4.3 任务分配问题

1. 4.3 任务分配问题 例4.3.1 有四个熟练工人，他们都是多面手，有四项任务要他们完成。若规定每人必须完成且只完成一项任务，而每人完成每项任务的工时耗费如表4.6.1，问如何分配任务使完成四项任务的总工时耗费最少？

2. 任务分配问题的数学模型 模型中：xij为第 i 个工人分配去做第 j项任务； aij为第 i个工人为完成第 j项任务时的工时消耗； {aij}mm称为效率矩阵 • 运输问题是任务分配问题的松弛问题 • 任务分配问题不但是整数规划，而且是01规划 • 任务分配问题有2m个约束条件，但有且只有m个非零解，是自然高度退化的 • 任务分配是两部图的匹配问题，有著名的匈牙利算法 • 下面介绍一种适合手算的算法(出自清华教科书)

3. 4.3.1 清华算法 定理 1如果从效率矩阵{aij}mm中每行元素分别减去一个常数 ui，从每列元素分别减去一个常数 vj ，所得新的效率矩阵{bij}mm的任务分配问题的最优解等价于原问题的最优解。 证明：略 定理 2 若方阵中一部分元素为零，一部分元素非零，则覆盖方阵内所有零元素的最少直线数等于位于不同行、不同列的零元素的最多个数。 证明：略 清华算法的基本思路： • 根据定理 1变换效率矩阵，使矩阵中有足够多的零。若矩阵中存在 m个不同行不同列的零，就找到了最优解 • 若覆盖变换后的效率矩阵零元素的直线少于m 条，就尚未找到最优解，设法进一步变换矩阵，增加新的零

4. 清华算法的步骤：例4.3.1 第一步：变换效率矩阵，使每行每列至少有一个零 • 行变换：找出每行最小元素，从该行各元素中减去之 • 列变换：找出每列最小元素，从该列各元素中减去之 • 第二步：检查覆盖所有零元素的直线是否为m条 • 划线规则 • 1、逐行检查，若该行只有一个未标记的零，对其加( )标记，将 ( )标记元素同行同列上其它的零打上*标记。若该行有二个以上未标记的零，暂不标记，转下一行检查，直到所有行检查完；

5. 清华算法的步骤：例4.3.1 2、逐列检查，若该列只有一个未标记的零，对其加( )标记，将( )标记元素同行同列上其它的零打上*标记。若该列有二个以上未标记的零，暂不标记，转下一列检查，直到所有列检查完； • 3、重复1、2后，可能出现三种情况： • a.每行都有一个 (0)，显然已找到最优解，令对应(0)位置的 xij=1； • b.仍有零元素未标记，此时，一定存在某些行和列同时有多个零，称为僵局状态，因为无法采用 1、 2中的方法继续标记。 • 4、打破僵局。令未标记零对应的同行同列上其它未标记零的个数为该零的指数，选指数最小的先标记 ( )；采用这种方法直至所有零都被标记，或出现 情况 a，或 情况 c。

6. 清华算法的步骤：例4.3.1 • c.所有零都已标记，但标有( )的零的个数少于m； • 开始划线过程： •  对没有标记 ( ) 的行打 • 对打 行上所有其它零元素对应的列打  •  再对打  列上有 ( ) 标记的零元素对应的行打  •  重复   ，直至无法继续 •  对没有打  的行划横线，对所有打  的列划垂线 • 划线后会出现两种情况： • (1)标记( )的零少于m个，但划有 m条直线，说明矩阵中已存在 m 个不同行不同列的零，但打破僵局时选择不合理，没能找到。回到 b重新标记； • (2)少于m条直线，到第三步；   

7. 清华算法的步骤：例4.3.1 • 第三步：进一步变换； •  在未划线的元素中找最小者，设为  •  对未被直线覆盖的各元素减去  •  对两条直线交叉点覆盖的元素加上  •  只有一条直线覆盖的元素保持不变 • 以上步骤实际上仍是利用 定理 1 第四步：抹除所有标记，回到第二步，重新标记；

8. 清华算法的步骤：例4.3.1 答：最优分配方案为 x13= x21= x34 = x42 =1，其余为0， 即甲C，乙A，丙D，丁B，OBJ=20

9. 4.3.2 关于清华算法的适用条件 • 要求所有aij 0 • 若某些 aij <0，则利用定理 1 进行变换，使所有 bij  0 • 目标函数为min型 • 对于max型目标函数，将效率矩阵中所有 aij 反号，则等效于求min型问题；再利用定理 1 进行变换，使所有 bij  0，则可采用清华算法 打破僵局时选择不当的结果：  结果仅出现 3 个标记 ( )，但却划出 4 条线， 说明什么？！       

10. 线性规划有关的英文词汇 • Operational/operations research 运筹学 • Linear programming 线性规划Feasible domain 可行域 • Convex set 凸集 Basic feasible solutions 基础可行解 • Simplex algorithm 单纯型法 Pivot 主元 Pivoting 主元变换 • Revised, dual simplex algorithm 修正、对偶单纯型法 • Relative cost 相对成本(机会成本) Shadow price 影子价格 • Slack, Surplus, Artificial variable 松弛，剩余，人工变量 • Unbounded, Infeasible, Degenerate solution 无界解, 无可行解, 退化解 • Duality 对偶性 Primal, dual problem 原问题，对偶问题 • Complementary slackness 互补松弛Sensitivity analysis 灵敏度分析 • Ttransportation problem 运输问题 • Assignment problem 任务分配(指派) 问题 • Bipartite matching 两部图匹配Hungarian method 匈牙利算法