10. SAVIJANJE TANKIH I DEBELIH PLOČA

1. SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO – ARHITEKTONSKI FAKULTET 10. SAVIJANJE TANKIH I DEBELIH PLOČA Nastavnici: Prof. dr. sc. Blaž Gotovac Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić Maja Karačić Marko Abram Akad. god. 2012/13

2. SAVIJANJE TANKIH PLOČA 1. Kirchoff-Loweova teorija PRETPOSTAVKE: Točke koje prije deformiranja ploče leže na pravcu okomitom na ravninu ploče i nakon deformiranja ostaju na istom pravcu okomitom na srednju plohu deformirane ploče (modificirana Bernoulli-Navierova hipoteza ravnih presjeka) Progibi ploče su mali u odnosu na njezinu debljinu Mogu se zanemariti izduženja i promjene kuteva u srednjoj ravnini, te se smatra da elementi srednje plohe ostaju nedeformirani. Elastične karakteristike materijala ploče pri rastezanju i sabijanju su iste. Materijal ploče je izotropan. Elastična ploha ploče uzima se u sredini konstantne debljine t, gdje se nalazi i srednja ravnina. Zanemaren je doprinos poprečnih sila na deformiranje ploče.

3. promatranjem deformacije presjeka ploče x= const Komponente deformacija za element plohe koji se nalazi na udaljenosti z od srednje ravnine i paralelan je s njom:

4. U smjeru z se pojavljuju deformacije kao rezultat deformiranja u smjerovima x i y, te zbog naprezanja zzkoje na rubu izloženom djelovanju opterećenja ima veličinu p, dok je na rubu koji nije opterećen jednako nuli. Može se uzeti da se po debljini ploče raspodjeljuje linearno Naprezanje zz je relativno malo u odnosu na komponente naprezanja xx yy pase utjecaj tog naprezanja na deformacije u smjeru osi z praktično mogu zanemariti Komponente naprezanja kao funkcije pomaka: POSLJEDICA SAVIJANJA PLOČE U DVA OKOMITA SMJERA APROKSIMATIVNI IZRAZI ZA ZAKRIVLJENOST POSLJEDICA VITOPERENJA POČETNO RAVNE PLOČE VITOPERENJE PLOČE z = 0 – NEUTRALNI SLOJ

5. zx i yz se pojavljuju zbog poprečnih sila u presjeku! U srednjoj je ravnini rezultanta komponenti jednaka nuli, no svakoj od tih odgovara po jedan moment, odnosno poprečna sila: MOMENTI SAVIJANJA PO JEDINICI DULJINE PLOČE MOMENTI TORZIJE PO JEDINICI DULJINE PLOČE KRUTOST PLOČE NA SAVIJANJE

7. Jednadžbe ravnoteže: Zanemarene su veličine drugog reda:

8. Poprečne sile kao funkcije pomaka: NEHOMOGENA PDJ ČETVRTOG REDA KOJOM JE OPISAN OBLIK DEFORMIRANE PLOČE UNUTAR RUBA MOŽE SE RAZVITI U DVIJE DJ 2. REDA :

9. 1.1 Unutarnje sile u kosim presjecima • OPĆI SLUČAJ: • - momenti savijanja • momenti torzije • poprečne sile. Raspodjela naprezanja je linearna; Neutralni sloj je u sredini debljine ploče. Raspodjela posmičnih naprezanja je parabolična s maksimalnim naprezanjem u visini neutralnog sloja

11. Određivanje momenata: INVARIJANTA:

12. Za momente u pločama se mogu primijeniti konstrukcije Mohrovih kružnica, kako za određivanje smjerova i veličina glavnih momenata kada su poznati Mxx, Myy, Mxy, tako i za određivanje momenata Mnn, Mtt, Mntkada su poznati glavni momenti. veličine GLAVNIH MOMENATA smjerovi GLAVNIH MOMENATA INVARIJANTA:

13. Određivanje poprečnih sila: kada su poznati Mxx, Myy, Mxy Mogu se za kosi presjek odrediti veličine Mnn, Mtt, Mnt, Qn, Također je moguće provjeriti stanje naprezanja ili deformacija na rubovima ploče ili na mjestima oslanjanja

14. 1.2 Rubni uvjeti JEDNADŽBA PLOČE Pri rješavanju problema ploče morabiti zadovoljeno: RUBNI UVJETI uvjeti na mjestu oslanjanja ploče ovise o načinu oslanjanja i učvršćenja na rubovima KINEMATIČKI (geometrijski) DINAMIČKI (prirodni) - pomaci (w) - kutovi zaokreta (n) - momenti savijanja (Mn) - poprečne sile (Qn)

15. Presjek A-A Na slobodno oslonjenom rubu rubni su uvjeti pomak i moment savijanja, a na upetom rubu pomak i kut zaokreta. Presjek B-B Na upetom rubu rubni uvjeti su kut zaokreta i poprečna sila, a za slobodni rub moment savijanja i poprečna sila. MOMENTI TORZIJE SU RAZLIČITI OD NULE, NO NJIHOVE VELIČINE NISU POZNATE. Za slučajeve kada su strogo ispunjeni rubni uvjeti, morale bi se rubne veličine podudarati s vanjskim momentom savijanja, vanjskim momentom torzije i vanjskom poprečnom silom. Kada bi se postavila tri rubna uvjeta, zadatak bi bio previše složen, pa se rješenje ploče w(x,y) može pojednostaviti i odrediti iz samo dva rubna uvjeta .

17. Prilagodba izvođenja rješenja s dva rubna uvjeta: PRETPOSTAVKA: Rubni momenti torzije se zamjenjuju sa statički ekvivalentnim i ravnomjerno raspodijeljenim dopunskim posmičnim silama koje se superponiraju sa silama posmika na rubu. Umjesto zahtjeva da u pojedinim rubnim točkama momenti torzije i sile posmika moraju pojedinačno biti iste s odgovarajućim vanjskim momentima i silama, traži se samo da to poklapanje postoji kod posmičnih sila povećanih za dopunske sile posmika.

18. na odsječku ds može se zamijeniti s odgovarajućim spregom sila čiji je krak ds Prilagodba izvođenja rješenja s dva rubna uvjeta: Na rubovima elementa međusobno se poništavaju udjeli Mntiz ovih sila i ostaju diferencijske sile koje po jedinici rubne duljine imaju veličinu U slučaju neizmjerno malih duljina elemenata DOPUNSKE POPREČNE SILE UKUPNE POPREČNE SILE REDUCIRANI RUBNI UVJETI St. Venantov princip: stanje naprezanja se neće značajno promijeniti ako se momenti torzije na rubu zamijene dopunskim poprečnim silama.

19. Prilagodba izvođenja rješenja s dva rubna uvjeta: UKUPNE POPREČNE SILE REDUCIRANI RUBNI UVJETI St. Venantov princip: stanje naprezanja se neće značajno promijeniti ako se momenti torzije na rubu zamijene dopunskim poprečnim silama.

20. Na priključne odsječke rubova djeluju momenti torzije Kada se ovi momenti zamijene s ekvivalentnim spregovima sila, na kraju svakog slobodno oslonjenog ruba ostat će po jedna koncentrirana sila. PRAVOKUTNA PLOČA ista na oba kraja REZULTIRAJUĆA KONCENTRIRANA SILA U KUTU SLOBODNO OSLONJENE PRAVOKUTNE PLOČE Ukoliko se želi zadovoljiti uvjet da nema progiba u kutu slobodno oslonjene pravokutne ploče, potrebno je konstruktivno spriječiti odizanje ploče u kutovima, a to se najčešće čini posebnim usidrenjima.

21. Sile u osloncima su Za slučaj potpuno slobodnog ruba ploče x=const., rubni se uvjeti mogu napisati koristeći izraze: Za slučajslobodno oslonjenog ruba x=const. neće biti progiba i momenta savijanja NAVIEROVI RUBNI UVJETI Za slučaj kada je rub ploče x=const. potpuno upet, tada su rubni uvjeti: nema utjecaja momenata torzije

22. 2. Rješenja u zatvorenom obliku Pri izravnom rješavanju problema ploče zaključuje se o općem karakteru funkcije w(x,y) na temelju diferencijalne jednadžbe ploče i rubnih uvjeta, a zatim se u općem rješenju diferencijalne jednadžbe određuju nepoznate konstante. Ovih rješenja ima malo i odnose se na najjednostavnije slučajeve. Velik broj rješenja dobiva se približnim postupcima pri kojima se ostavlja jedan dio rubnih uvjeta nezadovoljenim, ili zadovoljenim samo do određene granice. Rješavanje problema ploče se pojednostavljuje ukoliko se primjenjuje simetrija ili antisimetrija, gdje se pretpostavlja da vrijedi princip superpozicije. Funkcije koje predstavljaju rješenje problema ploče su biharmonijske funkcije, ili njima slične funkcije. Već obični polinomi drugog ili trećeg stupnja daju rješenja za neke probleme ploča. Kada se promatraju pomaci u pravcu koordinatne osi z, uvjet ravnoteže je: a jednadžba za rješenje ploče u zatvorenom obliku je: Ukoliko je moguća integracija navedene linearne nehomogene parcijalne diferencijalne jednadžbe četvrtog reda za elastičnu površinu ploče w(x,y) pod zadanim opterećenjem p(x,y), uzimajući u obzir sve rubne uvjete, tada se može dobiti strogo rješenje problema, odnosno rješenje u zatvorenom obliku.

