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乘法公式. 新湖國中 洪榮忠. 醒醒 ! 看這裡 !. 學習重點. 符號簡記與分配律. a 、 b 、 c 、 d 為任意數,利用分配律得 ( a + b )( c + d )= ac + ad + bc + bd. 完全平方式 和的平方公式:( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 差的平方公式:( a - b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2. 平方差公式:( a + b )( a - b )= a 2 - b 2. 醒醒 ! 看這裡 !. 符號的簡記 與 乘法的交換律. a. 正方形的邊長= a. a.
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乘法公式 新湖國中 洪榮忠
醒醒! 看這裡! 學習重點 • 符號簡記與分配律 • a、b、c、d 為任意數,利用分配律得 • (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd • 完全平方式 • 和的平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2 • 差的平方公式:(a-b)2=a2-2ab+b2 • 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
醒醒! 看這裡! 符號的簡記 與 乘法的交換律 a 正方形的邊長= a a a2 面積= , a ×a 可簡記為 a 長方形的長、寬分別為 a、b b 面積= , a ×b ab 可簡記為 b 長方形的面積=長×寬=寬×長 所以 ab= ba a 這就是乘法的交換律 乘法的交換
a a a b b 醒醒! 看這裡! c c 分配律 a( b+c) 透過面積拼湊 + 動畫 a( b+c) ab ac = + 面積 a( b+c) = ab + ac 說明 這就是乘法對加法的分配律 乘法對加法的分配 #
a a a b b 醒醒! 看這裡! c c c b-c 分配律 a( b-c) 透過面積拼湊 動畫 a( b-c) ab ac = - 面積 a( b-c) = ab - ac 說明 這就是乘法對減法的分配律 乘法對減法的分配 #
a a 醒醒! 看這裡! a a a b b 分配律練習 下圖中,一個大長方形可以分割成邊長為a 的正方形與長、寬分別為 a、b的長方形, 原來大長方形的面積如何表示呢?在空格中,填入適當的文字符號。 = + 面積= a( a+b ) = a2 + ab
a a a b b b 醒醒! 看這裡! c c c c c c d d d d d d a a a b b b (a+b)(c+d)= ac+ad +bc +bd 透過面積拼湊 ac ab bd ad (a+b)(c+d) = ac+ad +bc +bd 面積 透過分配律 (a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = ac +ad + bc +bd #
醒醒! 看這裡! (a+b)(c+d)= ac+ad +bc +bd 例1 展開(2x-3)(x+4)。 解 (2x-3)(x+4) =〔2x+(-3) 〕 ( x+4 ) =2x‧x+2x‧4+(-3)‧x+(-3)‧4 =2x2 + 8x + (-3x) + (- 12) =2x2+5x-12 #
醒醒! 看這裡! (a+b)(c+d)= ac+ad +bc +bd 例1速算 展開(2x-3)(x+4)。 解 (2x-3)(x+4) =2x2+8x-3x-12 =2x2+ 5x -12 #
醒醒! 看這裡! (a+b)(c+d)= ac+ad +bc +bd 練習1 展開下列各式: (1)(x-3)(5x-2) (2)(4x+3)(x-2 ) 解 解 (x-3)(5x-2) (4x+3)(x-2 ) =5x2-2x-15x+12 =4x2-8x+3x-6 =5x2 -17x +12 =4x2 -5x -6 # #
醒醒! 看這裡! 分配律概念推廣 兩項式 × 三項式 例1推廣 展開(x+y)(x2-xy+y2) 解 (x+y)(x2-xy+y2) =x‧x2 -x‧xy +x‧y2 +y‧x2 -y‧xy +y‧y2 = x3 - x2y + xy2 + x2y - xy2 + y3 = x3+y3 #
醒醒! 看這裡! 分配律概念推廣 兩項式 × 三項式 推廣練習 展開(x-y)(x2+xy+y2) 解 (x-y)(x2+xy+y2) =x‧x2 +x‧xy +x‧y2 -y‧x2 -y‧xy -y‧y2 = x3 + x2y + xy2 - x2y - xy2 - y3 = x3-y3 #
a a a b b b 醒醒! 看這裡! a a a a b b b b b a (a+b)2= a2+2ab +b2 和的平方公式 透過面積拼湊 a2 ba ab b2 (a+b)2 = a2+ab +ba +b2 a2+2ab +b2 面積 透過分配律 (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a2 +ab + ba +b2 = a2 + 2ab +b2 #
醒醒! 看這裡! (a+b)2= a2+2ab +b2 例2 利用和的平方公式,計算 812 解 (a +b)2 = a2+2‧ a ‧b + b2 812 =(80+1)2 =802+2‧80‧1 + 12 =6400+ 160 + 1 = 6560 + 1 = 6561 #
醒醒! 看這裡! (a+b)2= a2+2ab +b2 例3 利用和的平方公式,計算 100.52 解 ( a + b )2 = a2+2‧ a ‧ b + b2 100.52 =(100+0.5)2 = 100 2+2‧100‧0.5 + 0.52 =10000+ 100 +0.25 =10100.25 #
醒醒! 看這裡! (a+b)2= a2+2ab +b2 練習2 利用和的平方公式,在下列空格內填入適當的數 932=(90+3)2=902+2‧80‧____ +_____ =________ 3 32 8589 2002 2052 =(200+5)2=_____+2‧_____‧5+52 =_______ 200 42025
