投影的基本知识

1. 投影的基本知识

2. 目 录 投影方法 点的投影 直线的投影 平面的投影 直线与平面、平面与 平面的相对位置

3. 投影方法 • 投影的形成 投射中心 投射线 物体 A 投影 C B a 投影面 c b P

4. S A C B a c P b • 投影方法 中心投影法 投射线汇交于投影中心

5. 平行投影法 正投影法 斜投影法 S S 投射线沿 S 方向相互平行

6. 归 纳 中心投影法 投射线汇交于投影中心 投影法 斜投影法 投射线倾斜 投影面 平行投影法 投射线相互平行 正投影法 正投影法 投射线垂直 投影面

7. S S S 共同点（产生投影必须具备的条件） • 投影中心或投射方向 投影三要素 • 投影面 • 物体 平行投影法是工程上采用的典型投影方法！

8. 工程上常用的投影体系 多面投影 投影体系 都能用二维投影图表达三维形体 单面投影 • 多面投影采用正投影法： • 投影体系由多个投影面组成 • 可表达出物体的真实形状、大小 区 别 • 单面投影可采用中心投影，也可采用平行投影： • 投影面只有一个 • 投影立体效果强，但不能表达真实形状、尺寸大小 轴测投影

9. 平行投影法的投影特性 等比性 不变性 积聚性 从属性

10. B A B  A A B b b a  b a P P P a 正投影法中直线和平面的投影特性 类似性 实形性 直线和平面平行于投影面 直线和平面 倾斜于投影面 积聚性 直线和平面 垂直于投影面

11. 立体在两投影面体系中的投影 正立投影面 正面投影 正投影法中，一个或二个投影，往往不能唯一确定空间形体的形状和位置。 必须建立多面投影体系 水平投影 水平投影面

12. 上 Z 上 上 后 右 前 左 右 后 下 下 X YW O 后 左 前 左 右 下 YH 前 立体在三投影面体系中的投影 X向—长向 侧立投影面 Z向—高向 前 高平齐 后 Y向—宽向 长对正 宽相等 后 前 各视图的配置 各视图所表达的方位关系 侧面投影 三视图投影规律

13. 根据实物绘制三视图 主视方向

14. 上 后 前 下 右 左 后 前 根据立体图绘制三视图

15. 根据立体图绘制三视图 主视方向

16. 点的投影 A1 点的一个投影能确定点的空间位置吗？ A a 矛盾如何解决？ A2 用多面投影 结 论 点的两个投影可唯一确定点的空间位置

17. V a' ax X O a H H • 点在两投影面体系中的投影 两投影面体系的建立 正立投影面 正面投影 V a' A 投影轴 ax O X a H 水平投影面 水平投影 展开

18. a' A a' ax O X a H ax X O a 投影规律 aa'ox ① V a‘ax反映点到H 面之距（= Az） ② aax反映点到V 面之距（= Ay） H 投影规律 点的投影连线垂直相应投影轴 点的投影到投影轴之距等于点到相应投影面之距离，即相应坐标 链接到 个人备课件

19. a' V V W a" a' az ax X YW O H a H YH • 点在三投影面体系中的投影 正立投影面 侧立投影面 Z 侧面投影 az a" W A ax O ay X a Y 水平投影面 展开 例1 例2

20. Z az a" W A Z a" a' az ax O ay a' V X a Y ax X YW O a H YH 投 影 规 律 a'a OX ① ayW a'a'' OZ a‘ax = a’‘ayW =点到 H 之距=zA ② ayH a'az = aayH =点到 W 之距=xA =点到V之距=yA aax= aaz 投影规律 点的投影连线垂直相应投影轴 点的投影到投影轴之距等于点到相应投影面之距， 即相应坐标 例1 例2

21. 例1 求 a“，用坐标表示点的空间位置 Z (y,z) a" a' (x,z) z y x O X YW 或 y a (x,y) A(x, y, z) YH

22. 例2 比较两点的相对位置 点B在点A的 右方、下方、 前方。因为: XB < XA； YB> YA； ZB< ZA。 c" a' a" c' ( ) b" b' 点C在点A的 正左方，因为： XC >XA； YC=YA；ZC=ZA。 c a b 称：点A、点C为对 W 面的重影点

23. B A B  A A B b b a  b a a P • 直线的投影 直线的投影一般情况下仍然为直线！ • 直线对一个投影面的投影特性 直线相对投影面的位置 倾斜 垂直 平行

24. B A B  A A B b b a  b a a P AB∥P —投影反映实长ab = AB （实形性） ABP —投影积聚成一点a  b （积聚性） AB P —投影ab = ABCos 缩短 （类似性）

25. 平行于一个投影面 且同时倾斜于另两 个投影面 • 直线在三投影面体系中的 • 投影特性 （同时倾斜于三个投影面） • 一般位置线 投影面平行线 • 投影面平行线 水平线： ∥H面正平线： ∥V面侧平线： ∥W面 特殊位置直线 （垂直于一个投影面） 投影面垂直线 • 投影面垂直线 铅垂线： H面 正垂线： V面 侧垂线： W面

26. a' a" b" b' a(b) 投影面垂直线 铅 垂 线 垂直某一个投影面的直线 实长 实长 积聚性 投影特性 ： 水平投影面上的投影积聚成一点 另外二投影分别垂直于相应的投影轴且反映实长

27. 其它投影面垂直线 ： 侧 垂 线 正 垂 线 总结投影特性 ： 在所垂直的 投影面上的 投影积聚成 一点 另外二投影 分别垂直于 相应的投影 轴且反映实 长

