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第四章 向量空間

第四章 向量空間. 4.1 R ⁿ 的向量 4.2 向量空間 4.3 向量空間的子空間 4.4 生成集合與線性獨立 4.5 基底與維度 4.6 矩陣的秩與線性方程式系統 4.7 座標與基底變換 －簡介－ 4.8 向量空間的應用 － skip －. 4.1 R ⁿ 的向量. 平面上的 向量 (vector) 以一個有方向的線段來表示，它的起始點為原點而終點為. ( x 1 , x 2 ). ( x 1 , x 2 ). x. 向量可以用 有序數對 (ordered pair) 的方式來表示。 x =

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第四章 向量空間

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  1. 第四章向量空間 4.1 Rⁿ的向量 4.2 向量空間 4.3 向量空間的子空間 4.4 生成集合與線性獨立 4.5 基底與維度 4.6 矩陣的秩與線性方程式系統 4.7 座標與基底變換 －簡介－ 4.8 向量空間的應用 －skip－

  2. 4.1 Rⁿ的向量 • 平面上的向量(vector)以一個有方向的線段來表示，它的起始點為原點而終點為 (x1, x2) (x1, x2) x • 向量可以用有序數對(ordered pair)的方式來表示。 x = 座標 x1和 x2稱為向量x的分量(components)。 • n維空間的向量可以表示成有序的n項(ordered n-tuple)。所有有序n項所構成的集合稱為n維空間(n-sapace)並表示為Rⁿ。 (x1, x2)

  3. 基本的向量運算 • 令u = (u1, u2, …, un)，v = (v1, v2, …, vn)為兩向量，而c為一純量（實數）定義兩個向量基本運算如下： • 向量加法(vector addition) u + v = (u1, u2, …, un) + (v1, v2, …, vn) = (u1 + v1, u2 + v2, …, un + vn) • 純量乘積(scalar multiplication) cu = (cu1, cu2, …, cun)

  4. Rⁿ上兩個向量，u = (u1, u2, …, un)，x = (x1, x2, …, xn)相等(equal)若且唯若u1 = x1, u2 = x2, …, un= xn。 • 一個分量全為零的向量0 = (0, 0, …, 0),稱為零向量(zero vector)。 • –u = (–u1, –u2, …, –un)稱為u之負向量(negative vector)。 • 兩向量之差(difference)定義為： u – v = (u1 – v1, u2 – v2, …, un – vn)

  5. 範例： 假設u = (0, –4, 3)和v = (1, 3, –2)為R3中的兩向量，求下列各向量： (a) u + v(b) 3u (c) v – 3u 解： (a) u + v = (0, –4, 3) + (1, 3, –2) = (1, –1, 1) (b) 3u = 3(0, –4, 3) = (0, –12, 9) (c) 利用(b)的結果， v – 3u= (1, 3, –2) – (0, –12, 9) = (1, 15, –11)

  6. 定理4.2 向量加法與純量乘法的性質 令u，v與w為Rⁿ中的向量，c與d為純量。 1. u + v為Rⁿ中之向量。 2. u + v = v + u (交換性，commutative) 3. (u + v) + w = u + (v + w) (結合性，associative) 4. u + 0 = u(0為加法單位元素) 5. u + (u) = 0 (u為的u加法反元素) 6. cu為Rⁿ中之向量。 7. c(u + v) = cu + cv 8. (c +d)u = cu+ du 9. c(du) = (cd)u 10. 1u= u

  7. 範例： • 令u = (2, 1, 5, 0)，v = (4, 3, 1, 1)與w = (6, 2, 0, 3)為R4中的向量，求下列中各個x向量。 (a) x = 2u  (v + 3w) (b) 3(x + w) = 2uv + x • 解： (a) x = 2u v 3w = 2(2, 1, 5, 0) (4, 3, 1,  1)  3(6, 2, 0, 3) = (44+18, 236, 101+0, 0+19) = (18, 11, 9, 8) (b) 3(x + w) = 2uv + x 3x + 3w = 2uv + x 2x = 2uv  3w x = (1/2)(2u v 3w) 利用(a), x= (1/2)(18, 11, 9, 8) = (9, 11/2, 9/2, 4)