23. Pravokutna ploča a) Rješenje u obliku polinoma RUBNI UVJETI: OPĆE RJEŠENJE: POMAK: Izraz za konzolni štap opterećen koncentriranom silom P na slobodnom kraju: debljina ploče t štap pravokutnog poprečnog presjeka VRIJEDI ZA SVE PLOČE ČIJE SU DEFORMACIJSKE PLOHE CILINDRIČNE

24. OPĆI IZRAZ ZA POMAK: + četiri rubna uvjeta i diferencijalna jednadžba ploče Za opterećenje kod kojeg intenzitet raste linearno, pomak je izražen funkcijom petog stupnja: MOMENTI SAVIJANJA:

25. b) Slobodno oslonjena pravokutna ploča opterećena po sinusnoj površini DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA PLOČE: RUBNI UVJETI: NAJVEĆI MOMENTI I MAKSIMALNI PROGIB SU U SREDIŠTU PLOČE

26. Uvrste se koordinate središta ploče u izraze za progib i momente: Opterećenje raspodijeljeno po površini ploče u obliku

27. Kružna ploča Pogodnija je primjena polarnih koordinata r,. Laplaceov diferencijalni operator: Ako postoji osna simetrija, točke srednje površine ploče koje se definiraju polarnim koordinatama imat će pomake w koji su neovisni o kutu  JEDNADŽBA OSNOSIMETRIČNO OSLONJENE I OSNOSIMETRIČNO OPTEREĆENE KRUŽNE PLOČE IZRAŽENA U POLARNIM KOORDINATAMA : OPĆE RJEŠENJE: ili

28. PARTIKULARNI INTEGRAL POMOĆU RUBNIH UVJETA Može se odrediti NEPOSREDNOM INTEGRACIJOM IZRAZI ZA UNUTARNJE SILE:

29. (za ) INVARIJANTA MOMENTA SAVIJANJA: PARTIKULARNI INTEGRAL: Kružna ploča opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem Opće rješenje progiba: =0

30. a) Jednoliko opterećena kružna ploča koja je slobodno oslonjena na rubu r = a RUBNI UVJETI: Slobodno oslonjena kružna ploča • Maksimalni progib dobije se za r = 0: • Momenti u presjecima: • Za središte ploče:

31. Upeta kružna ploča b) Potpuno upeta kružna ploča po vanjskom rubu r = a RUBNI UVJETI: • Maksimalni progib dobije se za r = 0: • Momenti u presjecima: • Momenti za upeti rub r=a: • Za središte ploče:

32. Jednoliko opterećena kružna prstenasta ploča • Osnosimetrično opterećena jednolikim opterećenjem • Može biti oslonjena: - na vanjskom ili na unutarnjem rubu, - na vanjskom i na unutarnjem rubu zajedno. • Najčešće se razmatraju slučajevi osnosimetrično slobodno oslonjenih i upetih rubova • Na svakom se rubu trebaju zadovoljiti po dva rubna uvjeta POSTAVKA RJEŠENJA MORA SADRŽAVATI ČETIRI SLOBODNE VRIJEDNOSTI Opće rješenje progiba: Partikularni integral:

33. Različiti slučajevi kružne prstenaste ploče

34. Opće rješenje progiba: RUBNI UVJETI: ( Primjer b) sa slike! )

35. Izrazi za momente:

36. Ako uz konstantnu vrijednost opterećenja P radijus Koncentrirana sila u središtu kružne ploče Ukupno opterećenje ploče ima vrijednost: • Maksimalni progib dobije se za r = 0: • Momenti u presjecima:

37. Slobodno oslonjena istostranična ploča Trokutasta ploča • Opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem p • Poznato je odgovarajuće rješenje progiba u zatvorenom obliku: +

38. ZADOVOLJENI RUBNI UVJETI: + • Izrazi za moment: • Maksimalni progib: NE NALAZI SE U TEŽIŠTU! • Momenti u težištu trokuta (x=0, y=0): • Maksimalni momenti duž y = 0 su:

39. Rješenja u otvorenom obliku • Rješenje se često samo pretpostavi, pa se zatim traži obrnutim postupkom. • Vrijedi princip superpozicije za linearne probleme. Navierovo rješenje za slobodno oslonjenu pravokutnu ploču Neka na ploču prikazanu na Crtežu djeluje bilo kakvo opterećenje p IZRAZIMO PREKO FOURIEROVA DVOSTRUKOG REDA KAO NEPARNA FUNKCIJA S KOORDINATAMA X I Y: ODREĐENI VRSTOM I RASPODJELOM OPTEREĆENJA p SMATRAJU SE POZNATIM Za progibnu plohu uvodi se funkcija w(x,y) istog tipa: =?

40. Za slobodno oslonjenu ploču vrijede sljedeći rubni uvjeti: ZADOVOLJAVA RUBNE UVJETE UVRSTIMO U JEDNADŽBU PLOČE Jednadžba je ispunjena u svakoj točki (x,y) ukoliko za svaki par brojeva m,n vrijedi odnos:

41. Opterećenje koncentriranom silom u proizvoljnoj točki Neka u ovom slučaju koncentrirana sila P djeluje u točki (u,v) pravokutnika s Crteža PRETPOSTAVKE: