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第五章 內積空間

第五章 內積空間. 5.1 R n 上之長度與點積 5.2 內積空間 5.3 單範正交基底： Gram-Schmidt 過程 5.4 數學模型與最小平方分析 5.5 內積空間的應用. Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者

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第五章 內積空間

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Presentation Transcript

  1. 第五章內積空間 5.1 Rn上之長度與點積 5.2 內積空間 5.3 單範正交基底：Gram-Schmidt過程 5.4 數學模型與最小平方分析 5.5 內積空間的應用 Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者 R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授

  2. 注意：長度的性質(向量的長度不能為負數) 為單位向量(unit vector) 5.1 Rn上之長度與點積 • 長度 (length) 在Rn上向量 的長度可能表示為 • 注意：向量的長度也可以稱為範數 (norm) 線性代數: 5.1節 pp.344-345

  3. 範例 1： (a)在R5上， 的長度 (b)在R3上， 的長度 (因為長度為1，所以v是單位向量) 線性代數: 5.1節 p.345

  4. 注意：兩非零向量互相平行 (parallel) 和 同方向(same direction) 和 反方向(opposite direction) • Rn的標準單位向量 (standard unit vector) • 範例： R2上的標準單位向量： R3上的標準單位向量： 線性代數: 5.1節 p.346

  5. 證明： • 定理 5.1：純量乘積的長度 令v為Rn上的向量，而c是一純量，則 線性代數: 5.1節 pp.346-347

  6. 證明： v不為零向量 (與v為同方向) (u的長度為1) • 定理 5.2：在v方向上的單位向量 若v是Rn中一個非零的向量，則下列向量 表示長度為1且與v同方向。向量u可稱為在v方向上的單位向量(unit vector in the direction of v) 線性代數: 5.1節 p.347

  7. 注意： (1) 向量 可稱為在v方向上的單位向量 (unit vector in the direction of v) (2) 這個在v方向上找單位向量的過程稱為單範化(normalizing)向量v 線性代數: 5.1節 p.347

  8. 解： 為單位向量 • 範例 2：求單位向量 求在 方向上的單位向量，並證明其長度為1 線性代數: 5.1節 pp.347-348

  9. 注意：距離的性質 (1) (2) 若且唯若 (3) • 兩個向量間的距離 (distance) 在Rn上u與v兩個向量間的距離為 線性代數: 5.1節 p.349

  10. 範例 3：求兩向量間的距離 兩向量 與 間的距離為 線性代數: 5.1節 p.350

  11. 範例 4：求兩向量間的點積 兩向量 與 間點積是 • Rn的點積 (dot product) 在Rn上 與 的點積為 線性代數: 5.1節 pp.350-351

  12. 定理 5.3：向量點積的性質 若u, v與w為Rn上的向量且c為一純量， 則以下的性質成立 (1) (2) (3) (4) (5)， 此外 若且唯若 線性代數: 5.1節 p.351

  13. 歐基里德n維空間(Euclidean n-space) Rn被定義為所有有序n項實數對的集合。當Rn結合了 向量加法、純量乘積、向量長度與點積這些標準運 算後所構成的向量空間，我們稱為歐基里德n維空間 線性代數: 5.1節 p.352

  14. 範例 5：求點積 解： 求解下列問題 • ； (b) ； (c) ； • (d) ； (e) 線性代數: 5.1節 p.352

  15. 解： • 範例 6：使用點積的性質 已知 求解 線性代數: 5.1節 p.353

  16. 定理 5.4：科西 - 舒瓦茲不等式(Cauchy - Schwarz inequality) 若u與v為Rn上的向量， 則 ( 代表 的絕對值) 線性代數: 5.1節 pp.353-354

  17. 範例 7：科西 - 舒瓦茲不等式的例子 用 與 來驗證科西 - 舒瓦茲 不等式 解： 線性代數: 5.1節 pp.353-354

  18. Rn上兩個非零向量的夾角 (angle) • 注意： 零向量與其他向量的夾角並沒有被定義 線性代數: 5.1節 p.355

  19. 範例 8：求兩向量間的夾角 解： u與v是反向的 線性代數: 5.1節 p.355

  20. 正交 (orthogonal) Rn上的兩個向量u與v為正交 若 • 注意： 零向量0 與任何向量都成正交 線性代數: 5.1節 p.355

  21. 令 解： • 範例 10：求正交向量 求R2中與 成正交的所有向量 線性代數: 5.1節 p.356

  22. 證明： • 定理 5.5：三角不等式 (triangle inequality) 若u與v為Rn上的兩個向量，則 • 注意： 三角不等式的等號成立若且唯若u與v為同方向 線性代數: 5.1節 p.357

  23. 定理 5.6：畢氏定理 (Pythagorean theorem) 若u與v為Rn上的兩個向量，則u與v為正交若且唯若 線性代數: 5.1節 p.358

  24. 用一個nx1的行矩陣來表示在Rn上向量 • 點積與矩陣乘積 線性代數: 5.1節 pp.358-359

  25. 摘要與復習 (5.1節之關鍵詞) • length: 長度 • norm: 範數 • unit vector: 單位向量 • standard unit vector : 標準單位向量 • normalizing: 單範化 • distance: 距離 • dot product: 點積 • Euclidean n-space: 歐基里德n維空間 • Cauchy – Schwarz inequality: 科西 - 舒瓦茲不等式 • angle: 夾角 • triangle inequality: 三角不等式 • Pythagorean theorem: 畢氏定理

  26. (1) (2) (3) (4)且 若且唯若 5.2 內積空間 • 內積 (inner product) 令u, v與w為向量空間V的向量且c是任何純量。V上的內積是一個函數<u, v>，其將每一向量對u與v對應到一個實數並且滿足下列公理 線性代數: 5.2節 p.363

  27. 向量空間： 內積空間： • 注意： • 注意： 具有內積的向量空間V稱為內積空間(inner product space) 線性代數: 5.2節，補充

  28. 解： 由定理5.3可知點積符合內積的四個公理 因此為Rn上的內積 • 範例 1： Rn上的歐基里德內積 說明Rn上的點積符合內積的四個公理 線性代數: 5.2節 p.364

  29. 解： • 範例 2：R2上的另一種內積 證明下列式子符合R2的內積定義 線性代數: 5.2節 pp.364-365

  30. 注意： Rn上的一個內積型式 線性代數: 5.2節 pp.364-365

  31. 解： 令 不符合第4個公理 所以此式子不是R3的一個內積 • 範例 3：一個非內積的函數 證明下列式子不是R3的一個內積 線性代數: 5.2節 p.365

  32. 定理 5.7：內積的性質 令u, v與w為內積空間V的向量且c是任何實數 (1) (2) (3) • u的範數(norm)或長度(length) • 注意： 線性代數: 5.2節 p.367

  33. u與v的距離 (distance) • 兩個非零向量 u與v的夾角 (angle) • 正交(orthogonal) 若 　　，則稱u與v為正交 線性代數: 5.2節 p.367

  34. (在v方向的單位向量) 非單位向量 • 注意： (1) 若 則稱其為單位向量(unit vector) (2) 線性代數: 5.2節 p.367

  35. 解： • 範例 6：求內積 為一內積函數 線性代數: 5.2節 p.368

  36. 範數的性質 (1) (2) 若且唯若 (3) • 距離的性質 (1) (2) 若且唯若 (3) 線性代數: 5.2節 p.370

  37. 定理5.4 定理5.5 定理5.6 • 定理 5.8： 若u與v為內積空間V的向量 (1) 科西 - 舒瓦茲不等式： (2) 三角不等式： (3) 畢氏定理：u與v成正交若且唯若 線性代數: 5.2節 pp.370-371

  38. 注意： 若 (v為單位向量)， 則u正交投影到v的式子可簡寫成 • 正交投影 (orthogonal-projection) 令u與v為內積空間V上的兩個向量且 ， 則u正交投影到v可表示為 線性代數: 5.2節 p.372

  39. 解： • 範例 10：求R3上的正交投影 用R3上的歐氏內積求 的正交投影 線性代數: 5.2節 p.373

  40. 定理 5.9：正交投影與距離 令u與v為內積空間V上的兩個向量且 ，則 線性代數: 5.2節 p.374

  41. 摘要與復習 (5.2節之關鍵詞) • inner product: 內積 • inner product space: 內積空間 • norm: 範數 • distance: 距離 • angle: 夾角 • orthogonal: 正交 • unit vector: 單位向量 • normalizing: 單範化 • Cauchy – Schwarz inequality: 科西 - 舒瓦茲不等式 • triangle inequality: 三角不等式 • Pythagorean theorem: 畢氏定理 • orthogonal projection: 正交投影

  42. 5.3 單範正交基底：Gram-Schmidt過程 • 正交 (orthogonal) 在內積空間V上的集合S稱為正交，若在S上每對向量均為正交 • 單範正交 (orthonormal) 若在S上每對向量均為正交且每個向量均為單位向量則稱S為單範正交 • 注意： 若S為基底，則分別稱為正交基底 (orthogonal basis)或單範正交基底 (orthonormal basis) 線性代數: 5.3節 p.380

  43. 解： 證明三個向量彼此為正交 • 範例 1： R3上一個非標準的單範正交基底 證明S為單範正交基底 線性代數: 5.3節 pp.380-381

  44. 證明三個向量的長度均為1 因此S是一個單範正交集合 線性代數: 5.3節 pp.380-381

  45. 範例 2： 的單範正交基底 在 上，使用下列的內積定義 此組標準基底 為單範正交 證明： 線性代數: 5.3節 p.382

  46. 線性代數: 5.3節 p.382

  47. 證明： 因為S為正交且S上的每個向量都不為零向量 • 定理 5.10 ：正交集合為線性獨立 若 為內積空間V上一些非零向量所構成的正交集合，則S為線性獨立 線性代數: 5.3節 pp.383-384

  48. 定理 5.10的推論 若V為n維的內積空間，則n個非零向量所構成的任意正交集合為V的基底。 線性代數: 5.3節 pp.384-385

  49. 範例 4：使用正交性質來測試基底 證明下列集合為 的基底 解： ：非零向量 (定理5.10的推論) 線性代數: 5.3節 pp.384-385

  50. 證明： 因為 為V的基底 (唯一表示) 為單範正交 • 定理5.11：相對於單範正交基底的座標 若 為內積空間V的單範正交基底，則向量w相對於B的座標表示為 線性代數: 5.3節 pp.385-386

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