  8. 定理4.3 加法單位元素與加法反元素的性質 令v為Rⁿ中的向量，c為純量。則下列的性質為真： 1. 加法單位元素具有唯一性。 2. 加法反元素具有唯一性。 3. 0v = 0 4. c0 = 0 5. 若cv = 0，則c = 0或v = 0。 6. (v) = v

  9. 向量x = c1v1 + c2v2 + … + cnvn稱為向量v1, v2, …與vn的線性組合(linear combination)。 • 範例： 令向量分別為x = (1, 2, 2)，u = (0, 1, 4)，v = (1, 1, 2)以及w = (3, 1, 2)。找出純量a，b與c使得 x = au + bv+ cw。 解：代入向量(1, 2, 2) = a(0, 1, 4) + b(1, 1, 2) + c(3, 1, 2) = (b+3c, a+b+c, 4a+2b+2c) 比較各個分量： b + 3c = 1 a + b + c = 2 4a +2b + 2c = 2 利用第一章的方法（高斯或是高斯喬登消去法）可得 a = 1，b = 2 ，c = 1。故x = u + (2)v + (1)w。

  10. 摘要與複習 (4.1節之關鍵詞) • vector : 向量 • ordered pair : 有序數對 • component : 分量 • zero vector : 零向量 • ordered n-tuple: 有序n項 • n-space: n維空間 • additive identity: 加法單位元素 • additive inverse: 加法反元素 • linear combination: 線性組合

  11. 4.2 向量空間(Vector Space) • 向量空間的定義 令V為一集合且定義兩個運算（向量加法與純量乘法）於其上。若對每個V上的向量u, v, w及每個純量c, d都符合下列公理時，則稱V為一個向量空間。 1. u + vV （加法封閉性） 2. u + v = v + u（加法交換性） 3. u + (v + w) = (u + v) + w（加法結合性） 4. u + 0 = uuV（加法單位元素) 5.  uV使得 u + (u) = 0uV（加法反元素） 6. cuV （純量乘積的封閉性） 7. c(u + v) = cu + cv（分配性） 8. (c +d)u = cu+ du（分配性） 9. c(du) = (cd)u（結合性） 10. 1u= u（純量單位元素）

  12. 範例： • 具有標準運算的平面空間是一個向量空間。 • 具有標準運算的Rⁿ是一個向量空間。 • 所有23矩陣的向量空間。 • 所有2次及2次以下多項式的向量空間。 令P2為下列形式之多項式所構成的集合 此處的與利用常用之多項式加法與（常數）純量之乘法可證明P2為一向量空間。 • 連續函數的向量空間。（微積分）

  13. 重要的向量空間一覽表 R = 所有實數所構成的集合 R2 = 所有有序數對所構成的集合 R3 = 所有有序三項所構成的集合 Rn = 所有有序n項所構成的集合 C(, ) = 定義在實數線上所有連續函數的集合 C[a, b] = 定義在閉區間[a, b]上所有連續函數的集合 P = 所有多項式的集合 Pn = 所有小於或等於n次的多項式的集合 Mm,n= 所有mn矩陣的集合 Mn,n= 所有nn方陣的集合

  14. 範例： • 所有整數的集合不是一個向量空間 • 說明： 所有整數的集合（具有標準運算），在純量（實數）乘積下並不具封閉性。 c =⅓為一純量，u= 1為一整數。但 cu = (⅓)(1) = ⅓非為整數。 • 注意：只要十個向量空間公理中有一個不符，就足以證 明這個集合不為向量空間。

  15. 範例： • 二次多項式的集合不是一個向量空間 • 說明：二次多項式的加法並不具有封閉性。 很明顯的，p(x) + q(x)並不為一個二次多項式。 故，二次多項式並不為向量空間。 • 注意：所有二次及二次以下之多項式所成的集合則構成 一個向量空間。

