ΤΟ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΗΘΩΡΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ

1. ΤΟ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΗΘΩΡΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ

2. BIG BANGΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (SBB) ΕΠΙΤΥΧΙΜΕΝΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ Το Σύμπαν διαστέλλεται Η έντονη μετατόπιση των φασματικών γραμμών των μακρινών γαλαξιών προς το ερυθρόλόγω φαινομένου Doppler επαληθεύουν το Νόμο του Hublle. Η ύπαρξη υπολειμματικής ακτινοβολίας υποβάθρου με θερμοκρασία 2,725 Κ και με μεγάλη ομοιογένεια και ισοτροπία. Η αφθονία των ελαφρών ισοτόπων Η ισοτροπία Ο ουρανός φαίνεται ο ίδιος σε όλες τις διευθύνσεις με ακρίβεια 1:105 Η ομοιογένεια Σε οποιαδήποτε θέση ο παρατηρητής βλέπει το ίδιο.

3. ΑΝΕΠΑΡΚΙΕΣ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Πρόβλημα ορίζοντα Ο ορίζοντας κάθε περιοχής < ακτίνα Σύμπαντος Άρα είναι αδύνατη η επικοινωνία κάθε περιοχής και δε δικαιολογείται η μεγάληομοιομορφία 1:105 της CMB

4. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΠΙΠΕΔΟΤΗΤΑΣ Για R→0 έχουμε Λ=0 οπότε: \ Στο αρχικό Σύμπανισχύει: Επομένως : για t →0 ,Ω →1 ενώ με την πάροδο του χρόνου οι διαφορές από τη μονάδα αυξάνονται σημαντικά

5. ΑΝΕΠΑΡΚΙΕΣ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ • Πρόβλημα ανομοιογένειας Δεν εξηγεί την προέλευση των ανομοιογενειών στην ενεργειακή πυκνότητα του πρώιμου Σύμπαντος. • Πρόβλημα μαγνητικών μονοπόλων Δεν έχουν παρατηρηθεί αν και θα έπρεπε αφού ο αριθμός παραγωγής τους στο αρχικό Σύμπαν ήταν μεγάλος. • Ασυμμετρία ύλης – αντιύλης Θα έπρεπε να υπάρχει συμμετρία ύλης και αντιύλης αφού παράγονται σε ίσες ποσότητες. Παρατηρείται όμως σήμερα συντριπτική υπεροχή της ύλης. • Η επιταχυνόμενη διαστολή του Σύμπαντος

6. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ SBB ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΗ ΑΡΧΗ:Σύμπαν ομογενές & ισότροπο Ο 4-διάστατος χωρόχρονος περιγράφεται από τη μετρική Robertson- Walker: ή Όπου: r, θ, φ: συγκινούμενες συντεταγμένες,t:χρόνος, α:παράγοντας κλίμακας, k: καμπυλότητα χώρου με k=1,Φ(χ)=sinχ για χώρο με σταθερή θετική καμπυλότητα k=-1 , Φ(χ)=sinhχ για χώρο με σταθερή αρνητική καμπυλότητα k=0 , Φ(χ)=χ για Ευκλείδειο χώρο. φυσική απόσταση Ενώ για προσαρμοσμένο χρόνο τ και ακτινική διάδοση φωτός: Προσαρμοσμένος χρόνος: (conformal time)

7. ΠΛΗΘΩΡΙΣΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Το Σύμπαν διαστέλλεται εκθετικά με επιταχυνόμενο ρυθμό Για την έναρξη του Πληθωρισμού απαιτείται αρνητική πίεση Το βαθμωτό πεδίο φ=φ(t) που την προσφέρει ονομάζεται inflaton με αντίστοιχο δυναμικό V(φ) Lagrangianπυκνότητα: Συνολική δράση βαθμωτού – βαρυτικού πεδίου: Τανυστής ενέργειας-ορμής: Εξίσωση κίνησης:

8. Η ΒΑΘΜΩΤΗ ΚΑΜΠΥΛΩΤΗΤΑ RICCI Από τον τανυστήRicci: όπου τα σύμβολα Christoffel με μη μηδενικές συνιστώσες του μετρικού τανυστήgμν:

9. ΕΞΙΣΩΣΗ EINSTEIN Από τη δράση Einstein-Hilbert: Με μηδενισμό της μεταβολής της δράσης σε σχέση με το gμν έχουμε: Εξίσωση Einstein για το κενό Ενώ από τη δράση με τηνπροσθήκη του πεδίου inflaton: Παίρνουμε: Εξίσωση Einstein όπου ο συμμετρικός τανυστής ενέργειας-ορμής

10. ΕΞΙΣΩΣΗ FRIEDMANN Από την εξίσωση Einstein για μ=ν=0 έχουμε: αφού Παίρνουμε: αν 8πG=1 και k=0 Ισχύει ότι: επομένως Εξίσωση Friedmann

11. ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ &ΕΞΙΣΩΣΗ KLEIN GORDON Από τη διατήρηση ενέργειας-μάζας και ορμής, έχουμε: Θέτοντας στους βωβούς δείκτες ν,σ=0,1,2,3 και αθροίζοντας, για μ=0 παίρνουμε: Εξίσωση συνέχειας προκύπτει Εφόσον: Εξίσωση Klein Gordon Επίσης ισχύουν:

12. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΠΕΔΟΤΗΤΑΣ Καθώς τα Η, α αυξάνονται με τεράστιο ρυθμό: Φαινόμενο ανάλογο ενός μπαλονιού που φουσκώνει. Συμπέρασμα: δε χρειάζεται να ορίσουμε αξιωματικά ότι το Σύμπαν ξεκίνησε με Ω κοντά στη μονάδα

13. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑ • Οι αιτιακά συνδεδεμένες περιοχές • με παρόμοια χαρακτηριστικά από- • μακρύνονται ώστε ο ορίζοντας της • κάθε μίας να μην περιέχει την άλλη. • Διαστολή όχι σωμάτων αλλά περιβάλλοντος • χώρου με ταχύτητα μεγαλύτερη του φωτός. • Η ομοιομορφία της θερμοκρασίας είναι • φυσική συνέπεια του πληθωρισμού. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΟΝΟΠΟΛΩΝ • Η δημιουργία μαγνητικών μονοπόλων έγινε πριν τον πληθωρισμό. • Το ορατό σε μας Σύμπαν έχει προέλθει από τη διαστολή ενός πάρα πολύ • μικρού όγκου. • Σχεδόν μηδενική η πιθανότητα η παρατήρηση τους.

14. ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΡΓΗΣ ΚΥΛΙΣΗΣ Πληθωρισμός Οι οποίες ικανοποιούνται αν: Εξίσωση Friedmann: Για επιταχυνόμενη διαστολή με επαρκή χρονική διάρκεια: άρα: & και ή αν εκφραστούν σε συνάρτηση με το δυναμικό: &

15. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣΤΗΣ ΜΕΤΡΙΚΗΣ Θεωρούμε: με με Βαθμωτές διαταραχές διαταραχές ενεργειακής πυκνότητας θεωρώντας τους μετασχηματισμούς:

16. από το μετασχηματισμό βαθμίδας: με παίρνουμε: οπότε: μόνο οι παράμετροι ξ0 και ζ συνεισφέρουν στους μετασχηματισμούς οπότε με κατάλληλη επιλογή μηδενίζουμε δύο από τις τέσσερις συναρτήσεις φ,ψ,Β,Ε μείωση κατά δύο των βαθμών ελευθερίας

17. ADM ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ Είναι μία Hamiltonian διατύπωση της γενικής σχετικότητας όπου ο χωρόχρονος χωρίζεται σε ένα σύνολο χωροειδώνεπιφανειών οι οποίες εξελίσσονται κατά μήκος μιας χρονοειδούςπαραμέτρου, t. Θεωρώντας ως μεταβλητές τις hij , N και Νi: όπου hij : η 3-D μετρική dτ=Νdtο ακριβής χρόνος για τη μετάβαση από την Σt→Σt+dt N: η συνάρτηση που καθορίζει τη μετάβαση Σt→Σt+dt Νi: το διάνυσμα που καθορίζει την αλλαγή θέσης Για τις συνιστώσες ισχύει: & άρα και ,όπου Η δράση Hilbert δια- μορφώνεται ως εξής:

18. N και Ni πολλαπλασιαστές Lagrange με βαθμό ελευθερίας τη μεταβλητή hij Hamiltonian: Ενώ η συνολική δράση: Η χωροχρονική μετρική gαβ επάγει μια 3-D χωρική μετρική hαβ=gαβ+nαnβ η οποία λειτουργεί και ως προβολικός τελεστής των διαφόρων τανυστικών μεγεθών στην Σt όπου :

19. ΔΡΑΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Από τη μεταβολή της δράσης ως προς Ν και Νiπαίρνουμε δύο συνδέσμους: και Επιλέγουμε για τις δυναμικές μεταβλητές hijκαι φ την ακόλουθη συγκινούμενη-βαθμίδα: υπολογίζουμε:

20. όπου θέτοντας: και και κρατώντας τους όρους πρώτης τάξης από τις εξισώσεις-συνδέσμους βρίσκουμε: και και Με αντικατάσταση των παραπάνω στη δράση παίρνουμε: με ολοκλήρωση κατά παράγοντες και θέτοντας δράση δεύτερου βαθμού S2=S2[ζ]

21. ΚΒΑΝΤΩΣΗ ΑΠΛΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ αντικατάσταση κλασικών μεταβλητών από κβαντικούς τελεστές: όπου u ικανοποιεί την εξίσωση κίνησης ενώ οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής ικανοποιούν τις σχέσεις: από τη συνθήκη κανονικοποίησης : διακυμάνσεις της θεμελιώδους κατάστασης:

22. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ Από τη δράση δεύτερου βαθμού: όπου θέτοντας: και μετατρέποντας το χρόνο σε προσαρμοσμένο , παίρνουμε: αν ορίσουμε: παίρνουμε: εξίσωση Mukhanov

23. Η κβάντωση του πεδίου u γίνεται όπως του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή: κενό Minkowskiγια συγκινούμενο παρατηρητή στο μακρινό παρελθόν, k>>αH

24. Από την εξίσωση Mukhanov σε συνάρτηση με τιςπαραμέτρους αργής κύλισης ε,η παίρνουμε: εκφράζοντας τον όρο οπότε: διαφορική εξίσωση Bessel με λύση:

25. Για μικρές κλίμακες, στο μακρινό παρελθόν: Λύση στο Σύμπαν De Sitter: P=-ρ , ε=0, Η=σταθ (Bunch-Davies vacuum) Για μεγάλες κλίμακες,

26. οπότε το φάσμα ισχύος του πεδίου θα είναι: όπου για (horizon crossing)είναι: όταν ενώ το φάσμα ισχύος του πεδίου WMAP: με βαθμό εξάρτησης: