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曲线和曲面上的积分

曲线和曲面上的积分. 曲面积分 2. 曲面积分. 第一型曲面积分定义. 设 [a,b] R k , :[a,b]  R n (nk+1), 正则 , S= ([a,b]), h: SR, 如果 h  L([a,b]), 就说 hL(S), 并且定义 称其为 h 在 S 上的第一型曲面积分 面积元. 第一型曲面积分与质量.

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曲线和曲面上的积分

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Presentation Transcript

  1. 曲线和曲面上的积分 曲面积分 2.曲面积分

  2. 第一型曲面积分定义 • 设[a,b]Rk, :[a,b]  Rn (nk+1), 正则, S= ([a,b]), h: SR, 如果hL([a,b]), 就说hL(S), 并且定义 称其为h在S上的第一型曲面积分 • 面积元

  3. 第一型曲面积分与质量 • 设S是一个物质面, 假设它的厚度与其广度相比小得可以不计, 也就是把它看成是一个正则曲面, 假设它的密度函数r(x)是S上的连续函数, 那么这块物质面的总质量M是r(x)在S上的第一型曲面积分

  4. 用微元法推导公式(*) • 微元法：分块-近似-求和-取极限 • 分块: 将曲面S分成m块S1,…, Sm, 记DSk为Sk的体积 (k=1,…,m) • 近似: 取xkSk, 用r(xk)DSk近似Sk上的质量(在使用中也简写成r(xk)ds) • 求和: 把各段的近似加起来Sr(xk)DSk • 取极限: 令最大块的直径趋于零, 其极限定义为总质量

  5. 第一型曲面积分例1 • 设S为R3中的抛物面型物体, 其密度函数为r(x,y,z)=z,计算其质量 解: S的面积元为

  6. 第一型曲面积分例1(续) • 利用极坐标变换

  7. n-1维球面的面积 • Rn中的半径为r的球面 的参数表示 其中12n-1) 

  8. n-1维球面的面积(续1) • 其面积元为 • 因此 的面积为

  9. 微元法推导曲面质心 • 设S是一个物质曲面, 其密度函数r(x). 计算其质心P. • 解: 与曲线棒的情形类似 • 分块-近似: xkr(xk)ds,r(xk)ds • 近似质心: Sxkr(xk)ds/Sr(xk)ds • 取极限得到质心公式:

  10. 第二型曲面积分 • 第二型线积分的定义 • 第二型线积分与流量(通量)

  11. 几点说明 • 第二型曲面积分是在可定向,也就是双侧曲面上定义的 • 要定义一般超曲面上的第二型曲面积分, 需要引入其他工具(张量和微分形式), 这里仅讨论n-1维双侧曲面上第二型曲面积分,此时只需要用到向量的概念 • 一个n-1维正则曲面是双侧的充分必要条件是在其上面存在一个连续的单位法向量场

  12. 中的单侧曲面例子: Möbius带 • 下面是Möbius带的一个例子

  13. Möbius带(续1)

  14. Möbius带(续2) • 计算偏导数

  15. Möbius带(续3) • 法向量

  16. Möbius带(续4) • 考察在(0,v)上的方向量场N(0,v) 当v变到v+2p时, 曲面上的点回到原处, 二法向 量方向翻转, 这表明Möbius带是单侧曲面.

  17. 第二型曲面积分的定义 • 设SRn(n>1)为n-1维双侧正则曲面, : [a,b] Rn是其一个正则表示, N为S上的连续单位法向量场. F为S上的一个向量场. 如果F NL(S),就将其积分定义为向量场F关于S的N侧的第二型曲面积分, 记为 • 第二型曲面积分可以自然地推广到分片光滑曲面 • 称w=F Nds= F 1dx2…dxn+…+ Fndx1…dxn-1为(n-1)-微分形式, 上述积分也叫(n-1)-微分形式w沿曲面S的积分 • 注意: 第二型曲面积分与S的侧或方向有关,也就是与单位法向量场的选择有关

  18. 第二型曲面积分的计算 • 设SRn为n-1维正则曲面, : [a,b] Rn是其 正则表示, 由(t)自然给出S的一个非零连续法 向量场, 它可以以行列式的形式写成

  19. 第二型线积分的计算(续) • 因此, 当所选的S方向与上面的N一致时

  20. 外微分记号 • 我们也用下面的记号 • 对n=3的情形

  21. 第二型曲面积分例1 • 设S为Rn中的球面|x|=r, 向量场F(x)=x,计算F关于S外侧的第二型曲面积分. • 解: S的单位外法向量场N=x/r, 这就有 因此

  22. 第二型曲面积分例2

  23. 第二型曲面积分例2(续1) • 计算： 其中S为四面 体: x+y+z1, x0, y0, z0表面的外侧. • 解: 向量场: F=(x+1,y,1), 对S四个面分别考虑 • S1: z=1- x-y, 0 x +y1, x0, y0, N=(1,1,1)

  24. 第二型曲面积分例2(续2) • S2: x=0, 0 y+z1, y0, z0, N=(-1,0,0) • S3: y=0, 0 x+z1, x0, z0, N=(0,-1,0)

  25. 第二型曲面积分例2(续3) • S4: z=0, 0 x+y1, x0, y0, N=(0,0,-1) • 所以

  26. 第二型曲面积分与流量 • 下面用微元法导出流量场F穿过曲面S,关于其法向(瞬时)总流量的第二型曲面积分表达式. • 设S是Rn中的一个光滑曲面, F是 Rn中的一个流量场,N是S的一个连续单位法向量场，计算F流过曲面S,关于N侧的总流量 • 分块: 将曲面S分成m片S1,…, Sm, 记DSk为Sk的面积 (k=1,…,m)

  27. 第二型曲面积分与流量(续) • 近似: 取xkSk, 用F(xk)N(xk)DSk近似Sk上的流量 (在使用中也简写成F(xk)N(xk) ds) • 求和: 把各片的近似加起来SF(xk)N(xk)DSk • 取极限: 令最大块的直径趋于零, 其极限定义为总流量

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