  16. 範例： • 令V為所有有序數對的集合，它具有標準的加法運算，而其純量成法則定義如下：c(x1, x2) = (cx1, 0)。試證明V不是一個向量空間。 • 證明：這個例子滿足向量空間的前九個公理，但不滿足 第十個公理：1u = u, uV。 令u = (2, 3)，則 1u = 1(2, 3) = (12, 0) = (2, 0)  u。

  17. 4.3 向量空間的子空間 • 定義： 一個向量空間V的非空子集合W被稱為空間V的子空間(subspace)，若W在V的加法和純量乘法的運算下仍為一個向量空間。 • 範例： 證明W = {(x1, 0, x3)x1與x3都是實數}是標準運算下三維空間的子空間。 證明：(0, 0, 0)W，因此W為三維空間的非空子集合。又可發現W可視為三維空間中的xz-平面。故能滿足十個向量空間的公理。 ▓

  18. 定理4.5 子空間的測試 • 若W是向量空間V的非空子集合，則W是V的子空間若且唯若下面的條件成立。 1. 若u, vV，則u + vV 2. 若uV，且c為任意純數，則cuV • 注意： 1. 若W是向量空間V的子空間，則W與V必須有相同的零 向量。 2. 一個向量空間之最小的子空間為只有由零向量所構成的空間，W = {0}，這個子空間被稱為零子空間(zero subspace)。 3. V的另一個明顯子空間(trivial subspace)為其本身。 4. 零子空間與本身之外的子空間均稱成為非顯然(non-trivial)子空間。

  19. 範例： • 令W為所有22對稱矩陣的集合，在矩陣加法與純量乘法的標準運算下，證明W為向量空間M2,2的子空間。 • 證明：(a) 零矩陣[0]為對稱矩陣，故[0]W。 (b) 若A, B W，則 。 且 ，即A + B W。 (c) 若AW且c是任意純量，則 ，即cAW。 根據定理4.5可知W為M2,2的一個子空間。 ▓

  20. 範例： • 奇異矩陣集合不是Mn,n的子空間。 • 證明：令W為奇一矩陣所成的集合。 W在向量加法中，並不具有封閉性。令 則 因此， W不是Mn,n的子空間。 ▓

  21. 範例： • 第一象限的集合不是二維空間的子空間。 證明在標準運算下W = {(x1, x2)x1>0與x2>0}不是二維空間的子空間。 • 證明： 這個集合在純量乘法下並不封閉。 (1, 1)W，且1為一純量。 但(1)(1, 1) = (1, 1)W。 因此， W不是二維空間的子空間。 ▓

  22. 範例： • 令W1 = 定義在區間[0, 1]中所有多項式函數的集合 W2 =定義在區間[0, 1]中所有可微分函數的集合 W3 =定義在區間[0, 1]中所有連續函數的集合 W4 =定義在區間[0, 1]中所有可積分函數的集合 W5 =定義在區間[0, 1]中所有函數的集合 • 則我們可以檢驗出 W1 W2  W3  W4  W5

  23. 定理4.6 兩個子空間的交集也是個子空間 • 若V與W都是向量空間U的子空間，則V與W的交集（標示為VW）也是U的子空間。 • 證明： 利用定理4.5。 假設x, y  VW，則x, y  V且x, y  W。 因為V與W皆為U之子空間，所以x+yV且x+yW， 即x+y VW。 若c為任意純量， xVW，同樣的理由，我們可得 cxVW。 故， VW也是U的子空間。 ▓ • 注意：一般而言，兩個U的子空間的聯集並不會是個U的 子空間。

  24. 範例：判斷二維空間之子空間 • 下列子集合中，哪一個是二維平面空間的子空間？ (a) 直線x + 2y = 0上所有點的集合。 (b) 直線x + 2y = 1上所有點的集合。 (c) 由單位圓 上所有點所成的集合。 • 解：(a)直線x + 2y = 0為通過原點（零向量）的直線，其上 任意兩個向量的和與純量乘積，依然都在此直線上。 所以，此集合為平面空間的子空間。 (b)直線x + 2y = 1沒有通過零向量，也就是說此集合並 不包含零向量，故不為子空間。 (c) 與(b)相同的原因，此集合亦非平面空間之子空 間。況且其加法亦無封閉性。

