Nim ?!

1. Nim?! Franka Miriam Brueckler PMF – Matematički odjel, Zagreb bruckler@math.hr

2. Osnovno o nimu • Najpoznatija matematička igra • Igra za dva igrača • Ime je igri dao Charles LeonardBouton 1901. • Poznate su scene u filmu L’AnnéeDernière à Marienbad (A. Resnais, 1961.) u kojima likovi u više navrata igraju nim • Smatra se da je ime izvedeno iz engleskog arhaičnog glagola nim koji znači „oduzeti, ukrasti“ ili pak iz njemačkog imperativa „Nimm!“ („Uzmi!“) • Na stolu se u nekoliko redova rasporede novčići (ili kamenčići ili koji drugi sitni predmeti)

3. Pravila • Igrač koji je na potezu smije uzeti 1 ili više kamenčića, ali samo s jedne hrpe (iz jednog reda) • Obični nim: pobjeđuje tko uzme zadnji kamenčić • Misère-nim: onaj koji uzme zadnji, gubi • Oznaka: (k, l, m, ...) = nim-igra u kojoj prvi red sadrži k, drugi l, treći m itd. kamenčića • Najčešća verzija igre: (3,4,5) • U filmu „L'Année dernière à Marienbad“ („Lani u Marienbadu“, 1961.) likovi igraju misère-nim (1,3,5,7)

4. Klasični nim Zadatak: Podijelite se u parove i odigrajte klasični nim nekoliko puta. Pokušajte otkriti ovisi li mogućnost pobjede o tome jesi li prvi ili drugi na potezu te koja je pametna strategija. Također pokušajte otkriti što je pametno pokušati izbjeći kad si na potezu.

5. Lako se vidi da… • Nim ne može završiti neodlučeno • Nim završava u konačno mnogo koraka • Oba igrača imaju potpunu informaciju, tj. u svakom trenutku igre znaju sve izvedene poteze i sve mogućnosti daljnjih poteza • Svaki potez jednog igrača ostavlja drugome novu igru • Broj mogućih poteza je jednak ukupnom broju kamenčića

6. Stablo igre (3,4,5) Nim spada u stablaste igre – svaka igra nim može se prikazati dijagramom koji se u matematici zove (usmjerenim) stablom (3,4,5) (3,4) (3,4,1) (3,4,2) (3,4,3) (3,4,4) (3,5) (3,1,5) (3,2,5) (3,3,5) (4,5) (1,4,5) (2,4,5) … (3) (3,1) (3,2) (3,3) (4) (1,4) (2,4) … I. (3) (1) (1,1) (2,1) II. II. (1) (1,1) (2) (1) I. (1) I. I. II.

7. Prirodni ishodi • Pobjednička igra = prvi igrač neovisno o tome kako drugi igra može odabrati slijed poteza kojim dobiva (kaže se: prirodan ishod je pobjeda prvog) – pazi: to ne znači da je nemoguće da prvi izgubi! • Gubitnička igra = prirodan ishod je pobjeda drugog, tj. što god da igra prvi, drugi može naći potez kojim si osigurava pobjedu • Prirodan ishod je remi ako prvi može spriječiti pobjedu drugog i obrnuto (nemoguće u nimu) • Može se dokazati da svaka stablasta igra ima prirodan ishod (vidi zadnji slide) • Očigledno: igra je pobjednička ako i samo ako ju se jednim potezom može pretvoriti u gubitničku

8. Neke nim-igre sa (skoro) očiglednim prirodnim ishodima: • Prazna igra je gubitnička – onaj koji je na potezu ne može pobijediti jer nema kamenčića kojeg bi mogao uzeti • Igra (k) je pobjednička • Igra (k,k) je gubitnička • Dokaz: Matematičkom indukcijom po k; • baza: (1,1) – prvi mora uzeti 1 i time drugome ostavlja pobjedničku igru (1) • korak: ako su sve (l,l) za l<k gubitničke, gledamo igru (k,k); prvi protivniku može ostaviti neku od igara (k), (k,1), (k,2), ..., (k, k–1); u prvom slučaju drugi će uzeti svih k novčića i tako pobijediti, a u svim ostalim slučajevima drugi igrač može uzimanjem novčića iz reda u kojem ih je još k prvome ostaviti neku od gubitničkih igara (1,1), (2,2), ... , (k–1, k–1)

9. Pobjedničke igre: • (1,k) – prvi igrač uzimanjem k – 1 kamenčića protivniku može ostaviti gubitničku igru (1,1) • (1,k,k) – prvi igrač uzimanjem jednog kamenčića protivniku može ostaviti gubitničku igru (k,k) • (1,1,k) – prvi igrač uzimanjem k kamenčića protivniku može ostaviti gubitničku igru (1,1) • Za kl je (k,l) pobjednička – prvi može izjednačiti veličine hrpa i tako protivniku ostaviti gubitničku igru • Prva pouka o strategiji: ako možemo protivniku ostaviti dvije jednake hrpe, to učinimo!

10. Otkrijte sami… • Koje od sljedećih igara su pobjedničke, a koje gubitničke? • (1,2,3) • (1,3,4) • (1,4,5) • (1,5,6) • (1,6,7) • (1,7,8) • (2,3,4) • (2,3,5) • (2,4,6) • (2,9,10) • (2,10,12) • (2,12,18) • I • I • II • I • I • I • II • I • II • I • II • I

11. Poopćenja • (1,n,n+1) je pobjednička ako i samo ako je n neparan • (1,n,n+k) je pobjednička ako k2 • (k,n,n+1) je pobjednička ako n paran i k2 • Ako je (a,b,c) pobjednička/gubitnička, onda su takve i (2a,2b,2c) i (2a+1,2b+1,2c) • Igra (a,b,c) može biti gubitnička samo ako sadrži 0 ili 2 neparne hrpe (tj. igra s neparnim brojem neparnih hrpa je sigurno pobjednička)

12. Još nekoliko nim-teorema • Igra (a,b,c) s parnim brojem neparnih hrpa je gubitnička ako i samo je takva i igra koju bismo dobili da sa svih neparnih hrpa maknemo po 1 kamenčić • Igra (a,b,c) je gubitnička ako i samo ako (1) ima paran broj neparnih hrpa i (2) ako je gubitnička ona igra koju dobijemo tako da svakoj neparnoj hrpi maknemo 1 kamenčić i onda sve hrpe prepolovimo: • (182,147,37)  (91,73,18)  (45,36,9)  (22,18,4)  (11,9,2)  (5,4,1)  (2,2,0)  (1,1,0)  (0,0,0) = gubitnička

13. Koje od sljedećih igara su gubitničke? • (1,40,57) • (12,15,19) • (7,40,57) • (2,17,19)

14. O strategiji • Ako je igra s kojom si suočen pobjednička, znaš da ju (bar) jednim potezom možeš pretvoriti u gubitničku – koji je to potez? • Očito moraš pokušati ostaviti paran broj neparnih hrpa, no to ne mora biti dovoljno • Ako je (a,b,c) pobjednička, može ju se pretvoriti u gubitničku samo (ne)parnim potezom ako je a+b+c (ne)paran

15. Promotrimo malo…

16. Binarni brojevni sustav • Raspis broja po potencijama broja 2 ( … , 32, 16, 8, 4, 2, 1) • Npr. 42 = 32 + 8+ 1 = 1∙32 + 0∙16 + 1∙8 + 0∙4 + 0∙2 + 1∙1 = (101001)2 • Uoči: zadnja znamenka je 1 točno ako je broj neparan • Općenito: ako se sve potencije od 2 pojavljuju paran broj puta, nakon svakog poteza bar jedna će se pojaviti neparan broj puta, a ako se bar jedna pojavljuje neparan broj puta, postoji potez nakon kojeg će se sve pojavljivati paran broj puta • 2k > 2k–1 + 2k–2 + 2k–3 + … + 4 + 2 + 1, točnije: • 2k – 1 = 2k–1 + 2k–2 + 2k–3 + … + 4 + 2 + 1

