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高等数学教学课件 分部积分法湄洲湾职业技术学院傅仙发

换元积分法是一种重要的积分法，可以求许多函数的积分。但还有一些积分无法计算，如换元积分法是一种重要的积分法，可以求许多函数的积分。但还有一些积分无法计算，如等，像以上这样的积分都不能利用基本积分表和换元积分法计算。本节将从函数乘积的微分公式出发，导出另一种基本积分法——分部积分法。回忆：函数乘积的微分运算法则？设函数，具有连续导数。则

上式称为不定积分的分部积分公式。这一公式说明，若计算积分上式称为不定积分的分部积分公式。这一公式说明，若计算积分较困难，而积分易于计算，则可以使用分部积分法计算。应用分部积分公式求积分的方法称为分部积分法。移项积分即或

（＋） 微分积分（－）为方便记忆和应用，可将分部积分公式列表：分部积分列表法的算法：左列函数依次求微分，右列函数依次求积分，横向函数相乘再积分，斜向函数相乘不积分，符号选择依次取正负。正负交错，左微右积，斜向相乘，横向积分。

例1 求解，，设则，。所以

显然，选择不当，积分更难进行。 求例2 解两个不同类型函数乘积的积分，换元法失效。，若取，则，改取，则，，

应用分部积分法求积分时，一般需要将被积函数的应用分部积分法求积分时，一般需要将被积函数的一部分“凑微分”，并当作，剩余部分当作函数，因此分部积分法的关键在于适当地选取和。和的选取应注意：易于由直接求得，而比更易于计算。当分部积分法熟练后，可不必明确地设出和，而直接应用公式。分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分。

例3 求解

例4 求解

有时，在一些较复杂的积分问题中，有可能需要多次应用分部积分法，这时使用分部积分列表法更方便。有时，在一些较复杂的积分问题中，有可能需要多次应用分部积分法，这时使用分部积分列表法更方便。例5 求解

若用分部积分列表法，可直接写出结果： （＋）（－）（＋）（－）

注意循环形式 例6 求解有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解此方程求出积分。

例7 求解

应用分部积分法的常见积分形式及和 的选取方法： ⑴ ，，，一般可设，被积表达式的其余部分设为。 ⑵ ，，，一般可设，被积表达式的其余部分设为。上述情况换为多项式时仍然成立，常数也视为幂函数。 ⑶ ，，既可设，也可设。但一经选定，再次分部积分时，必须仍按原来的选择。

先用换元积分法。令，则 ，。所以例8 求解（再用分部积分法）可见，有的积分问题需要同时用到换元积分法和分部积分法。

如，，等。 不定积分的方法较多，思路也比较开阔，各种解法都有自己的特点，学习中要注意不断积累经验。应该注意：虽然初等函数在其定义区间内一定存在原函数族，但有些原函数族不是初等函数，无法用解析式表达。即初等函数在其定义区间内一定可积，但有些初等函数的积分却无法表达。换元积分法、分部积分法只能解决一些简单的不定积分。在实际应用中，如果遇到较复杂的不定积分，需要借助积分表查出积分结果，或借助数学软件在计算机上求出积分结果。但初学者还应要求掌握积分方法，并能利用不同的积分方法求简单的不定积分。

回去回顾分部积分法，并做完课后作业加以巩固回去回顾分部积分法，并做完课后作业加以巩固

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