  25. 範例：判斷三維空間之子空間 • 下列子集合中，哪一個是三維平面空間的子空間？ (a) W = {(x1, x2, 1)x1與x2都是實數} (b) W = {(x1, x1+x2, x2)x1與x2都是實數} • 解：(a) 零向量0 = (0, 0, 0)W，所以W不是子空間。 (b) 對任意兩向量 w1 = (x1, x1+x2, x2), w2 = (y1, y1+y2, y2)W， w1+w2 = (x1+ y1, x1+x2+ y1+y2, x2+ y2)W。 對向量w1 = (x1, x1+x2, x2)及任意純量c， cw1 =(cx1, cx1+cx2, cx2) W。 所以，此集合W為三維空間的子空間。

  26. 摘要與複習 (4.3節之關鍵詞) • subspace: 子空間 • zero subspace: 零子空間 • trivial subspace: 明顯子空間 • nontrivial subspace: 非明顯子空間

  27. 4.4 生成集合與線性獨立 • 定義： 在向量空間V中的向量v稱為在V中向量u1, u2, …, un的線性組合(linear combination)，如果可以寫成以下形式， v = c1u1 + c2u2 + … +cnun，其中c1, c2, …, cn為純量。 • 範例： 令v1=(1, 3, 1)，v2=(0, 1, 2)，v3=(1, 0, 5)，則v1是v2與v3的線性組合。因為，(1, 3, 1) = 3(0, 1, 2) + (1, 0, 5)。也就是說， v1 = 3v2 + v3。

  28. 範例： • 令 則，v1是v2，v3與v4的線性組合，因為

  29. 範例： • 將向量w = (1, 1, 1)寫成集合S中向量之線性組合。 S = {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 0, 1)} • 解： 找出c1，c2與c3使得 (1, 1, 1) = c1(1, 2, 3) + c2(0, 1, 2) +c3(1, 0, 1) = (c1c3, 2c1+c2, 3c1+2c2+c3) 得到下列之線性方程式系統 c1 c3 = 1 2c1+ c2 = 1 3c1+2c2+c3 = 1 利用高斯－喬登消去法，可得解 c1 = 1+t， c2 = 12t，c3 = t。 所以，我們可得w = 2v13v2+v3。

  30. 範例： • 將向量w = (1, 2, 2)寫成集合S中向量之線性組合。 S = {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 0, 1)} • 解：利用相同的過程，得到下列之線性方程式系統 c1c3 = 1 2c1+ c2 =  2 3c1+2c2+c3 = 2 利用高斯－喬登消去法，可得下列之廣增矩陣 從第三列可知這個方程式系統無解，所以w不 能表成v1，v2與v3的線性組合。

  31. 定義： 令S = {v1, v2, …, vn}為向量空間V的子集合。若在V中的每個向量均可寫成S中向量之線性組合，則稱S為V的生成集合。這種情況稱為S生成V (S spans V.)。 • 範例： S = {(1, 0), (0, 1)}為平面空間的生成集合。因為所有平面中之向量u = (x1, x2)都可寫成u = x1(1, 0) + x2(0, 1)。 同理， S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}為三維空間的生成集合。

  32. 範例： • 試證明S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (2, 0, 1)}生成R3。 • 證明：令u = (u1, u2, u3)為R3中之任意向量。考慮等式： u = (u1, u2, u3) = c1(1, 2, 3) + c2(0, 1, 2) + c3(2, 0, 1) 若其係數矩陣是可逆的（非奇異的），則能找到 c1，c2與c3。 c1 2c3 = u1 2c1 + c2 = u2 3c1 + 2c2 + c3 = u3 其係數矩陣之行列式不為零，可知其係數矩陣為可 逆的。故S生成R3。 ▓ • 注意：從4-30頁範例可知S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 0, 1)}無法生成R3。因為w = (1, 2, 2) R3，但不能表示 成S中向量的線性組合。

