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§3 函数的概念

§3 函数的概念. 函数是微积分主要的研究对象 . 但是微积分问世时，函数的一般定义还没有出现。随着数学研究范围的扩大，研究问题的深入，函数概念经历了由不全面到全面，不严密到严密的发展过程。. 一、函数概念的发展过程. 在 17 世纪，数学已经出现了三角函数，对数函数、指数函数、代数函数，超越函数等概念。当时还没有充分认识到函数概念。因此， 17 世纪引进的绝大部分函数是当作曲线来研究的。.

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§3 函数的概念

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Presentation Transcript

  1. §3 函数的概念 函数是微积分主要的研究对象.但是微积分问世时，函数的一般定义还没有出现。随着数学研究范围的扩大，研究问题的深入，函数概念经历了由不全面到全面，不严密到严密的发展过程。

  2. 一、函数概念的发展过程 在17世纪，数学已经出现了三角函数，对数函数、指数函数、代数函数，超越函数等概念。当时还没有充分认识到函数概念。因此，17世纪引进的绝大部分函数是当作曲线来研究的。 最早给出函数概念的明确定义的是James Gregrory,1667年，他的函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。”这最后一句话的意思，据他解释是“除了五种代数运算外，必须加上第六种运算即趋于极限的运算。”Gregory的函数定义是一系列运算的组合。

  3. 莱布尼茨首次用“ function ” 一词表示幂，即 1673年，他用 “ function ” 一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。 记号 是欧拉1743年引进的。当时，欧拉认为函数是一条可以随意描绘出的曲线。1748年欧拉把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式。 上述种种函数定义，用现在的观点看，无非是函数表示法中的解析表示法和图象表示法。

  4. 1775年欧拉又给出一个新的函数定义： 如果一个变量依赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。 虽然18世纪对函数概念有多种不同的抽象和理解，但占统治地位的函数概念是：函数是由一个解析表达式给出的。 从上述函数概念的发展变化过程可看出，这些函数概念是人们对各种具体的函数关系的不断和反复认识，经过抽象得出的，但都反映了一个量对另一量的依赖关系，都是“变化”和“运动”的辩证唯物主义观点的抽象。

  5. 在18世纪，由于函数概念的较全面、较完整的定义尚未形成，因而，在理论和实践上产生了许多尖锐的矛盾。最具代表性的是描述弦振动的偏微分方程的解的形式问题。描述与反映弦振动的数学形式是一个二阶偏微分方程，它的解是一个函数，由于这个方程的解是一个一般的函数，因而引起了长达几十年的关于函数的争论。后来，富里埃用三角级数表示了这个解析表达式，并用积分形式确定了三角级数的系数。这一发现使人们认识到解析表达式和曲线之间是可以互相转化的。它们不是函数的本质，只是函数的表现形式。

  6. 1837年高斯和雅可比（1804-1851）的学生，黎曼的指导老师狄利克雷（1805-1859）给出了一个函数定义，这个定义与现代的工科数学教材的定义十分接近。他说：“如果对于某区间上的每一个确定的x值，按照某一法则y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x函数。” 这个定义使我们可以将函数概念推广到以任何对象为元素的两个集合之间，这就极大地扩展了函数概念建立的基础，适应了现代数学对函数概念的需要。

  7. 数集D叫做这个函数的定义域 二、函数的定义 因变量 自变量

  8. 函数的两要素: 定义域与对应法则. 自变量 对应法则f 因变量 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.

  9. 　　如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．　　如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．

  10. y 1 x o -1 几个特殊的函数举例 (1) 符号函数

  11. (2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数 y 4 3 2 1 x o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 阶梯曲线

  12. y 1 • x o 无理数点 有理数点 (3) 狄利克雷函数

  13. y y x x o o (4) 取最值函数

  14. 例5 黎曼（Riemann）函数

  15. 对应法则用不同的 在自变量的不同变化范围中, 式子来表示的函数,称为分段函数.

  16. 三、函数的四则运算

  17. [问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例； 注（1）复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空 （2）复合函数可由多个函数相继复合而成。每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？ （3）不仅要会复合，更要会分解。把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化。 ① ② ③

  18. 五、反函数

  19. （1）并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数 有反函数，意味着 是Ｄ与 之间的一个一一映射，称 为映射 的逆映射，它把 ； （2）函数 与 互为反函数，并有: 注释：

  20. 直接函数与反函数的图形关于直线 对称.

  21. 五、初等函数 中学数学中已经熟悉的六类函数： 常量函数 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数

  22. 定义：给定实数 ，设 为无理数，我们规定： 注：幂函数和指数函数都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义。下面我们借助于确界来定义无理指数幂，使它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理指数幂的基本性质。 问题：这样的定义是否有意义？

  23. 基本初等函数 1、幂函数

  24. 2、指数函数

  25. 3、对数函数

  26. 4、三角函数 正弦函数

  27. 余弦函数

  28. 正切函数

  29. 余切函数

  30. 定义：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算 所得到的函数，统称为初等函数。 例如 不是初等函数的函数，称为非初等函数。 如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数。

  31. 有理整函数（多项式函数） 有理函数 代数函数 有理分函数（分式函数） 初等函数 无理函数 超越函数 函数 非初等函数（分段函数、有无穷多项等函数）

  32. 注： 初等函数所涉及到的初等运算，可分为初等代数运算(加、减、乘、除、有理数次乘方)和初等超越运算(无理数次乘方、对数运算、三角运算及反三角运算)两大类．故初等函数按照所涉及到的运算种类可分为初等代数函数与初等超越函数两大类． 　　由基本初等函数f(x)=x与常数函数只经过有限次算术四则运算(包括整数次乘方)得到的初等函数，称为有理函数．非有理函数的初等代数函数称为无理函数．有理函数又可分为有理整函数与有理分式函数．

  33. 初等函数是本课程研究的主要对象。 为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外， 还应掌握确定初等函数的定义域。 例．求下列函数的定义域。 （1） （2）

  34. ［作业］ P15　３；４:（２）、（３）；　５:（２）；　７:（３）；　１１

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