28. b' b" a" a' a b 投影面平行线 平行某一个投影面且倾斜于另两个投影面的 直线 实长  正平线  投影特性 ： 正面投影面上的投影反映实长，并与轴之夹角反映其与相应投影面的倾角 另外二投影分别平行于相应的投影轴

29. 其他投影面平行线 ： 侧 平 线 总结投影特性 ： 水 平 线 其在所平行的投 影面上的投影反 映实长，并与轴 之夹角反映其与 相应投影面的倾 角 另外二投影分别 平行于相应的投 影轴

30. a' V b' B b" b' ¦Â W γ a' b α A a a" a H b Y 一般位置线 对H、V、W面均倾斜 a" b" 投影特性： 三个投影皆倾斜于轴且均不反映实长（类似性）

31. b' B a' Z A L B AB Z Z Z Z Z Z - - b b a a α A Z b B a H α a b 直角三角形法求实长及α B B0 A B0 b a 直线对水平投影面的倾角 Z向座标差 直线的水平投影长

32. Z V b' b' b" A b' A γ 0 β A 0 -Z B Y B b" B a" a' -X A Z -Y α A A A X 0 β B a' -Z X -X W A B γ a' O B B Z Z X X O Y W b b Z X ZA b B B α A -Z -Y A a" A α Y a a B a 0 H Y Y H (a) (b) (c) 直角三角形法求实长及α、β、γ

33. , a . , . 60 1.利用 作直角三角形； b 30 ， 2.用  角的余角60度过a 作线 a B，得ab； z z △ △ ， b 例： 已知直线AB对投影面H的倾角=30度，补 全其水平投影。有几解？任求一解。 步骤： B ab 3.以b为圆心ab为半径作弧得 点a。 a 共两个解

34. b' a' a k' k b' a' b b k b a a • 属于直线的点 点K在直线AB上吗? c' c 点的投影在直线的同名投影上 判定 点将线段分割成定比——定比定理 ac/cb = a'c'/c'b' = AC/CB

35. d' b" b' c' a' a" d" c" d' b" c' b' a c d d b b • 两直线的相对位置 平行 相交 交叉（垂直） • 两直线平行 AB // CD? 投影特性 同面投影平行 a'b'//c'd' ab//cd 且长度成比例

36. , , f h , e , d' g b" b' a' a" c" c' f e g h c d b 两直线平行的“两对投影判别条件”： 1.一般位置直线； 2.投影面平行线，投影中含有反映实长投影；

37. , , , , , , , , , , , , 4 3 3 1 2 3 4 1 2 1 4 2 , , , , 1 2 3 (4) 1 2 3 (4) 两直线平行的“两对投影判别条件”： 3.投影面垂直线

38. 两直线相交 交点为共有点 AB  CD = K K  AB K  CD 投影特性 直线的同面投影必相交 交点的投影连线符合点的投影规律

39. 两直线交叉 AB与CD相交吗? 4’ 2’(1’) 3’ 1 4(3) 2 两对重影点！

40. 两直线交叉的三种投影形态 ： 两对投影 平行一对 投影相交 有一对重影点 三对投影均相交，但投影的交点不 符合点的投影规律 一对投影平行 两对投影相交 有两对重影点 有三对重影点

41. (b’) b” e’ e” (a’) c’ d’ a” (c”) d” a b d e (c) 例：在轴测图中标出点A、B、C、D的位置， 并填写直线 AB、DC和EC的相对位置。 B E A C 交叉 AB与CD是两直线 DC与EC是两直线 D 相交

42. B C A b a c P • 两直线垂直 讨论其中一条直线为投影面平行线的情况 设BC//P ABBC 故BC⊥Bb ∴ BC⊥平面ABba 又∵ BC∥bc 则bc⊥平面Abba ∴bcab 直角投影定理：若两直线垂直，且其中一直线平行某投影面，则在该投影面上两直线投影成直角！ 反之也成立！

43. c' a' b' d' b c a 例1 已知AB//H、ABCD且AB与CD交叉,求cd。 因为AB为水平线 所以abcd d

44. c' k' a' b' d' b a 例2 已知AB//H、ABCD且相交于K点,求cd。 abcd c k d

45. b' b' b' b' b' a' a' a' a' a' c' c' c' c' c' b b b b b c c c c c a a a a a • 平面的投影 • 平面表示法（用几何元素表示）

46. P 平面 P • 平面对一个投影面的投影特性 平面 // P 平面  P 反映实形 实形性 类似图形 类似性 积聚成直线 积聚性

47. 平面在三投影面体系中的投影特性 一般位置平面 （同时倾斜于三个投影面） 投影面垂直面 垂直于一个投影面 且同时倾斜于另两 个投影面 H面：铅垂面 V面：正垂面 W面：侧垂面 特殊位置平面 投影面平行面 （平行于一个投影面） ∥H面：水平面 ∥V面：正平面 ∥W面：侧平面

48. c' b" b' a" c" a' c a b • 投影面平行面 平行OX 轴 平行于某一投影面的平面 平行OY轴 水平面 实 形 投影特性 ： 另二投影分别平行于 相应的投影轴 水平投影面上的投影反映实形

49. C’ 其他投影面平行面 ： 投影特性 ： 侧 平 面 正 平 面 在所平行的 投影面上的 投影反映实 形 另二投影分 别平行于相 应的投影轴

50. b' b" c" c' a' a" c 类似形 类似形 b a • 投影面垂直面 （垂直于一 个投影面且 同时倾斜于 另两个投影 面） 积聚性  正 垂 面  投影特性 正面投影面上的投影积聚成 直线，且反映平面与投影面的倾角 另二投影为类似图形