  33. 定義： 令S = {v1, v2, …, vk}為向量空間V的向量集合。則S的生成(span of S)就是所有在S中之向量的線性組合所構成的集合。span(S) = {c1v1+c2v2+…+ckvkc1, c2, …, ckR} S的生成表示為span(S)或是span {v1, v2, …, vk} 。 若span(S) = V，可以說V由生成S或S是生成V。 • 定理4.7: 若S = {v1, v2, …, vk}為向量空間V的向量集合，則span(S)為V的子空間，而且，span(S)為中包含集合S的最小子空間。也就是說，任何包含的S子空間必然包含span(S) 。

  34. 範例： • 令S = {v1, v2, v3}為R3的任意子集合。試證明span(S)為R3之子空間。 • 證明：x, y  span(S)， a1, a2, a3b1, b2, b3使得 x = a1v1 + a2v2 + a3v3 y = b1v1 + b2v2 + b3v3 則x + y = (a1+b1)v1 + (a2+b2)v2 + (a3+b3)v3 span(S)。 對任意純量c，cx = ca1v1 + ca2v2 + ca3v3  span(S)。 所以，span(S)為R3之子空間。 ▓

  35. 定義： 在向量空間V中的向量集合S = {v1, v2, …, vk}被稱為線性獨立(linear independent)，若下列向量方程式 c1v1 + c2v2 + … + ckvk = 0 只有一個顯然解(trivial solution)， c1 = c2 = …= ck = 0。若有非顯然解(nontrivial solution)，則S被稱為線性相依(linear dependent)。 • 範例： (a) 在R2中的集合S = {(1, 2), (2, 4)}為線性相依。因為， 2(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。 (b) 在R2中的集合S = {(1, 0), (0, 1), (2, 5)}為線性相依。 因為，2(1, 0)  5(0, 1) + (2, 5) = (0, 0)。 (c) 在R2中的集合S = {(1, 2), (0, 0)}為線性相依。因為， 0(1, 2) + 2(0, 0) = (0, 0)。

  36. 範例： • 判斷S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (2, 0, 1)}在向量空間R3中為線性獨立還是線性相依。 • 解： 考慮下列之向量方程式是否有唯一解（即，顯然 解）： c1(1, 2, 3) + c2(0, 1, 2) +c3(2, 0, 1) = (0, 0, 0) (c1 c3, 2c1 + c2, 3c1 + 2c2 + c3) = (0, 0, 0) 可得下列之線性方程式系統： c1  2c3 = 0 2c1 + c2 = 0 3c1 + 2c2 + c3 = 0 利用4-32頁的結果，可知這個系統只有顯然解。因 此，S為線性獨立。

  37. 測試線性獨立與線性相依之方法 • 令S = {v1, v2, …, vk}為向量空間V的向量集合。為了判斷為S線性相依或是線性獨立，可執行下列的步驟： 1. 考慮向量方程式c1v1 + c2v2 + … + ckvk = 0 ，並將其表為 以，c1，c2，… 與ck為變數的齊次線性方程式系統。 2. 利用高斯－喬登消去法來檢驗系統是否只有唯一解（即，顯然解）。 3. 若系統只有顯然解，則集合S為線性獨立，否則（系統有非顯然解）集合S為線性相依。

  38. 範例： • 判斷S = {1+x 2x2, 2+5x x2, x+x2}在P2中的向量集合為線性獨立或線性相依。 • 解： c1(1+x 2x2)+c2(2+5x x2)+c3(x+x2) = 0 (c1+2c2) + (c1+5c2+c3)x + (2c1 c2+c3)x2 = 0 可得下列之齊次線性方程式系統 c1 + 2c2 = 0 c1 + 5c2+c3 = 0 2c1 c2+c3 = 0 利用高斯消去法簡化這個系統的廣增矩陣如下：

  39. 這表示系統有無限多組解，即系統有非顯然解。因此可以判斷S為線性相依。這表示系統有無限多組解，即系統有非顯然解。因此可以判斷S為線性相依。

  40. 範例： • 判斷S在M2,2中的向量集合為線性獨立或線性相依。 解： 可產生下列的線性方程式系統 2c1 + 3c2 + c3 = 0 c1 = 0 2c2 + 2c3 = 0 c1 + c2 = 0

