ x2 ＋2‧x‧5 ＋ 52 ＝ x2 ＋ 10x＋ 25 ＃ 例5 展開（2x＋3y）2 解 （ a ＋ b ）2 ＝ a2 ＋2‧ a ‧ b ＋ b2 （ 2x＋3y）2 ＝ (2x)2 ＋2‧(2x)‧(3y) ＋(3y)2 ＝ 4x2 ＋ 12xy＋ 9y2 ＃

  18. 醒醒! 看這裡! (a＋b)2＝ a2＋2ab ＋b2 練習3 展開下列各式： (1) （x＋9）2 (2) （3x＋4y）2 解 解 （x＋9）2 （3x＋4y）2 ＝(3x)2＋2‧3x‧4y ＋(4y)2 ＝x 2＋2‧x‧9 ＋ 92 ＝ x2 ＋18x ＋81 ＝ 9x2 ＋24x ＋16y2 ＃ ＃

  19. a a a a a-b b a-b b 醒醒! 看這裡! a a a a-b b b (a－b)2＝ a2－2ab ＋b2 差的平方公式 透過面積拼湊 － － (a－b)2 ＝ a2 ab b(a －b) 面積 ＝ a2 － ab － ba ＋b2 ＝ a2 －2ab ＋b2 ＃ 透過分配律 (a－b)2 (a－b)(a－b) ＝ a (a－b) － b (a－b) ＝ ＝ a2 －ab －ba ＋b2 ＝ a2－2ab ＋b2 ＃

  20. 醒醒! 看這裡! (a－b)2＝ a2－2ab ＋b2 例6 利用差的平方公式，計算 392 解 （a－b）2 ＝ a2－2‧ a ‧b ＋ b2 392 ＝（40－1）2 ＝402－2‧40‧1 ＋ 12 ＝1600－80 ＋1 ＝1521 ＃

  21. 醒醒! 看這裡! (a－b)2＝ a2－2ab ＋b2 例7 利用差的平方公式，計算 9.92 解 （ a －b ）2 ＝ a2－2‧ a ‧ b ＋ b2 9.92 ＝（10 －0.1）2 ＝ 102 －2‧ 10‧0.1＋ 0.12 ＝100 －2 ＋0.01 ＝98.01 ＃

  22. 醒醒! 看這裡! (a－b)2＝ a2－2ab ＋b2 練習4 利用和的平方公式，在下列空格內填入適當的數 1 12 1992＝（200－1）2＝2002－2‧200‧____ ＋_____ ＝________ 39601 0.952 ＝（1－0.05）2 ＝_____－2‧_____‧0.05＋0.052 ＝_______ 12 1 0.9025

  23. 醒醒! 看這裡! (a－b)2＝ a2－2ab ＋b2 例8 展開（x－5）2 解 （a－b）2 ＝ a2－2‧a‧b ＋ b2 （ x－5）2 ＝ x2 －2‧x‧5 ＋ 52 ＝ x2 －10x＋ 25 ＃ 例9 展開（2x－3y）2 解 （ a －b ）2 ＝ a2 －2‧ a ‧ b ＋ b2 （ 2x－3y）2 ＝ (2x)2 －2‧(2x)‧(3y) ＋(3y)2 ＝ 4x2 －12xy＋ 9y2 ＃

  24. 醒醒! 看這裡! (a－b)2＝ a2－2ab ＋b2 練習5 展開下列各式： (1) （x－9）2 (2) （3x－4y）2 解 解 （x－9）2 （3x－4y）2 ＝x 2－2‧x‧9 ＋ 92 ＝(3x)2－2‧3x‧4y ＋(4y)2 ＝ x2 －18x ＋81 ＝ 9x2 －24x ＋16y2 ＃ ＃

  25. a+b a+b a－b a－b a－b 醒醒! 看這裡! a (a＋b) (a－b) ＝ a2－b2 平方差公式 透過面積拼湊 a+b a b b b (a＋b) (a－b) ＝ a2－b2 面積 ＃ 透過分配律 ＋ (a＋b)(a－b) ＝ a(a－b ) b(a－ b) ＝ a2－ab ＋ ba －b2 ＝ a2 －b2 ＃

  26. 醒醒! 看這裡! (a＋b) (a－b) ＝ a2－b2 例10 利用平方差公式，計算 63 × 57 解 （ a＋b）（ a－b）＝ a2－b2 63 × 57 ＝（60＋3）（60－3） ＝ 602 －32 ＝3600－9 ＝3591 ＃

  27. 醒醒! 看這裡! (a＋b) (a－b) ＝ a2－b2 例11 利用平方差公式，計算 × 解 （ a＋b）（ a－b）＝ a2－ b 2 × ＝（10＋ ）（10－ ） ＝ 102 －( ) 2 ＝100 － ＝ ＃

  28. 醒醒! 看這裡! (a＋b) (a－b) ＝ a2－b2 練習6 1.利用平方差公式，在下列空格內填入適當的數 (1)202‧198＝(200＋ ______ ) (200－ ______) ＝( ______ ) 2－( ______ ) 2＝ ___________ 2 2 200 2 39996 100 100 (2) ‧ ＝( ______ ＋ ______ )( ______ － ______ ) ＝( ______ ) 2－( ______ ) 2＝ __________ 100 2.利用平方差公式，求1002‧998 的值。 1002‧998＝（1000＋2）（1000－2） ＝10002－22 ＝1000000－4＝999996 ＃

  29. 醒醒! 看這裡! (a＋b) (a－b) ＝ a2－b2 例12 利用平方差公式，展開（x＋2）（x－2） 解 （a＋b）（a－b）＝ a2－ b2 （x＋2）（x－2） ＝ x2－ 22 ＝ x2－ 4 ＃ 例13 利用平方差公式，展開（3x＋1）（3x－1） 解 （ a ＋b）（ a －b）＝ a2－ b2 （3x＋1）（3x－1） ＝ (3x)2－ 12 ＝ 9x2－1 ＃

  30. 醒醒! 看這裡! (a－b)2＝ a2－2ab ＋b2 練習7 展開下列各式： (1)（2a＋3）（2a－3） (2)（3a－5）（3a＋5） 解 解 （2a＋3）（2a－3） （3a－5）（3a＋5） ＝（2a）2－32 ＝（3a）2－52 ＝ 4a2 － 9 ＝ 9a2 －25 ＃ ＃

  31. 醒醒! 看這裡! 重點複習 • 分配律 ：a（ b＋c）＝ ab ＋ ac • a、b、c、d 為任意數，利用分配律得 • （a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd • 完全平方式 • 和的平方公式：（a＋b）2＝ a2＋2ab＋b2 • 差的平方公式：（a－b）2＝ a2－2ab＋b2 • 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝ a2－b2

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