17. Strategija • (11,37,34) • 11 = 001011 • 37 = 100101 • 34 = 100010 • Od 11 ostavimo 7 • (25,34,37) • 25 = 011001 • 34 = 100010 • 37 = 100101 • Od 25 ostavimo njih 7 • Igra (a,b,c) je gubitnička ako i samo ako se u binarnom zapisu brojeva a,b,c svaka potencija od 2 pojavljuje paran broj puta • Dakle, igrač na potezu treba eliminirati neparne pojave • Gleda se hrpa s najvećom „neuravnoteženom” potencijom od 2 • Strategija funkcionira i za igre s drugim brojem hrpa

18. Nim-zbroj • Zbrojimo binarne prikaze hrpa, bez prijenosa znamenki (1  1 = 0) • Npr. 153738 = 001111  100101  100110 = 001100 = X • Ekvivalentno: u mislima brojeve rastavimo na zbroj potencija od 2, usput krateći svake koje se dvaput pojave • Treba svaki potez završiti tako da protivniku ostane nim-zbroj 0, što je moguće ako to nije bio • Svaku hrpu zbrojimo s X i nađemo koja se time smanji (Y) i toj hrpi oduzmemo koliko treba do Y • Npr. (3,4,5) = (011, 100, 101): • X = 010  100  101 = 010 = 2, • 011  X = 001 < 011, 100  X = 110 > 100, 101  X = 111 > 101 • Dakle, od hrpe 3 = 011 oduzmemo 2 i ostane igra (1,4,5) s nim-zbrojem 0

19. Opet malo vi… • Pobijedite me! Želite li igrati prvi ili drugi? • Što treba napraviti da se protivniku ostavi gubitnička igra? • (11,42,45) • (9,42,45) • (9,34,37) • (25,34,37)

20. Neke srodne igre • „21”: hrpa s 21 kamenčićem; svaki igrač na potezu može uzeti 1, 2 ili 3 kamenčića • Dim: igrač na potezu može s bilo koje hrpe uzeti bilo koji broj kamenčića koji dijeli broj kamenčića u hrpi (pobjeđuješ kad protivnik više nema dozvoljenih poteza) • Prim: igrač na potezu može s bilo koje hrpe uzeti bilo koji broj kamenčića koji je relativno prost s brojem kamenčića u hrpi (pobjeđuješ kad protivnik više nema dozvoljenih poteza) • Oddly: ukupan broj kamenčića na početku je neparan, igra se kao nim, a pobjeđuje onaj kojem ostane neparan broj kamenčića • Odd Line Up: kao „21” s početkom i ciljem kao u Oddly

21. Literatura • AnatoleBeck, Michael N. Bleicher, Donald W. Crowe, ExcursionsintoMathematics (TheMilleniumEdition), A K Peters, Natick, Massachusetts, 2000. • Elwyn R. Berlekamp, JohnHortonConway, Richard K. Guy: Winningways for yourmathematicalplays, A K Peters, Ltd., 2003 • AlexanderBogomolny, CuttheKnot – InteractiveMathematicsMiscellanyandPuzzles, http://www.cut-the-knot.org/nim_st.shtml • MathematicalGames, http://www.madras.fife.sch.uk/maths/games/index.html • PlayNimagainstyourcomputer!, http://www.archimedes-lab.org/game_nim/play_nim_game.html • Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Nim

22. Svaka stablasta igra ima prirodan ishod • Dokaz: • Indukcijom po duljini igre (maksimalnom broju poteza do završetka igre). Baza: očigledna. • Korak: ako B u prvom potezu bira između k alternativa, odabirom svake prelazimo u inverznu igru kraću za 1, koja ima prirodan ishod. Stoga i igra bijelog ima prirodan ishod za svaki od početnih odabira. Ako je u ijednom od njih prirodan ishod pobjeda bijelog, on će birati odgovarajuću granu stabla i ukupna igra kao prirodan ishod ima pobjedu bijelog. Ako je za svaki početni odabir prirodan ishod pobjeda crnog, očito je to i prirodan ishod ukupne igre. Ako pak za neki početni odabir imamo podigru s remijem kao prirodnim ishodom, bijeli će odabrati tu opciju i prirodan ishod je remi.