  41. 利用高斯消去法簡化系統的廣增矩陣如下： 因此，這個系統有唯一的顯然解。所以，可知集合S為 線性獨立。 因此，

  42. 範例： • 判斷S = {(1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 2), (0, 3, 1, 2), (0, 1, 1, 2)}在R4中的向量集合為線性獨立或線性相依。 • 解： c1(1, 0, 1, 0)+c2(1, 1, 0, 2)+c3(0, 3, 1, 2)+c4(0, 1, 1, 2) = 0 可產生下列的線性方程式系統 c1 + c2 = 0 c2 + 3c3 + c4 = 0 c1 + 2c3c4 = 0 c2 2c3 + 2c4 = 0 利用高斯消去法簡化這個系統的廣增矩陣如下：

  43. 這個系統有唯一的顯然解。所以，可知集合S為線性獨立。這個系統有唯一的顯然解。所以，可知集合S為線性獨立。

  44. 摘要與複習 (4.4節之關鍵詞) • spanning set : 生成集合 • linear dependent :線性相依 • linear independent : 線性獨立

  45. 4.5 基底與維度 • 定義：在向量空間V中的向量集合S = {v1, v2, …, vn}被稱為V的基底(basis)，若下列的情況成立： 1. S生成V 。 2. S為線性獨立。 • 注意：若向量空間V有一個由有限個向量所形成的基底，則稱V是有限維度的(finite dimensional)。反之，則稱V為無限維度的(infinite dimensional)。

  46. 範例： • 說明S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}為R3的基底。 解：(x, y, z) R3， (x, y, z) = x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1)。 因此，S生成R3。 而且，向量方程式 c1(1, 0, 0) + c2(0, 1, 0) + c3(0, 0, 1) = 0 只有顯然解，也就是說，S為線性獨立。 因此，S為R3的基底。 ▓ • 注意：向量e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), …, en = (0, 0, …, 1)稱為Rn的標準基底。

  47. 證明S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (2, 0, 1)}為R3的基底。 • 解：在4-32頁的範例中可知S為R3的生成集合，在4-36頁 的範例中可知S為線性獨立。因此，S是R3的基底。 • 證明S = {1, x, x2, x3}為向量空間P3的基底。 • 解：已知P3為所有次數 3的多項式所成的集合。 p P3，p = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 （S的線性組合) 要證明為線性獨立，必須證明 a0 + a1x + a2x2 + a3x3 = 0(x) （零向量；零多項式）， 只有唯一解a0 = a1 =a2 = a3= 0。此為零多項式的定 義：所有的係數都為零。因此，S為的P3生成集 合，而且線性獨立，故為P3的基底。

  48. 注意： 1. 向量e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), …, en = (0, 0, …, 1)稱為Rn的標準基底。 2. S = {1, x, x2, x3}為P3的標準基底。 3. S =為M2,2的標準基底。

  49. 定理4.9 • 若S = {v1, v2, …, vn}是向量空間V的基底，則V中的每一個向量都可唯一表示成S中向量的線性組合。 • 證明：令uV，則u可表為S中向量的線性組合。若有兩 種表示法：即 u = c1v1 + c2v2 + … + cnvn u = b1v1 + b2v2 + … + bnvn 0 = u u= (c1 b1)v1 + (c2 b2)v2 + … + (cnbn)vn 因為S為線性獨立，所以方程式只有顯然解，即 (c1 b1) = (c2 b2) = … = (cnbn) = 0。 也就是說， c1 =b1，c2 =b2， … ，cn=bn。 因此，的u表示法唯一。 ▓

  50. 範例： • 已知u=(2, 0, 0)是向量空間R3中的向量。由4-47頁之範例已知S = {v1=(1, 2, 3), v2=(0, 1, 2), v3=(2, 0, 1)}為R3的基底。試u將寫成S中向量的唯一線性組合表示法。 • 解：(2, 0, 0) = c1(1, 2, 3) + c2(0, 1, 2) + c3(2, 0, 1) = (c12c3, 2c1+c2, 3c1+2c2+c3) c1 2c3 = 2 2c1 + c2 = 0 3c1 + 2c2 + c3 = 0 利用高斯－喬登消去法：

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