醒醒! 看這裡! (a+b)2= a2+2ab +b2 例4 展開(x+5)2 解 (a+b)2 = a2+2‧a‧b + b2 ( x+5)2 = x2 +2‧x‧5 + 52 = x2 + 10x+ 25 # 例5 展開(2x+3y)2 解 ( a + b )2 = a2 +2‧ a ‧ b + b2 ( 2x+3y)2 = (2x)2 +2‧(2x)‧(3y) +(3y)2 = 4x2 + 12xy+ 9y2 #
醒醒! 看這裡! (a+b)2= a2+2ab +b2 練習3 展開下列各式: (1) (x+9)2 (2) (3x+4y)2 解 解 (x+9)2 (3x+4y)2 =(3x)2+2‧3x‧4y +(4y)2 =x 2+2‧x‧9 + 92 = x2 +18x +81 = 9x2 +24x +16y2 # #
a a a a a-b b a-b b 醒醒! 看這裡! a a a a-b b b (a-b)2= a2-2ab +b2 差的平方公式 透過面積拼湊 - - (a-b)2 = a2 ab b(a -b) 面積 = a2 - ab - ba +b2 = a2 -2ab +b2 # 透過分配律 (a-b)2 (a-b)(a-b) = a (a-b) - b (a-b) = = a2 -ab -ba +b2 = a2-2ab +b2 #
醒醒! 看這裡! (a-b)2= a2-2ab +b2 例6 利用差的平方公式,計算 392 解 (a-b)2 = a2-2‧ a ‧b + b2 392 =(40-1)2 =402-2‧40‧1 + 12 =1600-80 +1 =1521 #
醒醒! 看這裡! (a-b)2= a2-2ab +b2 例7 利用差的平方公式,計算 9.92 解 ( a -b )2 = a2-2‧ a ‧ b + b2 9.92 =(10 -0.1)2 = 102 -2‧ 10‧0.1+ 0.12 =100 -2 +0.01 =98.01 #
醒醒! 看這裡! (a-b)2= a2-2ab +b2 練習4 利用和的平方公式,在下列空格內填入適當的數 1 12 1992=(200-1)2=2002-2‧200‧____ +_____ =________ 39601 0.952 =(1-0.05)2 =_____-2‧_____‧0.05+0.052 =_______ 12 1 0.9025
醒醒! 看這裡! (a-b)2= a2-2ab +b2 例8 展開(x-5)2 解 (a-b)2 = a2-2‧a‧b + b2 ( x-5)2 = x2 -2‧x‧5 + 52 = x2 -10x+ 25 # 例9 展開(2x-3y)2 解 ( a -b )2 = a2 -2‧ a ‧ b + b2 ( 2x-3y)2 = (2x)2 -2‧(2x)‧(3y) +(3y)2 = 4x2 -12xy+ 9y2 #
醒醒! 看這裡! (a-b)2= a2-2ab +b2 練習5 展開下列各式: (1) (x-9)2 (2) (3x-4y)2 解 解 (x-9)2 (3x-4y)2 =x 2-2‧x‧9 + 92 =(3x)2-2‧3x‧4y +(4y)2 = x2 -18x +81 = 9x2 -24x +16y2 # #
a+b a+b a-b a-b a-b 醒醒! 看這裡! a (a+b) (a-b) = a2-b2 平方差公式 透過面積拼湊 a+b a b b b (a+b) (a-b) = a2-b2 面積 # 透過分配律 + (a+b)(a-b) = a(a-b ) b(a- b) = a2-ab + ba -b2 = a2 -b2 #
醒醒! 看這裡! (a+b) (a-b) = a2-b2 例10 利用平方差公式,計算 63 × 57 解 ( a+b)( a-b)= a2-b2 63 × 57 =(60+3)(60-3) = 602 -32 =3600-9 =3591 #
醒醒! 看這裡! (a+b) (a-b) = a2-b2 例11 利用平方差公式,計算 × 解 ( a+b)( a-b)= a2- b 2 × =(10+ )(10- ) = 102 -( ) 2 =100 - = #
醒醒! 看這裡! (a+b) (a-b) = a2-b2 練習6 1.利用平方差公式,在下列空格內填入適當的數 (1)202‧198=(200+ ______ ) (200- ______) =( ______ ) 2-( ______ ) 2= ___________ 2 2 200 2 39996 100 100 (2) ‧ =( ______ + ______ )( ______ - ______ ) =( ______ ) 2-( ______ ) 2= __________ 100 2.利用平方差公式,求1002‧998 的值。 1002‧998=(1000+2)(1000-2) =10002-22 =1000000-4=999996 #
醒醒! 看這裡! (a+b) (a-b) = a2-b2 例12 利用平方差公式,展開(x+2)(x-2) 解 (a+b)(a-b)= a2- b2 (x+2)(x-2) = x2- 22 = x2- 4 # 例13 利用平方差公式,展開(3x+1)(3x-1) 解 ( a +b)( a -b)= a2- b2 (3x+1)(3x-1) = (3x)2- 12 = 9x2-1 #
醒醒! 看這裡! (a-b)2= a2-2ab +b2 練習7 展開下列各式: (1)(2a+3)(2a-3) (2)(3a-5)(3a+5) 解 解 (2a+3)(2a-3) (3a-5)(3a+5) =(2a)2-32 =(3a)2-52 = 4a2 - 9 = 9a2 -25 # #
醒醒! 看這裡! 重點複習 • 分配律 :a( b+c)= ab + ac • a、b、c、d 為任意數,利用分配律得 • (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd • 完全平方式 • 和的平方公式:(a+b)2= a2+2ab+b2 • 差的平方公式:(a-b)2= a2-2ab+b2 • 平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2